第四章-根轨迹法(新)-2

1、1自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析本章重点本章重点1.1.根轨迹的定义、根轨迹方程、幅值条件和相角条件；根轨迹的定义、根轨迹方程、幅值条件和相角条件；2.常规根轨迹的绘制；常规根轨迹的绘制；3.利用根轨迹分析系统性能的方法。利用根轨迹分析系统性能的方法。2自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析本章难点本章难点1.1.根据根轨迹定性分析系统性能随参数变化的规律；根据根轨迹定性分析系统性能随参数变化的规律；2.2.如何改变根轨迹达到系统期望的性能。如何改变根轨迹达到系统期望的性能。3自动控制理论自动控制理论第四章线性

2、系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析 闭环系统的稳定性及性能主要由闭闭环系统的稳定性及性能主要由闭环极点（特征方程根）决定的。一个较环极点（特征方程根）决定的。一个较完善的闭环控制系统其特征方程一般为完善的闭环控制系统其特征方程一般为高阶，直接用时域法求解困难。高阶，直接用时域法求解困难。4自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析19481948年伊万斯提出求解闭环特征方程的根的图解方法年伊万斯提出求解闭环特征方程的根的图解方法根轨迹法。根轨迹法。 根轨迹：根轨迹：当系统中的某一或某些参量变化时，特征方程当系统中的某一或某些参量变化时，特征方程的根在的

3、根在s s平面上运动的轨迹称为根轨迹。平面上运动的轨迹称为根轨迹。考虑到开环零极点更易获取，在开环零、极点分布已知考虑到开环零极点更易获取，在开环零、极点分布已知的情况下，可绘制的情况下，可绘制闭环极点随系统参数变化闭环极点随系统参数变化（如放大系（如放大系数）而在数）而在s s平面上移动的轨迹（根轨迹）。平面上移动的轨迹（根轨迹）。用途：用途： 对系统的性能进行分析；对系统的性能进行分析； 确定系统应有的结构、参数；确定系统应有的结构、参数； 进行设计和综合。进行设计和综合。5自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析4 41 1根轨迹的基本概念根轨迹的基本

4、概念根轨迹图根轨迹图1.定义：定义：根平面：根平面：在一个复平面（在一个复平面（s平面）上标出开环零、极点，平面）上标出开环零、极点，并根据此描述闭环极点的性质，这个复平面就称为并根据此描述闭环极点的性质，这个复平面就称为根平根平面面。根轨迹：根轨迹：指系统开环传递函数中某一参数（一般为指系统开环传递函数中某一参数（一般为Kg(或或K1)， 根轨迹增益根轨迹增益）变化时，闭环特征根在根平面）变化时，闭环特征根在根平面上所走过的轨迹。上所走过的轨迹。6自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析2( )(0.51)(2)(2)gKKKG ssss ss s2gKK

5、2.2.用解析法绘制根轨迹（实例）用解析法绘制根轨迹（实例）例例1 1：系统开环传递函数系统开环传递函数为：为：1.1.时间常数表示法主要用于频率分析中；时间常数表示法主要用于频率分析中；2.2.零极点表示法主要用于根轨迹分析中。零极点表示法主要用于根轨迹分析中。7自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析2( )( )2ggKC sR sssK开环有两个极点：开环有两个极点： p p1 1= 0= 0， p p2 2= =2 2 开环没有零点开环没有零点1211,11ggsKsK 可见，当可见，当K Kg g 变化，两个闭环极点也随之连续变化。变化，两个闭环

6、极点也随之连续变化。 当当K Kg g 从从00变化时，直接描点作出两个闭环极点的变化时，直接描点作出两个闭环极点的变化轨迹变化轨迹闭环特征方程为：闭环特征方程为： D(s) = s2 +2s + Kg = 0解得闭环特征根（亦即闭环极点）解得闭环特征根（亦即闭环极点）闭环传递函数：闭环传递函数：8自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析1gj K （1）当）当 Kg = 0时，时，s1 = 0、s2 = 2，此时闭环极，此时闭环极点就是开环极点。点就是开环极点。（2）当）当0Kg1时，时，s1、s2均为负实数，且位于均为负实数，且位于负实轴的（负实轴的（2

