电子工程数学方式复变函数论第三章

1、电子工程数学方式复变函数论第三章2函数有精确表示和近似表示。函数有精确表示和近似表示。精确表示（解析表示）：精确表示（解析表示）： 表示为初等函数通过四则运算表示为初等函数通过四则运算近似表示：近似表示： 通过逼近，近似表示为初等函数通过四则运算通过逼近，近似表示为初等函数通过四则运算级数表示：级数表示： 近似表示的一种，表示为一个函数级数近似表示的一种，表示为一个函数级数第三章第三章 幂级数展开幂级数展开3第三章第三章 幂级数展开幂级数展开3.2 3.2 幂级数幂级数3.3 3.3 泰勒级数展开泰勒级数展开3.5 3.5 洛朗级数展开洛朗级数展开3.1 3.1 复数项级数复数项级数3.6 3

2、.6 孤立奇点的分类孤立奇点的分类4复数项无穷级数复数项无穷级数121kkkwwwwikkkwuv前前n项之和项之和111innnkkknkkkwuvFn111limilmilminnknknkknkkwFuviv若：若：则称级数则称级数 收敛于收敛于F F，此时实部和虚部对应的两个级数，此时实部和虚部对应的两个级数11limlim=nnkknnkkuuvv，也是收敛的。也是收敛的。3.1 3.1 复数项级数复数项级数（一）复数项级数的收敛与柯西判据（一）复数项级数的收敛与柯西判据1kkw实数项级数性质可移用于复数项级数实数项级数性质可移用于复数项级数1 1、复数项级数的收敛的定义、复数项级数

3、的收敛的定义53.1 3.1 复数项级数复数项级数（一）复数项级数的收敛与柯西判据（一）复数项级数的收敛与柯西判据2 2、柯西收敛判据、柯西收敛判据复数项级数收敛的充要条件是：复数项级数收敛的充要条件是： 对于任意小的正数对于任意小的正数 ，必存在，必存在N 使得使得 nN 时有时有1,npkk n 式中式中 p 为任意正整数。为任意正整数。柯西收敛判据柯西收敛判据63.1 3.1 复数项级数复数项级数（一）复数项级数的收敛与柯西判据（一）复数项级数的收敛与柯西判据3 3、绝对收敛、绝对收敛若复数项级数各项的模组成的级数若复数项级数各项的模组成的级数2211=+kkkkkuv收敛，则称级数收敛

4、，则称级数 绝对收敛。绝对收敛。1kk1）绝对收敛的复数项级数必然收敛。）绝对收敛的复数项级数必然收敛。注：注：2）两个绝对收敛级数的和或积仍绝对收敛。）两个绝对收敛级数的和或积仍绝对收敛。7复级数的每一项都是复数的函数，即为复变函数项级数：复级数的每一项都是复数的函数，即为复变函数项级数：3.1 3.1 复数项级数复数项级数（二）复变函数项级数（二）复变函数项级数121( )( )( )( ),( )kkkkzzzzz为变数z的复函由柯西判据，知复变项级数在区域由柯西判据，知复变项级数在区域 B 中收敛的充要条件：中收敛的充要条件： 对于任意小的正数对于任意小的正数 ，必存在，必存在N(z)

5、 使得使得 nN(z) 时有时有1( ),npkk nz 式中式中 p 为任意正整数。为任意正整数。若若N与与z无关，则称该复变函数项级数在无关，则称该复变函数项级数在B内一致收敛。内一致收敛。注：注：83.1 3.1 复数项级数复数项级数（二）复变函数项级数（二）复变函数项级数复变函数项级数相关性质：复变函数项级数相关性质： 1、若复变函数项级数在区域、若复变函数项级数在区域B（或路径（或路径l )上一致收敛，且每一上一致收敛，且每一项都在区域项都在区域B (或路径或路径l ）上连续，则级数和也是区域）上连续，则级数和也是区域B (路径路径l ）内连续函数。内连续函数。 2、在区域、在区域B

