二次型化为标准型

1、1 16.2 6.2 二次型化为标准型二次型化为标准型一、正交变换化二次型为标准形一、正交变换化二次型为标准形二、拉格朗日配方法的具体步骤二、拉格朗日配方法的具体步骤Page 2一、正交变换化二次型为标准形一、正交变换化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形说明说明2222211nnTTykykykACyCy 2 ,. fxCy 要要使使二二次次型型 经经可可逆逆变变换换变变成成标标准准形形就就是是要要使使,),(212121 yyykkkyyynnn 1, ;T. xCyf

2、ABC AC 二二次次型型经经可可逆逆变变换换后后 其其秩秩不不变变 但但的的矩矩阵阵由由 变变为为Page 3有有型型把此结论应用于二次把此结论应用于二次即即使使总有正交矩阵总有正交矩阵阵阵由于对任意的实对称矩由于对任意的实对称矩,.,1 APPAPPPAT ,1 ,nijijijjii jfa x xaaxPyf 定定理理1 1任任给给二二次次型型总总有有正正交交变变换换使使化化为为标标准准形形,2222211nnyyyf .,21的的特特征征值值的的矩矩阵阵是是其其中中ijnaAf .TC AC也也就就是是要要使使成成为为对对角角矩矩阵阵Page 4用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用

3、正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,. 1AAxxfT求求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;,. 221nA 的的所所有有特特征征值值求求出出 ;,. 321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特 ;,. 4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换 Page 5解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 144241422217A 144241422217EA 9182 .,844141417 3231212

4、32221化成标准形化成标准形通过正交变换通过正交变换将二次型将二次型Pyxxxxxxxxxxf 例例1 1Page 6从而得特征值从而得特征值.18, 9321 得基础解系得基础解系代入代入将将, 091 xEA 2 2求特征向量求特征向量 得得基基础础解解系系代代入入将将, 01832 xEA ,)0 , 1 , 2(2 T .)1 , 0 , 2(3 T 3 3将特征向量正交化将特征向量正交化,11 取取.)1 , 1 , 21(1T ,22 ,2223233 得正交向量组得正交向量组.)1 , 54, 52(3 T ,)0 , 1 , 2(2 T ,)1 , 1 , 21(1T Pag

5、e 7 ,3 , 2 , 1, iiii 令令得得,051522 ,3232311 .4554544523 .45503245451324525231 P 所所以以4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵PPage 8于是所求正交变换为于是所求正交变换为,45503245451324525231321321 yyyxxxyyf 且且有有Page 9二、拉格朗日配方法的具体步骤二、拉格朗日配方法的具体步骤用正交变换化二次型为标准形，其特点是保用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变持几何形状不变问题问题有没有其它方法，也可以把二次型

6、化有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法效的方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法Page 101.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形性变换，就得到标准形; ixix kkjijjiiyxyyxyyx jiknk, 2 , 1 且且拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含

7、有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换0 ija),(ji 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.Page 11解解32312123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例2 231212122xxxxx 322322652xxxx 的的项项配配方方含含有有x1含有平方项含有平方项 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 去掉配方后

8、多出来的项去掉配方后多出来的项Page 12 322322232144xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxxPage 1332312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用变换矩阵为所用变换矩阵为 .01,100210111 CCPage 14,33212211 yxyyxyyx 令令解解,622323121xxxxxxf 代代入入.842232312221yyyyyyf 得得.,622 323121并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵成成标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxf 例例3 3由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以 yyyxxx321321100011011即即Page 15再配方，得再配方，得 .622223232231yyyyyf 333223