7、，0） 一段上。一段上。（3）当）当Kg = 1时，时，s1 = s2 = 1，两个负实数闭环，两个负实数闭环极点重合在一起。极点重合在一起。（4）当）当1Kg时，时，s1，2 =1 ，两，两个闭环极点变为一对共轭复数极点。个闭环极点变为一对共轭复数极点。s1、s2的实的实部不随部不随Kg变化，其位于过（变化，其位于过（1，0）点且平行于）点且平行于虚袖的直线上。虚袖的直线上。（5）当）当Kg时，时， s1 = 1+ j、s2 = 1j，此时此时s1、s2将趋于无限远处。将趋于无限远处。 1211,11ggsKsK 9自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析

8、可根据根轨迹形状评价系统的暂态性能和稳态性能：可根据根轨迹形状评价系统的暂态性能和稳态性能：（1 1）根轨迹增益）根轨迹增益K Kg g从从00时，根轨迹均在时，根轨迹均在s s平面左半部，平面左半部，在所有的在所有的K Kg g值下系统都是稳定的。值下系统都是稳定的。（2 2）当）当00K Kg g 111时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼状态状态, ,其阶跃响应为衰减的振荡过程。其阶跃响应为衰减的振荡过程。10自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析 由上述分析过程可知，由上述分析过程可知，系统的根轨迹分析的意义

9、在于：系统的根轨迹分析的意义在于：由较易获取的开环零极点分布分析闭环极点的性质，从由较易获取的开环零极点分布分析闭环极点的性质，从而，对系统的暂态性能和稳态性能进行分析。而，对系统的暂态性能和稳态性能进行分析。 但是，试探法不是绘制根轨迹的最合适方法，而且但是，试探法不是绘制根轨迹的最合适方法，而且也太费时间。对于高阶系统，用这种解析的方法绘制出也太费时间。对于高阶系统，用这种解析的方法绘制出系统的根轨迹图是很麻烦的。实际上，系统的根轨迹图是很麻烦的。实际上，闭环系统的特征闭环系统的特征根的轨迹都是根据开环传递函数与闭环特征根的关系，根的轨迹都是根据开环传递函数与闭环特征根的关系，以及已知的开

10、环极点和零点在根平面上的分布，按照一以及已知的开环极点和零点在根平面上的分布，按照一定的规则用图解的方法绘制出来的。定的规则用图解的方法绘制出来的。11自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析根轨迹方程根轨迹方程 绘制根轨迹的实质，在于由开环零极点在绘制根轨迹的实质，在于由开环零极点在s平面寻找闭环特征根的位置平面寻找闭环特征根的位置。( )( )( )( )1( )( )C sG ssR sG s H s闭环传递函数为闭环传递函数为0)()(1sHsG 1)(sGK闭环特征方程为闭环特征方程为 即即 11()1() )( mgiinjKjkszspGsm个

11、开环零点个开环零点 n个开环极点个开环极点 （根轨迹方程）（根轨迹方程） Kg：根轨迹增益：根轨迹增益 在在s平面上凡是满足上式的任意一个点平面上凡是满足上式的任意一个点s1、s2、 s，都是闭环，都是闭环特征根，即闭环极点。对应于特征根，即闭环极点。对应于Kg 从从0 。4.24.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则12自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析根轨迹的幅值条件方程和相角条件方程根轨迹的幅值条件方程和相角条件方程11()( )1 () mgiiKnjjkszGsspsj为复数，故根轨迹方程是一个向量方程。为复数，故根

12、轨迹方程是一个向量方程。111 mgiinjjkszspmnoiji 1j 1(sz )(sp )1802q,21q0 1 ， ，相角条件：相角条件：幅值条件：幅值条件：13自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析 相角条件方程和相角条件方程和k kg g无关，无关，s s平面上任意一点，只平面上任意一点，只要满足相角条件方程，则必定同时满足幅值条件，该要满足相角条件方程，则必定同时满足幅值条件，该点必定在根轨迹上，即对应不同的点必定在根轨迹上，即对应不同的k kg g时的闭环极点，时的闭环极点，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件。相角条件是决定闭环

13、系统根轨迹的充分必要条件。（实、虚轴选用相同的比例尺刻度）（实、虚轴选用相同的比例尺刻度）11()()1802 ,0 112 mnoijijszspqq， ，14自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析幅值条件和相角条件应用幅值条件和相角条件应用 ijszsp为从一个开环零点指向为从一个开环零点指向s s的向量的向量为从一个开环极点指向为从一个开环极点指向s s的向量的向量向量的模为长度，即向量的模为长度，即s s平面上两点之间的距离；平面上两点之间的距离；幅角为此向量指向方向与实轴之间的夹角，幅角为此向量指向方向与实轴之间的夹角，逆时针为正，顺时针为负；逆

14、时针为正，顺时针为负；1.1.可以直接计算；可以直接计算； 2.2.或在图上直接测量或在图上直接测量S S为试探点为试探点15自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析12( 1, 1),( 0.5,1)sjsj例：已知系统的例：已知系统的开环传递函数开环传递函数如下，试判断如下，试判断 是否是否在根轨迹上。在根轨迹上。解：解： 不符合相角条件，不符合相角条件， s s1 1不在根轨迹上。不在根轨迹上。21222()()( 116.6 )( 63):.4180 spssp满足相角条件，满足相角条件， s s2 2在根轨迹上。在根轨迹上。（1 1）用相角条件求根

15、轨迹（试探法）用相角条件求根轨迹（试探法） 11()()1802, 0 112 mnoijijszspqq， ，( ) (1)gKKGss s111():() mnijijszssp1112()() spsp) 1(11ss2259013516自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析（2 2）用幅值条件确定）用幅值条件确定k kg g的值的值解：解：21220.500.511.118 1.1181.25 gKsp spjj112121njjngmmiispsp spspKsz szszsz开环点测试点长积开环点测试点长积各各极极至至向向量量度度之之 各各零零

16、至至向向量量度度之之) 1, 5 . 0(2js例：求上例中根轨迹上例：求上例中根轨迹上 点对应的点对应的Kg 。22sp21sp、 也可以用直尺测量向量的长度。也可以用直尺测量向量的长度。17自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析小结：小结：相角条件相角条件 判断是否是闭环极点（根）判断是否是闭环极点（根）幅值条件幅值条件 确定对应的根轨迹增益确定对应的根轨迹增益图解法：注意坐标、比例图解法：注意坐标、比例 但是控制系统的根轨迹图不能遍历但是控制系统的根轨迹图不能遍历s s平面上所有的平面上所有的点来绘制。因为在满足根轨迹条件方程的基础上，根轨点来绘制。

17、因为在满足根轨迹条件方程的基础上，根轨迹的图是有一些规律的。依据绘制轨迹图的一些基本法迹的图是有一些规律的。依据绘制轨迹图的一些基本法则，就可以绘制出控制系统的根轨迹草图。则，就可以绘制出控制系统的根轨迹草图。18自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析系统的特征方程为代数方程。系统的特征方程为代数方程。 因为代数方程中的系数连续变化时，代数方程的根因为代数方程中的系数连续变化时，代数方程的根也连续变化，所以特征方程的根轨迹是连续的。也连续变化，所以特征方程的根轨迹是连续的。 由于特征方程的根为实数或共轭复数（包括一对纯由于特征方程的根为实数或共轭复数（包括

18、一对纯虚根），所以根轨迹必然对称于实轴。虚根），所以根轨迹必然对称于实轴。（1）连续性与对称性）连续性与对称性绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则系统根轨迹的各条分支是连续的，而且对称于实轴。系统根轨迹的各条分支是连续的，而且对称于实轴。19自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析 开环传递函数为开环传递函数为n n阶，故开环极点和闭环极点数目都阶，故开环极点和闭环极点数目都为为n n个，当个，当K Kg g从从0+0+变化时，变化时，n n个根在个根在s s平面上连续形成平面上连续形成n n条根轨迹。条根轨迹。 一条根轨迹对应一个闭环极点随一条根轨迹对

