方向导数与梯度

1、第九讲 方向导数与梯度方向导数与梯度方向导数与梯度一、方向导数二、梯度方向导数与梯度方向导数与梯度一、方向导数二、梯度一、方向导数一、方向导数（一）定义（二）计算一、方向导数一、方向导数（一）定义（二）计算引言引言偏导数偏导数),(00yxfxxyxfyxxfx ),(),(lim00000 xyOD0 x0yx 函数沿函数沿x轴方向的变化率轴方向的变化率),(00yxfyyyxfyyxfy ),(),(lim00000y 函数沿函数沿y轴方向的变化率轴方向的变化率函数沿坐标轴方向的变化率函数沿坐标轴方向的变化率函数沿任一方向的变化率？函数沿任一方向的变化率？例如：例如：在气象学中在气象学中,

2、 需要确定需要确定大气温度大气温度气压气压沿某些方向的变化率沿某些方向的变化率方向导数方向导数引言引言设设在在),(0000zyxP的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义,),(zyxfu 是以是以),(0000zyxP为起点的一条射线为起点的一条射线ll),(zyxP是是 上任一点上任一点,PP0le)cos,cos,(cos leltePP 0),0(|0 ttPPtzzyyxx coscoscos000l射线射线 的参数方程的参数方程: cos0txx cos0tyy cos0tzz 0 t)cos,cos,cos(000 tztytxP 0PPlyxzOt定义定义设设在在),(0000z

3、yxP的某一邻域的某一邻域),(zyxfu ),(0000zyxP为始点的一条射线为始点的一条射线,l是是 上另一点上另一点,)cos,cos,cos(000 tztytxP 是以是以l)(0PU内有定义内有定义,),(0PUP 且且如果函数增量如果函数增量),()cos,cos,cos(000000zyxftztytxf 与与P到到0P的距离的距离tPP |0的比值的比值tzyxftztytxf),()cos,cos,cos(000000 当当P沿着沿着l趋于趋于0P(即即 0t)时的极限存在，则称此极限为时的极限存在，则称此极限为函数函数),(zyxf在在0P沿方向沿方向l的方向导数的方向

4、导数,记作记作.),(000zyxlf tzyxftztytxft),()cos,cos,cos(lim0000000 ),(000zyxlf l注注二元函数二元函数),(yxf在在),(000yxP沿方向沿方向l(方向角为方向角为), 的方向导数为的方向导数为tyxftytxft),()cos,cos(lim00000 ),(00yxlf (1)(2),(000zyxlf 刻画了函数刻画了函数),(zyxf在在),(0000zyxP沿方向沿方向l的变化率的变化率tzyxftztytxft),()cos,cos,cos(lim0000000 ),(000zyxlf l注注(3)(4),(),(

5、0000yxfyxlfx 单侧极限单侧极限例例定义式的特点定义式的特点比式比式分子分子: 射线射线l上两点函数值之差上两点函数值之差分母分母: 射线射线l上两点的距离上两点的距离偏导数与方向导数偏导数与方向导数),(00yxfx存在存在,iel iel ),(),(0000yxfyxlfx 22),(yxyxf iel 1)0 , 0( lf) 0 , 0(xf但但不存在不存在一、方向导数一、方向导数（一）定义（二）计算一、方向导数一、方向导数（一）定义（二）计算定理定理函数在该点沿任意方向函数在该点沿任意方向l的方向导数存在的方向导数存在, 且有且有如果函数如果函数),(zyxf在点在点),

6、(0000zyxP可微分可微分, 那么那么),(000zyxlf cos),(cos),(cos),(000000000zyxfzyxfzyxfzyx 其中其中 cos,cos,cos是方向是方向l的方向余弦的方向余弦.u例例1 求求zxyzxyzyxf ),(在点在点) 2 , 1 , 1 (沿方向沿方向l的方向导数的方向导数,其中其中l的方向角分别为的方向角分别为.60,45,60ooou例例2 设设n是曲面是曲面632222 zyx在点在点) 1 , 1 , 1 (P处指向外侧处指向外侧的法向量的法向量,求函数求函数zyxu2286 在点在点P处沿方向处沿方向n的方向导数的方向导数.l注

7、注则有则有如果函数如果函数),(yxf在点在点),(000yxP可微分可微分,),(00yxlf cos),(cos),(0000yxfyxfyx .sin),(cos),(0000 yxfyxfyx u例例3 求函数求函数yxze 在点在点) 0 , 1 (P沿从点沿从点) 0 , 1 (P到点到点) 1, 2( Q的方向导数的方向导数.u例例4 求函数求函数yxyz 23在抛物线在抛物线xy32 上点上点) 2 , 1 (处处,沿着这抛物线在该点处偏向沿着这抛物线在该点处偏向x轴正向的切线方向轴正向的切线方向的方向导数的方向导数.方向导数与梯度方向导数与梯度一、方向导数二、梯度方向导数与梯

