二次函数系数a、b、c与图像的关系

1、精选文档二次函数系数a、b、c与图像的关系知识要点二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定:(1) a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a>0;否则a<0.(2) b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=-£判断符号.(3) c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c>0;否则cv0.(4) b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ao0;1个交点，b2-4ac=0;没有交点，b2-4ac<0.(5)当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号.(6)由对称轴公式x=一系，可确定2a+b的符

2、号.一.选择题(共9小题)1.(2014?威海)已知二次函数y=ax2+bx+c(aw0)的图象如图，则下列说法：2c=0;该抛物线的对称轴是直线x=-1;当x=1时，y=2a;am+bm+a>0(廿1) .其中正确的个数是()A.B.C.6.（2014?莆田质检）如图，二次函数轴的右侧，则m的取值范围是（B.m<37. （2014?玉林一模）如图是二次函数2对称轴为x=-1.给出四个结论：bC.m>3y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A(-3,>4ac;2a+b=0;3a+c=0;a+b+c=0.D.y=x2+(2-m)x+m-3的图象交)其中正确结论的个数是

3、（A.1个8. （2014?乐山市中区模拟）坐标为（1,n）,与y轴的交点在（0,2）、（0,B,2个C.3个如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1,3）之间（包含端点）.有下列结论:当x>3时，yv0;3a+b>0;-其中正确的是（0),A.B.9. （2014?齐齐哈尔二模）已知二次函数y=axC.2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于点(-1,0),(xi,0),且1vXi<2,下列结论正确的个数为()b<0;c<0;a+c<0;4aNb+c>0.C.3个D,4个A.1个B.2个10、（2011?重庆）已知抛物线y=ax2+b

4、x+c（aw0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是()A、a>0B、b<0C、cv0D、a+b+c>011、（2011?雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1,给出下列结果b2>4aGabc>0;2a+b=0;a+b+c>0;a-b+cv0,则正确的结论是（）A、B、C、D、12、（2011?孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（12,1）,下列结论：acv0;a+b=0;4ac-b2=4a;a+b+c<0.其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、4精选文档

5、精选文档答案一.选择题（共9小题）1.（2014?威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（aw0）的图象如图，则下列说法：2c=0;该抛物线的对称轴是直线x=-1；当x=1时，y=2a;am+bm+a>0（廿-1）.其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4考点：二次函数图象与系数的关系.分析：由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.解答：解：抛物线与y轴交于原点，c=0,（故正确）；-2+0该抛物线的对称轴是：=-1,直线x=-1,（故正确）；当x=1时，y=a+b+c对称轴是直线x=-1,-b/2a=-1,b=2a

6、,又c=0,y=3a,（故错误）；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c,x=-1对应的函数值为y=a-b+c,又x=-1时函数取得最小值，a-b+c<am2+bm+c,即a-bvam2+bm,b=2a,anf+bm+a>0（1）.（故正确）.故选：C.点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c（aw0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.2.（2014?仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（aw0）的图象如图所示，给出以下结论：a+b；+尤-b+cv0;b+2a<0;abc用.其中所有正确结

7、论的序号是（）精选文档C.D.考点：二次函数图象与系数的关系.专题：数形结合.分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.解答：解：当x=1时，y=a+b+c=0,故错误；当x=-1时，图象与x轴交点负半轴明显大于-1,y=a-b+c<0,故正确；由抛物线的开口向下知av0,对称轴为0Vx=-上<1,可2a+b<0,故正确；对称轴为x=-上>0,a<02aa、b异号，即b>0,由图知抛物线与y轴交于正半轴，c0>abc<0,故错误；正确结论的序号为.故

8、选：B.点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：(1) a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a>0;否则av0;(2) b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=-生判断符号；(3) c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c>0;否则cv0;(4) 当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=-1时，可以确定y=a-b+c的值.3. (2014?南阳二模)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论:a<0;c>0;b2-4ao0;总<0中，正确的结论有()2b1考点：二次函数图象与系数的关系.专题：数形结

9、合.精选文档分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.解答：解：二图象开口向下，出出本选项正确；,该二次函数的图象与y轴交于正半轴，（0,故本选项正确；;二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不相同交点，根的判别式=b4ao0;故本选项正确；:对称轴x=-上>0,，金<0;故本选项正确；2a2b综上所述，正确的结论有4个.故选D.点评：本题主要考查了二次函数的图象和性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定，做题时要注意数形结合思想的运用，同学