19、应一个闭环极点随K Kg g的连续变化轨迹。的连续变化轨迹。 根轨迹的分支数根轨迹的分支数= =系统的阶数系统的阶数（2 2）根轨迹的分支数）根轨迹的分支数n n阶系统根轨迹的分支数为阶系统根轨迹的分支数为n n。20自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析（3 3） 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点11njjgmiispKnmsz由幅值条件有：由幅值条件有：(1,2, )jspjn起点：当起点：当K Kg g=0=0时，只有时，只有 当当K K1 1=0=0时，根轨迹的各分支从开环极点出发；当时，根轨迹的各分支从开环极点出发；当K K1 1时，有时，有

20、m m条分支趋向开环零点，另外有条分支趋向开环零点，另外有n-mn-m条分支趋条分支趋向无穷远处。向无穷远处。满足上式，因此根轨迹各分支的起点即为各开环极点。满足上式，因此根轨迹各分支的起点即为各开环极点。21自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析(1,2,)isz im 01limlimmnsnmssss方程左边另外另外n nm m条根轨迹终止于条根轨迹终止于处（处（，相角可为任意方向）。，相角可为任意方向）。结论：结论： 根轨迹以根轨迹以n n个开环极点为起点；以个开环极点为起点；以m m个开环零点为终个开环零点为终点，另外点，另外n nm m条根轨迹

21、终止于无穷远处。条根轨迹终止于无穷远处。 终点：终点：k kg g= = ，等式右边，等式右边=0=0当当由于由于n n m m时，当时，当k kg g时，时，有有s s 处处成立，成立，m m条根轨迹终止于条根轨迹终止于m m 个开环零点处；个开环零点处；111,miingjjsznmKsp22自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析（4 4）实轴上的根轨迹）实轴上的根轨迹 、 两向量对两向量对称于实轴，引起的相角大称于实轴，引起的相角大小相等、方向相反；小相等、方向相反；)(21ps )(31ps 开环复平面上的开环零、极点，由于是共轭复数对，开环复平面

22、上的开环零、极点，由于是共轭复数对，对实轴上任一点对实轴上任一点s s1 1的相角影响为的相角影响为0 0，对于实轴上根轨迹的判，对于实轴上根轨迹的判别来说不影响幅角条件。别来说不影响幅角条件。 判断判断 s s1 1是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。)(21zs )(31zs 、 两向量也对两向量也对称于实轴，引起的相角大称于实轴，引起的相角大小相等、方向相反。小相等、方向相反。23自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析位于位于s s1 1右边的实数零、极点：右边的实数零、极点： 每个零、极点提供每个零、极点提供

23、180180相角。相角。结论：结论：s s1 1右边的实数零、极点（开环）个数的总和为奇数，右边的实数零、极点（开环）个数的总和为奇数， 则则s s1 1位于根轨迹上。位于根轨迹上。 判断判断s s1 1是否落在根轨迹上，位于是否落在根轨迹上，位于s s1 1左边的零、极点不考虑。左边的零、极点不考虑。11()()180 (2,021) 1 mnijijszspqq， ，)(11zs )(41ps 位于位于s1 1左边的实数零、极点：左边的实数零、极点： 、 向量引起的相角向量引起的相角为为0规则：在规则：在s s平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在这些线段右平面实轴的线段上存在根轨迹的条件

24、是，在这些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数。边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数。24自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析-2-10 12gKKGss ss25自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析j图实轴根轨迹平面例设系统开环传递函数为例设系统开环传递函数为 试求实轴上的根轨迹。试求实轴上的根轨迹。解解：系统的开环零点为系统的开环零点为0.50.5，开环极点为，开环极点为0 0（二重极点），（二重极点），1 1，1.51.5，4 4（如图所示）。根据实轴上根轨迹的判别条件可以（如图所示）。根据实轴上根

25、轨迹的判别条件可以得到区间得到区间4 4，1.51.5右方的开环零点数和极点数总和为右方的开环零点数和极点数总和为5 5，以，以及区间及区间1 1，0.50.5右方的开环零点数和极点数总和为右方的开环零点数和极点数总和为3 3，均为，均为奇数，故实轴上根轨迹在上述两区间内如图中所示。奇数，故实轴上根轨迹在上述两区间内如图中所示。 45 . 115 . 02sssssKsGgK26自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析nmjij 1i 1apznm（5 5）根轨迹的渐近线）根轨迹的渐近线 1802q1q0,1,2,nm 根轨迹中（根轨迹中（n-m）条趋向无穷

26、远处分支的渐近线相角为）条趋向无穷远处分支的渐近线相角为伸向无穷远处根轨迹的渐近线与实轴交于一点，其坐标伸向无穷远处根轨迹的渐近线与实轴交于一点，其坐标为为 ，而，而a, j027自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析1802q1q0,1,2,nm 取角够n-m个夹 若若n n m m，当，当K Kg g从从0+0+时，有时，有( (n nm m) )条根轨迹分支条根轨迹分支沿着实轴正方向夹角沿着实轴正方向夹角，截距为，截距为 的一组渐近线趋的一组渐近线趋向无穷远处。向无穷远处。anmjij 1i 1a(p )(z )nmnm极和零和开环点开环点与实轴交点

27、的坐标：与实轴交点的坐标： 仅当仅当s s足够大时，根轨迹才向渐近线逐渐逼近，足够大时，根轨迹才向渐近线逐渐逼近， K Kg g，根轨迹才与渐近线重合。，根轨迹才与渐近线重合。一般直接取一般直接取180180。28自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析例：已知控制系统的开环传递函数如下，确定例：已知控制系统的开环传递函数如下，确定s s平面上根轨迹的平面上根轨迹的 渐近线方向。渐近线方向。 2(1)422gKKsGss sss6001802118021180133002qqqqnmq12340,11,11,4 ppjpjp1z1 3mn(0)( 11)(

28、11)( 4)( 1)54 13 ajj解：开环极点：解：开环极点：开环零点：开环零点：3 3条趋于无穷远处条趋于无穷远处夹角夹角截距截距29自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析-2-10 12gKKGss ss60018021180133002qqqq1 213 a30自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析例例已知控制系统的开环传递函数为试确定根轨迹的支数、起点和终点。若终点在无穷远处，试确定渐近线和实轴的交点及渐近线的倾斜角。 51sssKsGgK图4 渐进线0-1-2-51平面j123p0,p1,p5 解解 由

29、于n=3，所以有3条根轨迹，起点分别在由于m=0，开环传递函数没有有限值零点，所以三条根轨迹的终点都在无穷远处，其渐近线与实轴的交点及倾斜角分别为 3ii 1p0 1 52nm30 1802q11802q1nm3当 时， ；当 时， ；当 时， 。根轨迹的起点和三条渐近线如右图所示。q0 601q11802q2 300331自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析1(,z 12,pp分析：分析：1 1）如图，）如图， ，为实轴上的根轨迹。，为实轴上的根轨迹。 两条根轨迹分别由两条根轨迹分别由-p-p1 1和和-p-p2 2出发，随出发，随k kg g的增大，

30、会合于的增大，会合于a a点继而又分开，离开实轴，进入复平面，再回到实轴，会合点继而又分开，离开实轴，进入复平面，再回到实轴，会合于于b b点再离开，一条终止于点再离开，一条终止于-z-z1 1，另一趋于负无穷远处。，另一趋于负无穷远处。（6 6）根轨迹的分离点和会合点）根轨迹的分离点和会合点 若两条根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开，称该点若两条根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开，称该点为根轨迹的分离点或会合点。此点对应于二重根（实根和共轭为根轨迹的分离点或会合点。此点对应于二重根（实根和共轭复数根）。复数根）。一般多出现在实轴上。一般多出现在实轴上。32自动控制理论自动控制理论第四章线

