数理方程14第六章函数

1、第八章基本解和格林函数法 第一节 第二节泊松方程及其基本解解拉函数法斯第一边值问题的格林 第三节 第四节特殊区域上的格林函数平面特殊区域的格林函数第一节一、泊松方程泊松方程及其基本解描述有源静电场及定常稳恒温度场的分布等稳定的平衡物理现象的泊松方程：¶2u + ¶2u + ¶2u = -f (x, y, z)¶x2¶y2¶z2简写为Du = - f ,(Ñ2u = - f ).斯方程：f º 0如果得到拉¶2u + ¶2u + ¶2u =0¶x2¶y2¶z

2、2简写为(Ñ2u = 0).Du = 0例一 ：如果在某个物体中有(与时间无关)定常的热源分布，其密度为 kf (x, y, z), 此处k为导热系数，物体中温度分布 u = u(x, y, z)已经稳定，便有¶u = 0,¶t对应的三维热传导方程为kcrkcrDu +f (x, y, z) = 0或Du = - f .其中 f 为已知函数，这是泊松方程。f º 0如果没有热源，即则Du = 0,斯方程。我们得到拉例二： 设在一真空空间区域 W中存在一个G静电场 E(x, y, z), 电荷的密度分布函数为r (x, y, z),根据静电学中的基本定律，

3、有GGrdivE = Ñ· E = e(高斯定理)(斯托克斯定理)且0GrotE = Ñ´ E = 0.这个静电场是无旋的，那么必定是有势的，即存在一个电位函数： u = u(x, y, z)使得E = -Ñu,把这个式子代到第一个方程中去，则Du = - r .e0如果此空间中无电荷存在，即 r (x, y, z) = 0,我们就得到拉斯方程：Du = 0.附:电场的高斯定理:穿过闭合曲面S 向外的电通量等于闭合曲面所围空间 1T 中的电量的e倍,为真空介电常数, 即e00G1vòSE · dS = e ò rd

4、V0 T把上式左面的改为体积可得JG 1òòTrdVÑ· E dV = e0T再由T的任意性可得GG1r.divE = Ñ · E = e斯托克斯定理:0对任意闭合路径L及其围成的曲面S，有GJGvòL E · dl =ò rot E · dS.S静电场的环路定理:静电场是一个保守场, 即对任意闭合路径L , E的环量均为零,GE · dl = 0.vòL若矢量场E沿任意闭合路径L的环量恒为零保守场，它就是无旋场. 由静电场的环路定理和斯托克斯定理GrotE = Ñ

5、´= 0.可得E和路线的无关性可得存在u(x,y,z), 使再由空间曲线E = -Ñu.特别情形：e0例三:若在整个空间中只有一个正电荷，放置在函数，这时电位坐标原点，即电荷密度分布函数为du 满足方程:Du = -d (x, y, z),14p r,从静电学知，其电位函数为此处r =+ y2 + z2 .x2因此，æö1Dç 4p r ÷ = -d (x, y, z).èø二、泊松方程的基本解14p rg +若任意一个函数满足Dg = 0,则函数Du = -d (x, y, z)的解.也是1不是方程 Du = -

6、d (x, y, z)的唯一解.所以4p rDu = -d (x, y, z)的任何解均可表示成如下形式14p rg +.将方程 Du = -d (x, y, z)定义:的解称为泊松方程或拉斯方程的基本解。如果点电荷放在点P(x ,h,z )Q(x, y, z) 处的电位为处，则在任意一点14p rpq14p1u =×.(x - x )2+ ( y -h)2 + (z - z )2即æ1öD= -d (x - x , y -h, z - z ).ç 4p r÷èøpq如果已经知道了泊松方程 Du = - f的一个基本解DG

7、= -d (x, y, z)G(x, y, z),即它满足方程则卷积¥G * f (x, y, z) = òòòG(x - x0, y - y0, z - z0 )-¥f (x0 , y0 , z0 )dx0dy0dz0是泊松方程 Du = - f的一个解。证明： 由于G满足方程DG = -d (x, y, z),则DG(x - x0 , y - y0 , z - z0 ) = -d (x - x0 , y - y0 , z - z0 )那么，¥D(G * f (x, y, z) = òòò-¥

8、DG(x - x0, y - y0, z - z0 )f (x0 , y0 , z0 )dx0dy0dz0¥= òòò- d (x - x0, y - y0, z - z0 )f (x0 , y0 , z0 )dx0dy0dz0-¥= - f (x, y, z).所以Du = - fG * f的解。为泊松方程第二节解拉斯第一边值问题的格林函数法一、格林公式格林(Green)公式 的推导：设 W 是三u及v在 W + S中的某一个有界区域，S为其边界，上具有二阶连续偏导数，则 第一格林公式òòòuDvdw = w&#

9、242;ò u ¶v ds -òòòÑu ×Ñvdw¶nWWS第二格林公式æ u ¶v - v ¶u ö dsòòòWwòò ç(uDv - vDu)dw =¶n ÷¶nèøS其中GGG¶¶¶Ñ = i ¶x + j ¶y + k ¶z ,Gn 为S的外法线方向的方向向量，¶表示

10、沿 n 方向的方向导数：¶n¶u = ¶u cos(n, x) + ¶u cos(n, y) + ¶u cos(n, z)¶n¶x¶y¶z证明： 高斯公式æ ¶P + ¶Q + ¶R ö dwòòòç ¶x¶z ÷¶yèøW= wòòPcos(n, x) + Qcos(n, y) + Rcos(n, z)dsS其成立条件是P, Q, R

11、在 W + S注意到上具有一阶连续偏导数。æ ¶2v¶2v ö=¶ æ¶v ö¶2v¶ æ¶v ö¶ æ¶v ö¶x ç u ¶x ÷ + ¶y ç u ¶y ÷ + ¶z ç u ¶z ÷uDv = u ç+÷è ¶x¶y¶zèø

12、;èø222èøø-æ ¶u ¶v + ¶u ¶v + ¶u ¶v ö.ç ¶x ¶x¶z ¶z ÷¶y ¶yèø将上式两端在区域 W 上，并对右端第一个运用高斯公式，即é ¶ æ u ¶v ö +¶ æ u ¶v öù¶ æ u ¶v &

13、#246; +òòò ê¶x çw¶z ÷úd¶x ÷¶z ç¶y ç¶y ÷èøèøûèøWëu ¶v cos(n, x) + u ¶v cos(n, y) +u ¶v cos(n, z)ù ds= wòò úû¶x¶y¶zS(P = u

14、 ¶v , Q = u ¶v , R = u ¶v .)= wòò u ¶v ds .¶x¶y¶z¶nS因为¶u ¶v + ¶u ¶v + ¶u ¶v = Ñu ×Ñv¶x ¶x¶y ¶y¶z ¶z则对于¶ æ u ¶v ö + ¶ æ u ¶v ö + ¶

15、æ u ¶v ö -Ñu ×ÑvuDv =¶x ç¶x ÷¶z ç¶z ÷¶y ç¶y ÷èøèøèø上式的为òòòuDvdw = wòò u ¶v ds - òòòÑu ×Ñvdw¶nWWS从而证明了第一格林公式。在第一格林公式

16、中将u和v对换，得到òòòvDudw = wòò v ¶u ds - òòòÑv ×Ñudw.¶nWWS将两式相减得第二格林公式æ u ¶v - v ¶u ö ds .òòòWwò ç(uDv - vDu)dw =¶n ÷¶nèøS二 泊松方程的第一边值问题及其格林函数ìDu = -j的解.求出泊松方程第一边值问题&#

17、237; u=fîS第一边值问题也称为狄里克莱问题如果j º 0,则问题变为拉斯第一边值问题：ìDu = 0,(在W内)(在S上)íu= f ,îS附: 调和函数:称具有二阶连续偏导数且满足拉为调和函数。斯方程的函数W所以： 拉斯第一边值问题变为- 在区域上找一个调和函数，使它在边界 S上的值为已知函数。下面求解, 为此首先引进格林函数的概念ìDG = -d (x - x , y -h, z - z )称满足定解问题íG= 0îSìDG = -d (r - G或r0 )íG= 0îS的

18、函数为泊松方程第一边值问题的格林函数,其中M 0 (x ,h,z ) = M 0 (r ) 是区域W 中一个任意固定的点.假设已经求出格林函数G, 那么u(x ,h,z ) =òòòu(x, y, z)d (x -x, y -h, z -z )dxdydz = -òòòuDGdwW由第二格林公式, 则上式变为Wæ u ¶G - G ¶u öds -wòò çòòòWu(x ,h,z ) = -GDudw¶n ÷

19、82;nèøf , G = 0.S但Du = -j,所以可得在S上u =f ¶GdsòòòGjdw.u(x ,h,z ) = -wòò¶nWS斯第一边值问题，如果j = 0,对于拉上式可写为u(x ,h,z ) = -wòò¶Gdsf¶nS其中G也可称为拉斯方程第一边值问题的格林函数.三、格林函数的物理意义把区域 W 的边界考虑为一个金属壳体，内一点 P(x ,h,z )并把它用导线接地，并在 W放置一个正电荷，令V (P,Q) = V (x - x , y -h,

20、 z - z )表示这个静电场的电位函数，由于现在电荷是集中在一点的，可用d函数来表示电荷分布密度，因此电位函数V 应该满足方程DV = -d (x - x , y -h, z - z )由于边界接地，在边界上有(在 W 内)，= 0.VS由此可见，格林函数就是这么一个电场的电位。第三节特殊区域上的格林函数格林函数法对于求解泊松方程和拉第一边值问题有着重要的应用.斯方程的镜像法”寻找相对于曲面的“对称”的两点，在曲面内的一点放置一个正电荷，而在曲面外“对称”的点处放置一个电量适当的负电荷，使得这两个正负电荷产生的电位在曲面上互相抵消，它们产生的电位的 代数和就是所要求的格林函数。对于某些特殊的

21、区域，其格林函数的求解可用“镜像法”或“位像法”求得.一、半空间上的格林函数上半空间区域上的格林函数满足ìDG = -d (r - r0 ),z > 0íG= 0îz=0上取一点 M 0 (x0 , y0 , z0 ),在半空间 z > 0r =+ y2 + z2x2表示自原点到该点的距离，正电荷，它所形成的静电场令0000并在该点放置一个M (x, y, z)在任何一点1处的电位函数为11 ×=pr4p4(x - x )2 +(y - y )2 +(z - z )2M M0000并且æ1öD= -d (x - x , y

22、 - y , z - z ) = -d (rG - Gr0 )ç 4p r÷000èøM 0M1满足方程 DG = -d (r - r ),即函数4p r0M0M但是它不是格林函数，因为它在边界平面 z = 0上不为零。关于平面M1 (x1, y1, z1 )为点 M 0 (x0 , y0 , z0 )设的对称点，并在点 M1处放置一个z = 0负电荷，M (x, y, z)这样，该负电荷所形成的静电场在点的电位为114p1-= -×4p rM(x - x )2 + ( y - y )2 + (z - z )2M1111并且æ1

23、46;D= -d (x - x , y - y , z - z ) = -d (rG - Gr1 ),ç 4p r÷111èøM1M若z = 0,即当点M 位于平面xoy上，则有11-= 0.rMrMMM01说明这两个电荷所形成的电位在平面 z = 0上相互抵消。11G(M , M ) =-令,4p r4p r0M 0MM1M位于半空间 z > 0 之外，则函数M1注意到点G满足ìDG = -d (r - r ),z > 00íG= 0îz=0这说明G为所求之格林函数。有了格林函数，定解问题ìDu =

24、0,z > 0íu= f (x, y)îz=0f ¶GdS,的解可表示为 u(x ,h,z ) = - òò¶nz=0G此处 n 为沿平面z = 0 的“外”法线方向的方向向量。平面 z = 0 对于区域 z > 0垂直向下的方向，所以的“外”法线方向即为¶G= - ¶G¶n¶zz=0z=0z - z01=()p34()()()2222x- x+ y - y+ z - z000z=0z + z01-()p34()()()2222x - x+ y - y+ z + z000z=012z

25、0= -()p34()2+ ( y - y)22x - x+ z2000那么，¥¥12pzf (x, y)dxdyò òu(x0 , y0 , z0 ) =0()3()2+ ( y - y)22x - x+20z-¥ -¥00定解问题的解为¥ ¥zf (x,h)dxdh1ò òu(x, y, z) =2p -¥ -¥ (x - x)2 + (h - y)2 + z2 )32现在考虑球域上的格林函数。W是半径为 R 的球域，不妨设球心为坐标原点 O,在球内取一点M 0 (x0

26、, y0 , z0 ), 在点 M 0放置一个正电荷，M (x, y, z)处的电位函数为它所形成的静电场在任意一点1.4p rMM0它满足æ1öD= -d (x - x , y - y , z - z ) = -d (rG - Gr0 ).ç 4p r÷000èøM 0M二、球域的格林函数但是它在球面 S上的值不为零，因此不能作为格林函数。为求出球域内的格林函数，将 OM 0的连线延长至× r= R2,rM (x , y , z ),使得OMOM11111称点 M1为点 M 0关于球面S的对称点或反演点，并在点 M1处放置

27、一个 q的负电荷，适当选择q的值，使得这两个电荷所形成的电位在球面 S上相互抵消。为此，只要取1q=,4p rM4p rMPP01q = rM1P或者,rMP0其中P为球面S上任意一点。注意，在三角形 DM 0OP 及DPOM1中，OM 0OP=OPOM1它们又有一个公共角ÐM 0OP,M1P =OP= RDM 0OP DPOM1,故M 0 Pq = ROM 0r0故可取r0就能使这两个电荷所形成的电位之和在球面 S上为零，相应的格林函数为11× R .G(M , M ) =-4p r4p r0rM 0MM1M0注意到点 M1位于球面之外，函数 G 满足ìDG =

28、 -d (r - r0 ),r < RíG= 0îr =R这说明G即为所求之格林函数。有了格林函数，定解问题ìDu = 0,r < Ríu= f (q ,j)îr =R的解可表示为f ¶Gds ,u = -wòò¶nGS此处 n 为沿球面S的外法线方向的方向向量， 即沿球的半径的方向.为方便起见，这儿采用球坐标 (r,q ,j ),OM= r ,OM = R2r ,0010设动点M的坐标为(r,q ,j ),之间的夹角为 y ,OM1与OM由余弦定理，+ r 2 - 2r r cosy=r 2

29、rM 0M00及æ R2öR21- 2r cosyry=÷ + r=r+ r r- 2R rr cos24222rM M1Rç00rè0ø00那么111RG (M , M ) =-04p4p+ r 2 - 2r r cosyy+ r 2r 2 - 2R r r cosr 2R420000 ¶ æ 1ö¶ æ 1ö并且=ç÷ç÷¶¶rrMnrMè0ø Sè0ø r =RMM

30、82; æö1=ç÷¶r ç÷+ r 2 - 2rr cosyr 2èø r =R00æö(2r - 2r cosy )12= ç - 0÷ç÷y )(r 2 + r 2 - 2rr cos3èø r =R00R - r0 cosy= -,()3yr+ R2 - 2r R cos2200同样可计算¶ æö¶ æör - R cosyr 211= -,020ç

31、÷ç÷(r+ R2 - 2r R cosy )¶¶3nrrrRèøèø22M MM M11r =RS00所以我们可得到¶ æ1ö- R × ¶ æ1ö¶G¶=ç÷ç÷¶r4p rMr0¶r4p rMnèø r =Rèø r =Rr =RMM01- r 2R214p1= - 0 ()3Ryr+ R2 - 2r R cos

32、2200可得定解问题的解 (称为球的泊松公式 )q,j)(R2 - r ) f (214p Rwòòu(M0 ) =0dS3(R2 + r2 - 2Rr cosy )2S00其中 M 0 (r0 ,q0,j0 )为球内一点,N (R,q ,j)为球面S上的点，是OM与ON之间的夹角。用初等的方法可推得cosy = cosq cosq0 + sinq sinq0 cos(j -j0)这两个公式提供了如何利用一个调和函数在球面上 的值去计算该函数在球内任意一点的值。特别，如果点M就是球心，那么u(0,q ,j ) =1wf (q ,j)dSòò4p R200

33、S上式表明，一个调和函数在球心的值等于它在球面上值的平均，因此该式也称为调和函数的平均值公式。第四节平面特殊区域的格林函数二维泊松方程的形式仍为( f = f ( x, y )Du = f为已知函数)斯方程：Du = 0对应的齐次方程为拉12pG(x, y) = -可以证明，函数ln rr =+ y2 .x2为二维拉斯方程的基本解，一、基本解证明：将Du = 0写为极坐标形式¶2u + 1 ¶u +1 ¶2u= 0,¹ 0)(r¶q 2¶r 2r ¶rr 2因为¶G = -¶G¶q¶2

34、G1 12p r12p1= 0,=,¶r¶r 2r 2代入方程可得12p112p1左=-+ 0 = 0 = 右.r 2r 2卷积¥¥G* f = ò ò G(x - x0, y - y0 ) f (x0, y0 )dx0dy0-¥ -¥给出了泊松方程的解。二维区域曲线的格林公式为æ ¶B - ¶A ö svòCòç ¶xA(x, y)dx + B(x, y)dy =¶y ÷dèøD二、格林公式D是

35、平面有界连通区域，C是D的正向光滑边界，A和B在D+C上连续，在D内有一阶连续偏导数.经过变形，上式变为æ¶P+¶Qödxdy =Pcos(n,x)+Qcos(n, y)dtòòç ¶xòv(*)¶y ÷D èøDn 是封闭曲线C的外法线方向的方向向量。事实上, 根据高数中关于平面曲线C上两类曲线之间的vò Pdx + Qdy = ò (P cosa + Q cos b )dsCCa (x, y) 和 b (x, y) 是曲线弧在点(x, y)的

36、切线的方向角其中令P=B, Q= -A, 则根据二维区域曲线的格林公式可得æ ¶P + ¶Q öæ ¶B¶A öòòç ¶x¶y ÷ds = òòç ¶x - ¶y ÷dsèøèøQ(x, yDD= vòCA(x, y)dx + B(x, y)dy = vòC+(x, y)dy= vòC -Q cosa + P cos b ds

37、= vòC P cos(n, x) + Q cos(n, y)ds(n, x) 和(n, y)是曲线在点(x, y)的外法线的方向角a + (n, y) = p ; b = (n, x).注:cosa = - cos(n, y),cos b = cos(n, x).所以(*)式成立.平面区域上的第二格林公式æ u ¶v - v ¶u ödtòòvòC ç(uDv - vDu)ds =¶n ÷¶nèøD证：因为æ ¶2v¶2v

38、ö¶ æ¶v öæ ¶u ¶v¶u ¶v ö¶ æ¶v öuDv = u+=u+u-+.x¶y2 ÷¶x ç¶x ÷¶y ç¶y ÷ç ¶x ¶x¶y ¶y ÷ç¶2èøèøèøèø将上式两

39、端在区域D上运用(*)公式，即，并对右端第一个é ¶ æ u ¶v ö + ¶ æ u ¶v öù dsòòD= vòCê¶x ç¶x ÷¶y ç¶y ÷úèøèøûëu ¶v cos(n, x) + u ¶v cos(n, y)dt = vò u ¶v dt .

40、82;x¶y¶nC¶u ¶v + ¶u ¶v = Ñu ×Ñv因为¶x ¶x¶y ¶y则对于¶ æ¶v ö¶ æ¶v öuDv = ¶x ç u ¶x ÷ + ¶y ç u ¶y ÷ -Ñu ×Ñvèøèø上式的为uDvds = vò u ¶v dt - òÑu ×Ñvdsò¶nDCD将上式中的u和v交换次序且相减则可得到第二格林公式.对于二维区域D上的泊松方程的第一边值问题ì Du = -j,(在D内)(在C上)íu= f ,îC此处C 为D的边界,G(x, y)其格林