6、内，若复变函数项级数内，若复变函数项级数 的各项的模的各项的模( ),kkzm 而常数项级数而常数项级数 收敛，则称收敛，则称 在区域在区域B上绝对且一致收上绝对且一致收敛。敛。1kkm1kk1kk93.2 3.2 幂级数幂级数（一）幂级数定义（一）幂级数定义 幂级数是指各项都是幂函数的复变函数项级数。幂级数是指各项都是幂函数的复变函数项级数。200102000()()()()kkkkkazzaa zzazzazz称为以称为以z0为中心的幂级数。其中，各系数项为中心的幂级数。其中，各系数项均为复常数。均为复常数。012,kz a aa103.2 3.2 幂级数幂级数（二）幂级数的收敛性判别（二

7、）幂级数的收敛性判别达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法1 1、达朗贝尔收敛判据（比值判别法）、达朗贝尔收敛判据（比值判别法）由正项级数的比值判定法可知，若模级数由正项级数的比值判定法可知，若模级数考察幂级数各项的模组成的级数考察幂级数各项的模组成的级数00()kkkazz1limlim010101zzaazzazzakkkkkkkk则模级数收敛。由绝对收敛定义，知幂级数则模级数收敛。由绝对收敛定义，知幂级数00()kkkazz绝对收敛。绝对收敛。113.2 3.2 幂级数幂级数2、收敛圆、收敛圆1limlim010101zzaazzazzakkkkkkkk由前可知，幂级数绝对收敛条件为：由前可知，幂

8、级数绝对收敛条件为：引入引入 ，则幂级数绝对收敛条件变为：，则幂级数绝对收敛条件变为：1limkkkaaR0zzR收敛圆：以收敛圆：以z0圆心，半径为圆心，半径为R的圆。的圆。R称为收敛半径。称为收敛半径。幂级数在收敛圆内绝对收敛，而在圆上和圆外可能发散。幂级数在收敛圆内绝对收敛，而在圆上和圆外可能发散。圆外仍可能有区域是收敛的。圆外仍可能有区域是收敛的。（二）幂级数的达朗贝尔收敛性判据（二）幂级数的达朗贝尔收敛性判据12若若 ，则幂级数发散；，则幂级数发散；若若 ，则模级数收敛，幂级数绝对收敛；，则模级数收敛，幂级数绝对收敛；3.2 3.2 幂级数幂级数3、根值判别法：、根值判别法：（三）幂

9、级数的收敛性判别（三）幂级数的收敛性判别根值判别法根值判别法0lim1kkkazz0lim1kkkazz由此可得收敛半径的另外一种定义：由此可得收敛半径的另外一种定义：1=limkkkRa13例：求幂级数例：求幂级数 的收敛圆（的收敛圆（t为复变量）。为复变量）。21kttt 解：解：1ka 1lim1kkkaRa则收敛半径则收敛半径:故，收敛圆为以故，收敛圆为以t=0为圆心，半径为为圆心，半径为1的圆。的圆。3.2 3.2 幂级数幂级数14例：求幂级数例：求幂级数 的收敛圆。的收敛圆。20( 1)kkkz解：解：( 1)kka 1lim1kkkaRa则收敛半径则收敛半径:故，收敛圆为以故，收

10、敛圆为以z=0为圆心，半径为为圆心，半径为1的圆。的圆。3.2 3.2 幂级数幂级数另解：另解：21limkkkRa则收敛半径则收敛半径:21lim11kkk( 1)kka 15例：求幂级数例：求幂级数 的收敛圆。的收敛圆。20/2kkz解：解：22kka21limkkkRa则收敛半径则收敛半径:故，收敛圆为以故，收敛圆为以z=0为圆心，半径为为圆心，半径为2的圆。的圆。3.2 3.2 幂级数幂级数221lim21/(2)kkk163.2 3.2 幂级数幂级数（四）幂级数的积分表示（四）幂级数的积分表示2010200( )()()()kkaazazaz 201020()()1( )111222

11、2aazaziziziziz 将上式沿收敛圆取路径积分，并利用柯西公式，可得：将上式沿收敛圆取路径积分，并利用柯西公式，可得：2010201( )()()2Cdaa zza zziz 在收敛圆内，幂级数的和可表示为连续函数的回路积在收敛圆内，幂级数的和可表示为连续函数的回路积分分在收敛圆内幂级数和为解析函数。在收敛圆内幂级数和为解析函数。173.3 3.3 泰勒级数泰勒级数任意阶导数都存在的实变函数可以展开为泰勒级数。任意阶导数都存在的实变函数可以展开为泰勒级数。问题：问题： 解析函数任意阶导数都存在，是否可将解析函数展开为解析函数任意阶导数都存在，是否可将解析函数展开为复变函数项的泰勒级数呢

12、？复变函数项的泰勒级数呢？可以！可以！183.3 3.3 泰勒级数展开泰勒级数展开泰勒级数展开定理：泰勒级数展开定理： 设设 在以在以 为圆心的圆为圆心的圆 内解析，则对圆内任意点内解析，则对圆内任意点 ， 可展开为可展开为( )f z( )f z0zRC00( )()kkkf zazzz其中其中1( )010()1( )2()!RkkkCfzfadizk即：即：( )0000()( )()()!kkkfzf zzzzzRk泰勒级数泰勒级数193.3 3.3 泰勒级数展开泰勒级数展开证明：证明： 设设 在收敛圆在收敛圆 内解析，则由柯西积分公式内解析，则由柯西积分公式( )f zRC1( )(

13、 )d,2RCff ziz000001111()()1zzzzzzzz001zzz而而由于由于为积分路径上点，而为积分路径上点，而z为积分路径内点，故有为积分路径内点，故有0000()11()()nnnzzzzz1( )( )d2RCff ziz0100()1( )d ,2()RnnCnzzfiz等比数列等比数列203.3 3.3 泰勒级数展开泰勒级数展开证明证明( (续续) )：0100()1( )( )d2()RnnCnzzf zfiz01001( )()d2()RnnCnfzziz( )1!( )( )2()nnlnffzdiz( )000()()!nnnfzzzn213.3 3.3 泰

14、勒级数展开泰勒级数展开例（重要）：在例（重要）：在z0=0的邻域上将的邻域上将 展开为泰勒级数。展开为泰勒级数。( )zf ze0( )00()1zkfzee解：解：0!kkzk（展开时能直接求导就求导）( )000()()!kzkkfzezzk1limkkkaRalim(1)kk 223.3 3.3 泰勒级数展开泰勒级数展开例（重要）：在例（重要）：在z0=0的邻域上将的邻域上将 展开。展开。12( )sin( )cosf zzfzz和解：解：210( 1)(21)!kkkzk( )10100()( )()!kkkfzf zzzk1limkkkaRa(2 )(21)11( ) ( 1) si

15、n ,( ) ( 1) coskkkkfzzfzz (2 )(21)22( )( 1) cos ,( )( 1) sinkkkkfzzfzz 20( 1)(2 )!kkkzk( )20200()( )()!kkkfzfzzzk3571!3!5!7!zzzz24612!4!6!zzz 23bB3.4 3.4 解析延拓解析延拓（一）解析延拓概念（一）解析延拓概念 2n1021+1( )1nnfzzzzzfzz考察如下两个函数考察如下两个函数在在 区域等同区域等同 | 1z 对于某个区域对于某个区域b上的解析函数上的解析函数f(z)，如果能找到，如果能找到另一个函数另一个函数F(z)，它在含有区域，

16、它在含有区域b的一个较大的区域的一个较大的区域B上解析，上解析，且在区域且在区域b上等同于上等同于f(z) ，则这个过程就叫解析延拓。，则这个过程就叫解析延拓。解析延拓：解析延拓：解析延拓就是解析函数定义域扩大后的结果。解析延拓就是解析函数定义域扩大后的结果。1(| 1)1zz(1)z 243.4 3.4 解析延拓解析延拓（二）解析延拓唯一性（二）解析延拓唯一性可以证明：可以证明： 函数函数F1(z)和和F2(z)在区域在区域B上解析，若在上解析，若在B的某子区域的某子区域b上有上有 F1(z)F2(z)，则在整个区域则在整个区域B上必有上必有 F1(z)F2(z) 。同一解析函数的解析延拓是

17、唯一的。同一解析函数的解析延拓是唯一的。253.5 3.5 洛朗级数展开洛朗级数展开（一）双边幂级数（一）双边幂级数 当所研究的圆域上存在函数的奇点时，就不再能将函数展当所研究的圆域上存在函数的奇点时，就不再能将函数展为泰勒级数，而需考虑在除去奇点的环域上的展开为泰勒级数，而需考虑在除去奇点的环域上的展开洛朗级洛朗级数展开数展开。212201001020()()()()azzazzaa zzazz考察双边幂级数：考察双边幂级数：收敛半径为收敛半径为R1，在圆在圆 z-z0 =R1内收敛内收敛01zz令令2211=nnnaaa 收敛半径记为收敛半径记为1/R2，即在圆即在圆 z-z0 =R2外收

18、敛。外收敛。263.5 3.5 洛朗级数展开洛朗级数展开若若R2R1，则双边幂级数，则双边幂级数212201001020()()()()azzazzaa zzazz在环域在环域R2 z-z0 R1内绝对且一致收敛，其和为一解析函数，内绝对且一致收敛，其和为一解析函数，级数可逐项求导。级数可逐项求导。环域环域R2 z-z0 R1称为该双边幂级数的收敛环。称为该双边幂级数的收敛环。（一）双边幂级数（续）（一）双边幂级数（续）273.5 3.5 洛朗级数展开洛朗级数展开（二）洛朗级数（二）洛朗级数洛朗展开定理：洛朗展开定理： 设设f(z)在环域在环域R2|z-z0|R1的内部单值解析，则对环域内任的

19、内部单值解析，则对环域内任一点一点z，f(z)可展为幂级数可展为幂级数 其中其中 积分路径积分路径C为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。闭合曲线。0( )() ,kkkf zazz101( )d2 i()kkCfazz0R1CR1R2CR2C R1CR2C洛朗级数洛朗级数展开展开28100on:RCzzz121( )1( )( )dd2 i2 iRRCCfff zzz200on:RCzzz000000000()11111,()()()1kkkzzzzzzzzzzzz000000000()11111()()()1lllzzzzzzzzzzzz

20、zz 证明证明：为避免讨论圆周上函数的解析性：为避免讨论圆周上函数的解析性和级数的收敛问题，将外圆稍微缩小为和级数的收敛问题，将外圆稍微缩小为C R1、内、内圆稍微扩大为圆稍微扩大为C R2，利用复通区，利用复通区域上的柯西公式：域上的柯西公式：3.5 洛朗级数展开洛朗级数展开z0R1CR1R2CR2C R1CR2C29120100(1)0001( )( )()d2 i()1()()( )d2 iRRkkCkllClff zzzzzzzf1(1)01101( )()d2 i()RklkCauchykCkfzzz 0( )()kkkf zazz111001( )1( )dd2 i2 i()()R

21、kkkCCffazz3.5 3.5 洛朗级数展开洛朗级数展开注：注：10( )01( )d2 i()()!kCnkfazfzk因为不满足柯西公因为不满足柯西公式条件。式条件。30例：在以例：在以z=0z=0为中心的为中心的0|z|+0|z|0)(2)!(2)!kekkk( )1!( )( )2()nnlnffzdiz31例：在以例：在以z=0z=0为中心的为中心的0|z|+0|z|+ 的圆环域内把的圆环域内把 展开。展开。 3.5 3.5 洛朗级数展开洛朗级数展开2( )zef zz解解: :（间接法）（间接法）01!zkkezk2( )zef zz201!kkzzk201!kkzk21(2)

22、!llzl(2)lk32例：在例：在z=1的邻域上将函数的邻域上将函数 展开为洛朗级数。展开为洛朗级数。 3.5 3.5 洛朗级数展开洛朗级数展开21( )1f zz解解:先将函数分解为先将函数分解为1111( )(1)(1)211f zzzzz奇点分别为奇点分别为z=1和和z=-1，因此在，因此在 环域内解析，故有环域内解析，故有012z1111(1)1(1)2212zzz01(1)( 1)22kkkz111( )211f zzz1011(1)( 1)(012)212kkkkzzz(12)z33例：在例：在 环域上将函数环域上将函数 展开为洛朗级数。展开为洛朗级数。 3.5 3.5 洛朗级数

23、展开洛朗级数展开21( )1f zz111(1)2zz012( 1)(1)(1)kkkzz111( )211f zzz1112( 1)(12)(1)kkkkzz(12)z 21z 解解: :先将函数分解为先将函数分解为1111( )(1)(1)211f zzzzz112(1)1(1)zz1(1)0112( 1)21(1)kkkkzz34例：在例：在 环域上将函数环域上将函数 展开为洛朗级数。展开为洛朗级数。 3.5 3.5 洛朗级数展开洛朗级数展开21( )1f zz解解: :1z 221111zz22011kkzz2(1)0kkz21kkz21( )1f zz35例：以例：以z=0为中心将函

24、数为中心将函数 展开为洛朗级数。展开为洛朗级数。 3.5 3.5 洛朗级数展开洛朗级数展开1( )(1)(2)f zzz解解:先将函数分解为先将函数分解为111( )(1)(2)21f zzzzz奇点分别为奇点分别为z=1和和z=2，因此在，因此在z=0的邻域上可在三个环状区域的邻域上可在三个环状区域内进行级数展开。内进行级数展开。111( )1212f zzz00122kkkkzz(1)1z 101(1)2kkkz360011122kkkkkzzz (2)12z3.5 3.5 洛朗级数展开洛朗级数展开111111( )1212112f zzzzzz 110012kkkkkzz 001211k

25、kkkkzzzz(3)2z 111111( )212111f zzzzzzz1021kkkz373.6 3.6 孤立奇点的分类孤立奇点的分类（一）孤立奇点与非孤立奇点（一）孤立奇点与非孤立奇点孤立奇点：孤立奇点： 若函数若函数 f(z) 在某在某z0点处不可导，而在其任意小邻域内除点处不可导，而在其任意小邻域内除 z0 外外处处可导，则称处处可导，则称z0为为 f(z) 的孤立奇点。的孤立奇点。非孤立奇点：非孤立奇点： 若函数若函数 f(z) 在某在某z0点处不可导，且在的任意小邻域内还可找点处不可导，且在的任意小邻域内还可找到到 除除z0 外的不可导点，则称外的不可导点，则称z0为为 f(z

26、) 的非孤立奇点。的非孤立奇点。例例: 1/z、exp(1/z)、f(z)=1/sin(1/z) 在在z0=0点的情况点的情况奇点：奇点： 若函数若函数 在某在某z0点处不解析，则称该点为点处不解析，则称该点为f(z) 的奇点。的奇点。383.6 3.6 孤立奇点的分类孤立奇点的分类（二）可去奇点、极点和本性奇点（二）可去奇点、极点和本性奇点 洛朗级数的正幂项洛朗级数的正幂项( (含常数项含常数项) )部分被称作部分被称作解析部分解析部分( (或或正正则部分则部分) )；负幂项部分被称为；负幂项部分被称为主要部分主要部分( (或或无限部分无限部分) )。0( )() ,kkkf zazza-1具有特别重要的地位，特称其为函数具有特别重要的地位，特称其为函数f(z)在奇点在奇点z0的留数。的留数。393.6 3.6 孤立奇点的分类孤立奇点的分类（二）可去奇点、极点和本性奇点（二）可去奇点、极点和本性奇点例例: z0=0为为 sinz/z可去奇点可去奇点 1、可去奇点、可去奇点 若函数若函数f(z)在其孤立奇点在其孤立奇点z0的去心邻域的去心邻域0|z-z0|R上的洛朗上的洛朗级数中不含有级数中不含有(z-z0)的负幂项，则称的负幂项，则称z0为为f(z)的可去奇点。的可去奇点。 20102000f zaazzazzzzR 可去奇点的主要特征可去奇点的主要特征（1）f(z)在奇