31、性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析2 2）规律：）规律： 若实轴上两相邻开环极点之间存在根轨迹，之间若实轴上两相邻开环极点之间存在根轨迹，之间 必有分离点；必有分离点； 若实轴上相邻开环零点（一个可视为无穷远）之若实轴上相邻开环零点（一个可视为无穷远）之 间存在根轨迹，之间必有会合点；间存在根轨迹，之间必有会合点； 若实轴上开环零点与极点之间存在根轨迹，则其若实轴上开环零点与极点之间存在根轨迹，则其 间可能既有分离点也有会合点，也可能都没有。间可能既有分离点也有会合点，也可能都没有。33自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析ld1803 3）求分

32、离角（会合角）：）求分离角（会合角）： 在分离点（会合点）上，根轨迹切线与正实轴在分离点（会合点）上，根轨迹切线与正实轴的夹角，的夹角，l l为相分离的根轨迹分支数。为相分离的根轨迹分支数。 34自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析11()( )( ) ( )()mgiiKgnjjKszN sGsKD ssp4 4）分离点的求取）分离点的求取11()( )1010( )() mgiignjjKszN sKD ssp特征方程：特征方程：0gdKds复平面上根轨迹的分离点必须满足方程复平面上根轨迹的分离点必须满足方程由由( )1( )( )( ) ggN s

33、KD sD sKN s35自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析( )( )( )( ) 0D s N sN s D ss s 分离点分离点0gdKds由由( )0( )( )0( ) gdKD sddsN sdsD sddsN s可得可得2( )( )( )( )0( )D s N sN s D sN s( )( )( )( )0D s N sN s D s36自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析例：已知控制系统的开环传递函数如例：已知控制系统的开环传递函数如下，试求根轨迹在实轴上的分离点。下，试求根轨迹在实轴上的

34、分离点。 12gKKGss ss解：解：sssssssD23)2)(1( )(231)(sN2( )( )( )( ) 3620D s N sN s D sss263 )(2sssD0)( sN120.4231.577ss 37自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析120.4231.577ss -2-10-0.4231230,1,2 ppp判断：判断：开环极点有三个开环极点有三个(, 2, 1,0 在实轴上在实轴上 为根轨迹为根轨迹 ， 则则 s1满足，为分离点。满足，为分离点。180902d38自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性

35、系统的根轨迹分析（7 7）根轨迹的出射角和入射角）根轨迹的出射角和入射角出射角：始于开环极点的根轨迹在起点的切线与正实轴的夹角出射角：始于开环极点的根轨迹在起点的切线与正实轴的夹角入射角：止于开环零点的根轨迹在终点的切线与正实轴的夹角入射角：止于开环零点的根轨迹在终点的切线与正实轴的夹角ab11180 (21)mnaijijj ak ：由其它各开环零点指向：由其它各开环零点指向 的向量的幅角的向量的幅角 ：由其它各开环极点指向：由其它各开环极点指向 的向量的幅角的向量的幅角ijapap入射角：入射角：11180 (21)nmbjijii bk 出射角：出射角：39自动控制理论自动控制理论第四章

36、线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析j图10 例题系统的出射角和入射角41231平面例设开环传递函数极、零点如图所示，试确定根轨迹离开共例设开环传递函数极、零点如图所示，试确定根轨迹离开共 轭复数极点的出射角。轭复数极点的出射角。 解解 利用公式，由作图可得利用公式，由作图可得 6 .2621806 .261359045121801218041312111kkppppppzpka考虑到幅角的周期性，取考虑到幅角的周期性，取 = =26.626.6。同理，可得同理，可得 =+26.6=+26.6。 a1a240自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析

37、（8 8）根轨迹与虚轴的交点）根轨迹与虚轴的交点 随着随着K Kg g，根轨迹可能由，根轨迹可能由s s左半平面左半平面右半平面，系右半平面，系统会从稳定统会从稳定不稳定，根轨迹与虚轴的交点，即闭环特征不稳定，根轨迹与虚轴的交点，即闭环特征方程出现方程出现纯虚根纯虚根，出现临界稳定。，出现临界稳定。 求解方法（两种方法）：求解方法（两种方法）： 劳斯判据：第一列有劳斯判据：第一列有0 0元素（纯虚根），代入辅助方元素（纯虚根），代入辅助方 程，此处的增益程，此处的增益临界根轨迹增益临界根轨迹增益K Kgpgp。Re( )Im( )0A sA s 令令s=js=j代入闭环特征方程代入闭环特征方程

38、A A（s s）=0=0 ，再令，再令 求出求出、交点坐标和、交点坐标和K Kg g。41自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析例：已知系统的开环传递函数，求根轨例：已知系统的开环传递函数，求根轨迹与虚轴的交点、临界根轨迹增益迹与虚轴的交点、临界根轨迹增益k kgpgp。 12gKKGss ss解：解： 3212320ggA ss ssKsssK32()3()2()0gpjjjK23(3)(2)0gpKj020332gpk00gpk26gpk 2jjgpk6 交点坐标：交点坐标：得：得：（舍去）（舍去）令令s=j代入有代入有42自动控制理论自动控制理论第四

39、章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析当当 时，时， s1 行等于行等于0，有一对纯虚根，辅助方程，有一对纯虚根，辅助方程 6gK 230gsK1 2 3 0s3s2s1s0 gK63gKgk22s2js解：解： 劳斯判据劳斯判据 32320gA ssssK43自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析-2-10-0.423 12gKKGss ss2j2j 根轨迹和虚轴交点相应于系统根轨迹和虚轴交点相应于系统处于临界稳定状态。即处于临界稳定状态。即K Kg g66后，系后，系统不稳定（有闭环右极点）。统不稳定（有闭环右极点）。 44自动控制理论自动控

40、制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析（9）闭环极点的和）闭环极点的和由根与系数的关系，当：由根与系数的关系，当：2mn开环极点之和开环极点之和= =闭环极点之和闭环极点之和= =常数常数 表明，随着表明，随着K Kg g，若闭环一些特征根增大时，另一些特，若闭环一些特征根增大时，另一些特征根必定减小，以保持其代数和为常数。征根必定减小，以保持其代数和为常数。即一些分支向右移即一些分支向右移动时，另一些分支必向左移动，保持左右平衡。动时，另一些分支必向左移动，保持左右平衡。 可根据部分分支走向，判断另一些分支的走向。可根据部分分支走向，判断另一些分支的走向。 对于某一对于某

41、一K Kg g，若已知（，若已知（n n-1-1）个闭环极点，可求最后一个）个闭环极点，可求最后一个闭环极点。闭环极点。45自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析例：已知系统的开环传递函数，根轨迹与虚轴的交点为例：已知系统的开环传递函数，根轨迹与虚轴的交点为 ，试求其相应的第三个闭环极点，并求交点处的临界根轨迹增益试求其相应的第三个闭环极点，并求交点处的临界根轨迹增益Kgp 12gKKGss ss1,22sj 3)2() 1(03123()()()()(2)(2)3ssssjj 3()3s 解：开环极点之和解：开环极点之和闭环极点之和：闭环极点之和：112

42、1213 1 26njjngmmiispsp spspKsz szszsz 46自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析-2-10-0.423 12gKKGss ss2j2j 向左，向左，、关于实关于实轴对称，只能向右移动。轴对称，只能向右移动。47自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析小结：小结： 按按9 9条规则条规则绘制控制系统从绘制控制系统从K Kg g=0+=0+时根轨迹时根轨迹的草图的草图直观分析直观分析K Kg g变化对性能的影响；变化对性能的影响； 进一步根据幅角条件，采用试探法准确确定若干进一步根据幅角