10、们加强训练即可掌握，属于基础题.4. (2014?襄城区模拟)函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：b2-4cv0;c-b+1=0;3b+c+6=0;当1vxv3时，x2+(b-1)x+c<0.C.3D.4考点：二次函数图象与系数的关系.分析：由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2-4c<0;当x=-1时，y=1-b+c>0;当x=3时，y=9+3b+c=3;当1vxv3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+cvx,继而可求得答案.解答：解：:函数y=x2+bx+c与x轴无交点，一.2b-4ac<0;故正确；当x=1时，y=1b+c>

11、;0,故错误；:当x=3时，y=9+3b+c=3,3b+c+6=0;正确；,当1vxv3时，二次函数值小于一次函数值，2.x+bx+c<x,2x+（b-1）x+cv0.故正确.故选C.点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.5. （2014?宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=-1,且过点（-3,0）下列说法：abc<0;2a-b=0;4a+2b+c<0;若（-5,y1），（2,v2是抛物线上白两点，则y1>y2.其中说法正确的是（）精选文档A.B.C.D.考点：二次函数图象与系数的关系

12、.分析：根据抛物线开口方向得到a>0,根据抛物线的对称轴得b=2a>0,则2a-b=0,则可对进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c<0,则abcv0,于是可对进彳T判断；由于x=-2时，y<0,则得到4a-2b+cv0,则可对进行判断；通过点（-5,y1）和点（2,v2离对称轴的远近对进行判断.解答：解：二.抛物线开口向上，a>0,B. m<3C. m>3D. 2Vmv3b=2a>0,贝U2a-b=0,所以正确；.抛物线与y轴的交点在x轴下方，c<0,abc<0,所以正确；.x=2时，y>0,4a+2b+c冷，所以错

13、误；丁点（-5,y"离对称轴要比点（2,v2离对称轴要远，yi>y2,所以正确.故选D.点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（aw0）二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当av0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即abv0）,对称轴在y轴右.（简称：左同右异）.抛物线与y轴交于（0,c）.抛物线与x轴交点个数：=2b-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；=b-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=

14、b-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.6. （2014?莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2-m）x+m-3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（）考点：二次函数图象与系数的关系.分析：由于二次函数的对称轴在y轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于m的不等式，由图象交y轴于负半轴也可得到关于m的不等式，再求两个不等式的公共部分即可得解.精选文档解答：解：:二次函数y=x2+（2-m）x+m-3的图象交y轴于负半轴，m-3<0,解得m<3,对称轴在y轴的右侧，2-m-.Jx=>0,2解得m>2,2<m<3.故选：D.点评：此题主要

15、考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称轴的公式以及图象与y轴的交点解决问题.7. （2014?玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（-3,0）,对称轴为x=-1.给出四个结论：b2>4ac;2a+b=0;3a+c=0;a+b+c=0.其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个考点：二次函数图象与系数的关系.分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.解答：解：二抛物线的开口方向向下，a<0;.抛物线与x轴有两个交点，b2-4ao

16、0,即b2>4ac,正确；由图象可知：对称轴x=一上二-1,Z32a=b,2a+b=4a,aw0,2a+b丰0,错误；图象过点A（-3,0）,9a-3b+c=0,2a=b,所以9a-6a+c=0,c=-3a,正确；.抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，c>0由图象可知：当x=1时y=0,a+b+c=0,正确.故选C.点评：考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（aw0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.8. （2014?乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1,0）,

17、顶点坐标为（1,n）,与y轴的交点在（0,2）、（0,3）之间（包含端点）.有下列结论：精选文档当x>3时，yv0;3a+b*;1waw2；卫wnW4.33其中正确的是（）A.B.C.D.考点：分析：解答:n=a+b+c=c.32<c<3,精选文档二次函数图象与系数的关系.由抛物线的对称轴为直线x=1,一个交点A（-1,0）,得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项作出判断；根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=-2a,将其代入（3a+b）,并判定其符号；根据两根之积£=-3,得到a=然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；

18、a3把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=&c,利用c的取值范围可以求得n的取值范围.耳解：,一抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1,0）,对称轴直线是x=1,，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3,0）,丁根据图示知，当x>3时，y<0.故正确；根据图示知，抛物线开口方向向下，则av0.:对称轴x=-=1,1Ldb=-2a,3a+b=3a-2a=a<0,即3a+b<0.故错误；.抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（-1,0）,（3,0）,-1X3=-3,=-3,贝aa=一三.3）之间（包含端点）.抛物线与y轴的交点在（0,2）、（0,2<c<3,-1w七&,即-1waw.313故正确；根据题意知，a=-上=1,故正确.综上所述，正确的说法有.故选D.点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax