力学-绪论(乙)

1、2022-4-18绪论1绪论绪论一一力学的研究内容力学的研究内容力学的研究对象是机械运动机械运动，也就是宏观物体之间或物体内各部分之间相对位置的移动。它是物理学的重要基础。基本规律基本规律质点运动学惯性系下质点动力学非惯性系下质点动力学质点动力学质点组动量定理（守恒）质点组机械能定理（守恒）质点组角动量定理（守恒）导出规律导出规律 力学研究内容力学研究内容2022-4-18绪论2特殊质点组：刚体、流体特殊运动形式：振动、波动解决问题解决问题绪论绪论柏拉图，托勒密，阿基米德，亚里士多德古代：科学的原始时期古代：科学的原始时期二二 力学发展简史力学发展简史亚里士多德 (公元前384-322）思想家

2、，博学、雄辩、弟子众多（亚历山大大帝）-先哲物理学古代世界学术的百科全书错误：物体越重下落越快2022-4-18绪论3宗教统治社会，自然科学的发展受到严重阻碍宗教统治社会，自然科学的发展受到严重阻碍 阿奎那 神学大全 托勒密（公元90年168年）地心说 亚里士多德(公元前384-322）力学说 中世纪（公元五中世纪（公元五十五世纪）：科学的黑暗时期十五世纪）：科学的黑暗时期亚里士多德理论：凡运动需要不断施加力；神学大全：天体是由有智慧本质的推动，有智慧的本质上帝。托勒密地心说：以地球为中心，行星、太阳围绕地球运动；神学大全：地球是中心，绕它的是同心圆，第一圈载日月，第二圈载行星，第三圈载恒星，

3、往外是天，地球内部是一层层地狱。绪论绪论2022-4-18绪论4哥白尼 (14731543) 波兰天文学家，从事行医，天文职业 十六世纪十六世纪 十七世纪：科学的革命时期十七世纪：科学的革命时期绪论绪论1507 （34岁）天体运行论，建立 “日心说”1543年（70岁） 正式公开发表天体运行论哥白尼的作用：首次建立了哥白尼的作用：首次建立了日心说日心说，向教会挑战，向教会挑战。2022-4-18绪论51601年（29岁）成为第谷的助手 前后八年建立开普勒 第一，二定律又用九年建立开普勒 第三定律布鲁诺 （15711630）意大利文学家,捍卫和发展了哥白尼的太阳中心说，并把它传遍欧洲 “ “在真

4、理面前，我半步也不退让！在真理面前，我半步也不退让！”开普勒 （15711630）德国天文学家开普勒的作用：通过观测，总结规律开普勒的作用：通过观测，总结规律绪论绪论2022-4-18绪论61585年（21岁）比萨大学数学讲师，研究落落体定律，惯性定律体定律，惯性定律1592年（28岁）到帕多瓦大学任教，从事实验工作，用自制望远镜，观察木星的三个卫星，太阳，月亮，金星，制作气体温度计，天平，水钟1616年（52岁）宣扬哥白尼日心说，同教会斗争1632年（68岁）出版三个人世界的对话，被监禁，去世伽利略的作用： 将数学、实验引进科学研究，靠实验寻求物理规律伽利略（15641642），意大利物理学

5、家绪论绪论2022-4-18绪论7牛顿牛顿 （1642172716421727） 英国物理学家英国物理学家上一页上一页下一页下一页返回主目录返回主目录绪论绪论16651666年(2324岁）：开始物理学研究，在家乡奠定三大成就： 微积分，引力定律（20年后发表），光的性质1686年（44岁）公开发表自然哲学的数学原理 牛顿三定律，万有引力 , 人类科学史上的第一次总结；巨人肩上完成使命2022-4-18绪论8绪论绪论力学与理论力学(上册)杨维宏编 科学出版社力学郑永令 贾起民编 高教出版社力学程稼夫编 科学出版社新概念物理教程 力学，赵凯华、罗蔚茵，高等教育 出版社力学（伯克利物理学教程第一卷

6、），C基特尔等，科学出版社三三教材和参考书教材和参考书2022-4-18绪论9绪论绪论四四数学补充数学补充1. 行列式行列式333231232221131211aaaaaaaaa元素：ijai: 行标行标; j: 列标列标22211211aaaa11a三阶行列式可以一般地表述成2阶、1阶、零阶行列式分别表述成行列式行列式2022-4-18绪论10绪论绪论定义1 111111aaa 1221221122211211aaaaaaaa 232213123133321312213332232211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 行列式的运算规则可用

7、下述递归方式定义：2022-4-18绪论11zyxzyxFFFzyxkjiFzkFyjFxi 性质性质1 1：行列可互换性：行列可互换性333231232221131211333231232221131211aaaaaaaaakaaakakakaaaa 性质性质2 2：一行的公因子可以提出：一行的公因子可以提出绪论绪论2022-4-18绪论120333231131211131211 aaakakakaaaa性质性质3 3：对换行列式中两行的位置，：对换行列式中两行的位置， 行列式反号。行列式反号。性质性质4 4：如果行列式中两行成比例，：如果行列式中两行成比例， 那么行列式为零。那么行列式为零

8、。应用应用: 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa线性代数方程组绪论绪论2022-4-18绪论13333231232221131211aaaaaaaaaD 引入分母行列式 23332323222131211 , DaabaabaabD引入分子行列式321, iDDxii 方程组的解能表述为:绪论绪论2022-4-18绪论142. 矢量的代数运算矢量的代数运算矢量的叠加与分解既有大小，又有方向的量是矢量，记为A标量：只有大小，没有方向矢量的大小称为矢量的模，记为A单位方向矢量AAAA/ 或或万有引力定律: rrMmGF3 MmFr

9、绪论绪论2022-4-18绪论15l矢量的代数性质矢量的叠加:矢量的和标积和矢积：矢量的乘矢量与标量的关系数乘：标量与矢量的乘积仍是一个矢量BA 矢量之间的关系CBA 两个矢量的和ABC绪论绪论2022-4-18绪论16321321)(AAAAAA 矢量的叠加满足交换律和结合律xyzijkAxAyAzAxyAijkx轴单位矢量y轴单位矢量z轴单位矢量l矢量矢量的分解的分解kAjAiAAzyx 绪论绪论2022-4-18绪论17 zyxzyx,A,AA,A,AA: A 或或 可简写为: kBAjBAiBAkBjBiBkAjAiABAzzyyxxzyxzyx k维空间维空间ikikkeAeAeAe

10、AAi 12211K维空间矢量 kiiAA12矢量的模ikiiie)B(ABA 1矢量的和绪论绪论2022-4-18绪论18 ABBA 0cos 规定规定 BABABAAABBA BABA 2121)()()()(为标量矢量矢量的的标积标积AB/B/ABAABBA/ 显然有矢量的模量AAA 矢量标积的一些基本性质矢量标积的一些基本性质: BABABABABBAA221221112121)()( 绪论绪论2022-4-18绪论19l三维空间三维空间zzyyxxzyxzyxBABABAkBjBiBkAjAiABA )()(单位矢量的标积满足0 ikkjji正交性归一性1 kkjjiiiAAx 矢量

11、的某一分量lk维空间维空间ikiiBABA 1 jijieeijji若若 若若 10正交归一性绪论绪论2022-4-18绪论20AB BC C矢量矢量的的矢积矢积 的的方方向向由由右右手手系系确确定定平平行行四四边边形形的的面面积积）CABCCBA( sin : :三维空间:两个矢量的矢积定义为l矢积的一些基本性质矢积的一些基本性质 )()(BABA ABBA 反交换律BABABAA 2121) )( (分配律绪论绪论2022-4-18绪论21221221112121BABABABABBAA ) )( () )( (进一步可导出其它较复杂的公式,例如 BAkBAjBAi BAzzyyxx 0

12、kkjjiijik; ikj; kji矢积只能在三维空间中进行, 对于坐标基矢有矢积的行列式表示绪论绪论2022-4-18绪论22例1 矢积在物理学中的应用一FrM v力矩prL v角动量BqF vv洛仑兹力例2矢积在物理学中的应用二 baBlIFv安培力v毕奥-沙伐尔定律304 rrlIB lI BablI rP绪论绪论2022-4-18绪论23矢量矢量的的三重积三重积 CBACBACBA )CB(Azzzyyyxxx 几何意义：平行六面体的体积几何意义：平行六面体的体积)()()(BACACBCBA 三重标积的循环可交换性)(CBA 三重标积ABC0)( CBAC , B , A 共面共面

13、 绪论绪论2022-4-18绪论24ABCCBCBABCACBA)()()( 矢量的三重矢积)(CBA 三重矢积必在B、C确定的平面内， 是B、C的线性组合。xyxxxyyyO3. 一元函数微积分一元函数微积分一元函数可记为)(xy y 或)(xFy 自变量 x 的增量:x 函数增量:)()(xyxxyy 微分微分绪论绪论2022-4-18绪论25xAy )()(xyxxyy BAxy 线性函数线性函数当自变量的增量很小时，当自变量的增量很小时，其它函数的增量能否写成类似的形式？其它函数的增量能否写成类似的形式？2)(2xAAxxy 含有高阶无穷小，其它函数类似。2Axy 抛物线函数抛物线函数

14、绪论绪论2022-4-18绪论26xysin xey x xx xysincos)1(cos sin )1( xxeey自变量增量0 x时, 称为自变量微分自变量微分,改记成dx相应的函数增量0 y, 称为函数微分函数微分,记成dy)()(xydxxydy dy与dx的关系绪论绪论2022-4-18绪论27微分 忽略高阶无穷小AdxdyBAxy ,dxdxxAdyAxy)2( ,2 dxxdxxdyxysincos)1(cossin ,sin AxBdxAxAxBdxAx 简简书书为为1cos 1cos dxdx简书为简书为dxdxdxdx sin sin简书为简书为数学上可以证明, 对无穷小

