第16讲代数结构ppt课件

1、C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC函数函数根本概念根本概念定义定义 设设X X，Y Y是两个集合，是两个集合，f f是一个从是一个从X X到到Y Y的关系。的关系。 假如对于每一个假如对于每一个x xX X，都有唯一的，都有唯一的y yY Y，使，使xyf f 那么称关系那么称关系f f为为X X到到Y Y的函数，记的函数，记f f：XYXY。 X X称作称作f f的前域，的前域，Y Y称作称作f f的陪域。的陪域。 假设假设f f：XY XY ， x yf f ，可记为，可记为y=fy=fx x。 x x为函数的自变量，为函数的自变量，y y称为对应于称为对应于x x

2、的函数值。的函数值。 C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC解解 f不是不是X到到Y的函数。的函数。1对于元素对于元素4X，不存在，不存在y Y,使得使得 f。2对于元素对于元素2X，有，有f，f， f，这说明，这说明X中元素中元素2与与Y中的中的3个元素个元素 对应，不唯一。对应，不唯一。例例 判别以下关系是否为函数。判别以下关系是否为函数。1X=1，2，3，4，Y=4，5，6，当，当xX，yY，且，且xy时时,有有f2X=1，2，3，4，Y=4，5，6， f,C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC几种特殊的函数几种特殊的函数 定义定义 设函数设函数f

3、：XY，假如，假如Y中的每一个元素都是中的每一个元素都是X中一个中一个或多个元素的函数值，那么称或多个元素的函数值，那么称f为为X到到Y的满射函数。的满射函数。设设f：XY是满射函数，即对于任意的是满射函数，即对于任意的yY，必存在，必存在xX使得使得fx=y成立。成立。例：例：A=1，2，3，4，B=a，b，c，假如假如f：AB为为 f1=a， f2=c， f3=b， f4=c， 那么那么f是满射。是满射。 C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC几种特殊的函数几种特殊的函数 定义定义 设函数设函数f：XY，假如对于，假如对于X中的任意两个元素中的任意两个元素x1和和x2，

4、当，当x1x2时，都有时，都有fx1fx2，那么称，那么称f为为X到到Y的单射函数。的单射函数。例：例：A=1，2，3，B=a，b，c，d， f：AB为为f1=a， f2=a， f3=b，那么那么f f不是单射函数。不是单射函数。 f f2 2=c=c，那么那么f f是单射函数。是单射函数。 C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC定义定义 设函数设函数f f：XYXY，假如，假如f f既是满射又是单射函数，既是满射又是单射函数，那么称这个函数为双射函数。那么称这个函数为双射函数。( (即一一对应即一一对应) )例如：例如：A=1A=1，2 2，33，B=aB=a，b b，c

5、 c ， f f：AB AB 为为 f f1 1=a=a， f f2 2=c=c， f f3 3=b=b， 那么那么f f是是双射函数。双射函数。几种特殊的函数几种特殊的函数 C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC第六章第六章 代数构造代数构造什么是代数构造？什么是代数构造？代数构造也称作代数系统。由代数构造也称作代数系统。由3 3部分组成：部分组成：1.1.一个集合，叫做代数构造的载体。一个集合，叫做代数构造的载体。2.2.定义在载体上的运算。即封闭性的运算定义在载体上的运算。即封闭性的运算3.3.载体中对于运算的特异元素，即代数常数。载体中对于运算的特异元素，即代数常数

6、。C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC例：整数，加法，例：整数，加法，0 0可以构成一个代数可以构成一个代数 1 1载体是整数集合载体是整数集合I=.I=.，-2-2，-1-1，0 0，1 1，2 2，. 2 2定义在整数集合上的加法运算定义在整数集合上的加法运算“+ +是封是封闭的。闭的。 3 3对于任意元素与对于任意元素与0 0相加都是等于自己。相加都是等于自己。故故0 0为一特异元素。为一特异元素。这个代数可以记为这个代数可以记为C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC例：整数，乘法，例：整数，乘法，0 0，1 1可以构成一个代数可以构成一个代数