8、度方向导数与梯度一、方向导数二、梯度二、梯度二、梯度（一）概念（二）计算（三）物理意义二、梯度二、梯度（一）概念（二）计算（三）物理意义定义定义即即:设函数设函数),(yxf在平面区域在平面区域D内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,称向量称向量jyxfiyxfyx),(),(0000 为函数为函数),(yxf在点在点),(000yxP的梯度的梯度, 记作记作),(grad00yxf或或).,(00yxf ,),(),(),(),(grad00000000jyxfiyxfyxfyxfyx 其中其中jyix 称为称为(二维的二维的)向量微分算子或向量微分算子或Nabla算子算子 fjyix

9、定义定义其中其中:设函数设函数),(zyxf在平面区域在平面区域D内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,称向量称向量kzyxfjzyxfizyxfyyx),(),(),(000000000 为函数为函数),(zyxf在点在点),(0000zyxP的梯度的梯度, 记作记作),(grad000zyxf或或).,(000zyxf kzjyix 称为称为(三维的三维的)向量微分算子或向量微分算子或Nabla算子算子 fkzjyix 与方向导数的关系与方向导数的关系),(00yxlf cos),(cos),(0000yxfyxfyx cos| ),(grad|00yxf0 | ),(grad|00y

10、xf最大值最大值 | ),(grad|00yxf 最小值最小值2 0),(grad00yxf),(00yxlf ),(grad00yxf 梯度是一个向量梯度是一个向量方向方向: 方向导数最大值的方向方向导数最大值的方向l注注大小大小: 方向导数的最大值方向导数的最大值函数增加最快函数增加最快函数减少最快函数减少最快函数变化率为零函数变化率为零)cos,(cose llyxfe),(grad00 )e),(grad(00lyxf 梯度的投影梯度的投影几何意义几何意义曲线曲线L),(yxfz cz 在在xOy面上的投影面上的投影是一条平面曲线是一条平面曲线*Lcyxf ),(0 z*LL平面曲线平

11、面曲线cyxf ),(称为函数称为函数),(yxfz 的等值线的等值线.等值线等值线cyxf ),(上任一点上任一点),(000yxP处的法向量处的法向量),(00yxf 函数函数),(yxfz 在一点在一点),(00yx处的梯度处的梯度就是等值线就是等值线cyxf ),(在这点的法向量在这点的法向量,由数量低的等值线指向数量高的等值线由数量低的等值线指向数量高的等值线.xOyxOyz1cf 2cf 3cf 321ccc n),(),(0000yxfyxfyx 类似地类似地, 曲面曲面czyxf ),(称为函数称为函数),(zyxf的等值面的等值面.函数函数),(zyxf在一点在一点),(00

12、0zyx处的梯度就是等值面处的梯度就是等值面.czyxf ),(在这点的法向量在这点的法向量,由数量低的等值面指向由数量低的等值面指向数量高的等值面数量高的等值面.二、梯度二、梯度（一）概念（二）计算（三）物理意义二、梯度二、梯度（一）概念（二）计算（三）物理意义u例例5 求求.1grad22yx u例例6 设设),1 , 1 (),(21),(022Pyxyxf 求求(1),(yxf在在0P处增加最快的方向以及处增加最快的方向以及沿这个方向的方向导数沿这个方向的方向导数.),(yxf(2),(yxf在在0P处减少最快的方向以及处减少最快的方向以及沿这个方向的方向导数沿这个方向的方向导数.),

13、(yxf(3),(yxf在在0P处的变化率为零的方向处的变化率为零的方向.u例例7 设设),0 , 1 , 1 (,),(023Pzxyxzyxf 问问),(zyxf在在0P处的沿什么方向变化最快处的沿什么方向变化最快,变化率是多少变化率是多少.u例例8 求曲面求曲面922 zyx在点在点) 4 , 2 , 1 (0P的切平面和法线方程的切平面和法线方程.二、梯度二、梯度（一）概念（二）计算（三）物理意义二、梯度二、梯度（一）概念（二）计算（三）物理意义物理量在空间的分布物理量在空间的分布数量场数量场场场:如如: 温度场温度场, 密度场等密度场等任意一个向量场不一定是梯度场任意一个向量场不一定是梯度场.用数量函数表示用数量函数表示向量场向量场如如: 力场力场, 速度场等速度场等用向量函数表示用向量函数表示例例: 由数量函数由数量函数)