15、量dx, 有绪论绪论2022-4-18绪论28dxdxdxdx tan tan简书为简书为edxedxdxdx 11)1( )1(简书为简书为64274821785251654759457134076630353 772749669676209369995952497757247 66028747135259045235367182818284. 2 e微商（导数）微商（导数） )(dxdyxy 定义dxdyy 或或绪论绪论2022-4-18绪论29 OxxyyPQx y xxyxxyxy )()(几何意义: 平均变化率函数在x处的导数等于函数曲线在x处切线的斜率 tan)()( dxxydx

16、xydxdyy例例 函数导数的几个实例函数导数的几个实例AyBAxy AxyAxy2 2 绪论绪论2022-4-18绪论30 xyxysin cos sinxy xdxdxxdxdxxycossincos1cossin 导数的一些重要性质导数的一些重要性质22112211 yAyAyyAyAy 212121 yyyyyyyy 22212121 yyyyyyyyy 绪论绪论2022-4-18绪论31复合函数的微商复合函数的微商)( )(xuuuyy xuxuyy 链式法则链式法则: :xuxuydxdududydxdyy 例例3 几个函数的求导几个函数的求导)sin(CBxAy CBxuuAy

17、sin可看作)cos()cos(CBxABBuAuyyxux 绪论绪论2022-4-18绪论32xAycos 可变换为)2sin( xAy即得xAxAysin)2cos( xytan 可变换为xxycossin 即得xxxxxxy22cos1cos)(cossincos)(sin 绪论绪论2022-4-18绪论33,2,1 kxyk可递归地得到)()()()(11111 kkkkkkxxxxxxxxxx1 x1 kkxy即 有绪论绪论2022-4-18绪论34三个常用导数公式三个常用导数公式1)( xx是任意实数 aaaxxln)( xx1)(ln ? xe二阶导数二阶导数 dxdydxddx

18、ydy )(简写成 22dxydy nnndxydy )( 依此类推, n阶导数记作绪论绪论2022-4-18绪论35例如 , 2 , 1 )()( keexnx , 2 , 1 , 0 cossin)14( kxxk xxksinsin)24( xxkcossin)34( xxksinsin)44( OxyyPx0 xQM导数与极值导数与极值增增加加而而增增加加随随xyxy 0)( 增增加加而而减减小小随随xyxy 0)( 对对应应极极值值点点 0)( xydxydy 极大值或极小值极大值或极小值? ? 则由则由该点的二阶导数来确定该点的二阶导数来确定绪论绪论2022-4-18绪论36Oxy

19、yPx0 xQM0)( 0)(00 xyxy极大值点0)( 0)(00 xyxy极小值点xy非极值点，称为拐点非极值点，称为拐点3xy 0)0( y0)0( y在 x = 0 处绪论绪论2022-4-18绪论37, 2, 1, 0 )21(20 kkx 极大值点极小值点, 2, 1, 0 21) 1(20 kkx xsin例题例题 找出的全部极值点泰勒展开泰勒展开导数的一个重要应用函数的幂级数展开dxxx 00自变量)()()()(0000 xxxydxxydyxyxy 函数增量也可写成)()()(00000 xxxyxxxyxy 绪论绪论2022-4-18绪论38猜想函数有如下的幂级数展开

20、0030320201000)()()()()()(nnnxxAxxAxxAxxAxxAxy-泰勒泰勒( (Taylor)Taylor)级数级数确定泰勒确定泰勒级数的展开系数级数的展开系数展开式两边对 x 依次求导, 再取 x = x0, 可确定所有项的系数, 2 , 1 ),(!1 ),(0)(00 nxynAxyAnn绪论绪论2022-4-18绪论39泰勒泰勒级数的收敛性级数的收敛性因为y(x)是有限的, 所以至少要求0)(!1)( ,00)(0 nnnnxxxynxxAn函数y(x)若能在x0两侧某范围内展开为泰勒级数，便称这一范围为y(x)的收敛区域。 xx sin11 )1(1 xx1

21、1 1 xx11 )1ln( xx xx cos xex x0= 0的泰勒级数，也称为马克劳林(Maclaurin)级数绪论绪论2022-4-18绪论40ktAjtAitAtAzyx)()()()( 许多物理量是矢量，一般都随时间和空间坐标而变化。任意矢量A(t)可分解为其中基矢均不随t变化。A对t的导数为kdttAdttAjdttAdttAidttAdttAdttAdttAdtAdzzyyxx)()()()()()()()( 即有kdtdAjdtdAidtdAdtAdzyx 矢量微商矢量微商绪论绪论2022-4-18绪论41ktzjtyitxtr)()()()( 例如质点位矢 r 分解成rkdttdzjdttdyidttdxdtrd )()()(v速度加速度rkdttzdjdttydidttxddtrddtda 22222222)()()(v绪论绪论2022-4-18绪论42 dtBdABdtAdBAdtd)(矢量A(t)与矢量B(t)的标积zzyyxxBABABABA d