7、1 1载体是整数集合载体是整数集合I=.I=.，-2-2，-1-1，0 0，1 1，2 2，. 2 2定义在整数集合上的加法运算定义在整数集合上的加法运算“是是封闭的。封闭的。 3 3对于任意元素与对于任意元素与0 0相乘都是等于相乘都是等于0 0。故。故0 0为一特异元素。为一特异元素。 对于任意元素与对于任意元素与1 1相乘都是等于自己相乘都是等于自己 。故。故1 1为一特异元素。为一特异元素。C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC一、代数常数一、代数常数 定义定义 设设 * 是定义在集合是定义在集合S上的一个二元运算，上的一个二元运算， 假如有一个元素假如有一个元素1

8、lS，对于任意的元素，对于任意的元素xS，都，都有有1l *x=x，那么称，那么称1l 为为S中关于运算中关于运算 * 的左么元；的左么元； 假如有一个元素假如有一个元素1rS，对于任意的元素，对于任意的元素xS，都，都有有x* 1r =x，那么称，那么称1r 为为A中关于运算中关于运算 * 的右么元；的右么元； 假如假如S中的某一个元素中的某一个元素1，它既是左么元又是右么元，它既是左么元又是右么元，那么称那么称1为为A中关于运算中关于运算*的么元。显然，对于任意元素的么元。显然，对于任意元素xA，有，有1*x=x*1=x。定义定义 设设 * 是定义在集合是定义在集合S上的一个二元运算，上的

9、一个二元运算， 假如有一个元素假如有一个元素elS，对于任意的元素，对于任意的元素xS，都有，都有el *x=x，那么称，那么称el 为为S中关于运算中关于运算 * 的左么元；的左么元； 假如有一个元素假如有一个元素erS，对于任意的元素，对于任意的元素xS，都，都有有x* er =x，那么称，那么称er 为为S中关于运算中关于运算 * 的右么元；的右么元； 假如假如S中的某一个元素中的某一个元素e，它既是左么元又是右么元，它既是左么元又是右么元，那么称那么称e为为S中关于运算中关于运算*的么元。显然，对于任意元素的么元。显然，对于任意元素xS，有，有e*x=x*e=x。C CS S| |S

10、SWWU US ST TXDCXDC定义定义 设设 * 是定义在集合是定义在集合S上的一个二元运算，上的一个二元运算， 假如有一个元素假如有一个元素lS，对于任意的元素，对于任意的元素xS都有都有l*x=l，那么称，那么称l为为S中关于运算中关于运算 * 的左零元；的左零元； 假如有一个元素假如有一个元素rS,对于任意的元素对于任意的元素xS，都有，都有x*r=r,那么称那么称r为为A中关于运算中关于运算 * 的右零元；的右零元； 假如假如S中的一个元素中的一个元素，它既是左零元又是右零元，它既是左零元又是右零元，那么称那么称为为S中关于运算中关于运算 * 的零元。显然，对于任一元素的零元。显

11、然，对于任一元素aS，有，有*a=a*=。代数常数代数常数 C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC例：代数例：代数A=a,b,c,A= 如下表所示，指出其中如下表所示，指出其中的幺元，零元。的幺元，零元。* a b ca a b bb a b cc a b a由表可知：由表可知：b b* *a/b/c=a/b/c a/b/c=a/b/c 故故b b为左幺元。为左幺元。 无右幺元。无右幺元。 a/b/c a/b/c* *b=bb=b和和a/b/ca/b/c* *a=a a=a 故故a,ba,b为右零元。为右零元。 无左零元。无左零元。 无幺元，零元。无幺元，零元。C CS S

12、| |S SWWU US ST TXDCXDC定理定理 设设* *是定义在集合是定义在集合S S上的一个二元运算，且在上的一个二元运算，且在S S中有关于运算中有关于运算* *的左么元的左么元elel和右么元和右么元erer，那么，那么el=er=eel=er=e，且且S S中的么元是唯一的。中的么元是唯一的。 定理定理 设设* *是定义在集合是定义在集合S S上的一个二元运算，且在上的一个二元运算，且在S S中有关于运算中有关于运算* *的左零元的左零元ll和右零元和右零元rr，那么，那么l=r=l=r=，且，且S S中的零元是唯一的。中的零元是唯一的。 C CS S| |S SWWU US

13、 ST TXDCXDC定义定义 设设* 是定义在集合是定义在集合S上的一个二元运算，且上的一个二元运算，且e是是S中中关于运算关于运算 * 的么元。的么元。假如对于假如对于S中的任一元素中的任一元素a，存在着，存在着S中的某个元素中的某个元素b，使，使得得b*a=e，那么，那么b为为a的左逆元；的左逆元；同理，假如使得同理，假如使得a*b=e成立，那么称成立，那么称b为为a的右逆元；的右逆元；假如一个元素假如一个元素b，它既是，它既是a的左逆元又是的左逆元又是a的右逆元，那的右逆元，那么就称么就称b是是a的一个逆元。的一个逆元。定理定理 设设* *是定义在集合是定义在集合S S上的一个二元运算

14、，满足结上的一个二元运算，满足结合律，假如一个元素有左逆元和右逆元，那么必然相合律，假如一个元素有左逆元和右逆元，那么必然相等，即为该元素的唯一逆元。等，即为该元素的唯一逆元。 C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC二、代数之间的关系二、代数之间的关系 为方便描绘为方便描绘,对代数构造采用统一记法为对代数构造采用统一记法为1、子代数、子代数 定义定义 设设A=为一代数构造，简称代数。假如为一代数构造，简称代数。假如 (1) S S (2) S对对S上的运算上的运算*和是封闭的和是封闭的 (3) kS 那么代数那么代数 A=是是A的子代数。的子代数。例例: (1)为为的子代数

15、。的子代数。 (2)为为的子代的子代数数C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC二、代数之间的关系二、代数之间的关系 2、代数同构、代数同构 定义定义 设设A=和和A=为代数。假如为代数。假如 存在一双射函数存在一双射函数h使得：使得： (1) h:SS (2) h(a*b) =h(a)*h(b) 其中其中 a，b为为 S中的中的 任意任意 元素元素 (3) h(a) = h(a) 其中其中 a为为 S中的中的 任意任意 元素元素 (4) h(k) = k 那么那么h叫做叫做A到到A的同构，的同构，A和和A互为在互为在h下的同构象。下的同构象。C CS S| |S SWWU

16、US ST TXDCXDC例例:R+表示正实数集合，那么表示正实数集合，那么同构于同构于。证明：证明： 作函数作函数h： R+ R, 令令h(x)=log(x). 显然为双射函数。显然为双射函数。并且有并且有 a,b R+，有，有h (ab)=log(ab)=log(a)+log(b)=h(a)+h(b) h(1)=log(1)=0 所以，所以， 同构于同构于。C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC3、代数同态、代数同态 定义定义 设设A=和和A=为代数。为代数。H是是一个函数，使得：一个函数，使得： (1) h:SS (2) h(a*b) =h(a) *h(b) 其中其中

17、 a,b为为 S中的中的 任意任意 元素元素 (3) h(a) = h(a) 其中其中 a为为 S中的中的 任意任意 元素元素 (4) h(k) = k 那么那么h叫做叫做A到到A的同态函数，的同态函数， 为为A在在h下的同态象。下的同态象。 假如一个函数假如一个函数 h是代数是代数A到自身的同态函数，称为自同到自身的同态函数，称为自同态。态。C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC例：函数例：函数f :II, f (x) = kx, 这里这里kI ，是从，是从 到到的自同态。的自同态。证明：1x,yI ，有 f (x+y) = k (x+y)= kx+ ky= f (x)+

18、 f (x) 2f (0) = k (0)= 0 所以， f 是从 到的自同态。C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC3、代数的同余关系、代数的同余关系 定义定义 设是代数设是代数A=的载体的载体S上的等价关系，上的等价关系，对于一切元素对于一切元素a，b，cS，满足，满足1假设假设a b ， 那么那么a*c b*c和和c*a c*b 2假设假设a b ， 那么那么a b那么称为代数那么称为代数A上的同余关系。上的同余关系。 的等价类叫做关的等价类叫做关系的同余类。系的同余类。C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC例：例：1相等关系是任何代数上的同余关系。相等关系是任何代数上的同余关系。 2考虑代数考虑代数A=和等