43、条件，采用试探法准确确定若干点的位置（特别是虚轴附近或原点附近）点的位置（特别是虚轴附近或原点附近） 精确根精确根轨迹。轨迹。（根轨迹的重要部位，稳定（根轨迹的重要部位，稳定不稳定）不稳定）根轨迹示例根轨迹示例j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j49自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析2( )(3)(22)gkKG ss sss123,4p0, p3, p1j 例：例：解（解（1）无开环零点，开环极点）无开环零点，开环极点 在实轴上根轨迹在实轴上根轨迹-3，0。0j34.34.3控制系统根轨迹的绘制控制系统根轨迹的绘制50自动控制理论自动控制理论

44、第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析（2）n- -m=4 ，有，有4条分支趋向无穷远处条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点。渐近线的夹角与交点180 (21)45 ,135403111.254akjj 0j1.25351自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析23212,3( )( )(3)(22)( )( )( )( )( )(415166)02.31809020.730.37() gKdKN sGss sssD sN s D sN s D ssssssj为根轨迹的分离点，切线舍去 （3）实轴上的分离点）实轴上的分离点0j1.253 .

45、2352自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析6 .719021)190(18090)31()1(180113tgtgjjp471.6p（4）起始角（出射角）起始角（出射角）0j1.253 . 2353自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析432( )5860gA sssssK432()5()8()6()0gjjjjK423(8)(65)0gKj1 21 201.1()1.108.16ggsjKK ，舍去即（5）与虚轴的交点）与虚轴的交点=0=054自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨

46、迹分析（2）n-m=4 ，有，有4条分支趋向无穷远处条分支趋向无穷远处。（1）无开环零点，开环极点，）无开环零点，开环极点，在实轴上根轨迹在实轴上根轨迹-3，0。 （3）实轴上的分离点）实轴上的分离点（4）起始角（出射角）起始角（出射角）（5）与虚轴的交点）与虚轴的交点0j1.253 . 231.11.155自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析圆弧根轨迹圆弧根轨迹 当系统仅具有两个开环极点和一个开环零点时，当系统仅具有两个开环极点和一个开环零点时，这时根轨迹可能是直线或圆弧，但只要根轨迹一旦这时根轨迹可能是直线或圆弧，但只要根轨迹一旦离开实轴，必然是沿圆

47、弧移动。离开实轴，必然是沿圆弧移动。 圆心：开环零点圆心：开环零点 半径：半径：12()()Rpzpz56自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析例例 设系统开环传递函数，求根轨迹。设系统开环传递函数，求根轨迹。 10.10.5gKKsGsss当闭环特征根变至实部为当闭环特征根变至实部为1时，其对应的时，其对应的120.10.5pp ，11z (, 1, 0.5, 0.1 ( 0.1 1)( 0.5 1)0.67R ( 10.67)0.1 ( 10.67)( 0.5)1.12 0.841.4( 10.67)( 1)0.67gjjKj 解：两个开环极点：解：两

48、个开环极点：一个开环零点：一个开环零点：根轨迹在实轴上的区间：根轨迹在实轴上的区间：圆心：圆心：（- -1，j0）半径：半径：57自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析典型根轨迹与开环零极点间关系典型根轨迹与开环零极点间关系 根轨迹均为直线或光滑的弧线（不可能有折线）；根轨迹均为直线或光滑的弧线（不可能有折线）； 从分离点离开实轴再回到实轴（会合点），一般为圆弧；从分离点离开实轴再回到实轴（会合点），一般为圆弧； n n- -m m22，左右平衡；，左右平衡； 分离点：实轴上相邻开环极点之间有根轨迹分离点：实轴上相邻开环极点之间有根轨迹 会合点：实轴上相邻

49、开环零点之间有根轨迹。会合点：实轴上相邻开环零点之间有根轨迹。 58自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析绘制顺序：绘制顺序：1.1.首先确定实轴上的根轨迹首先确定实轴上的根轨迹2.2.由由n n- -m m22时的规律大致确定其余根轨迹的走向时的规律大致确定其余根轨迹的走向3.3.较为准确地确定其余较为准确地确定其余n n- -m m条终止于条终止于处的根轨迹的渐处的根轨迹的渐近线（截距，角度）近线（截距，角度）59自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析4.44.4控制系统的根轨迹分析控制系统的根轨迹分析 系统的阶跃

50、响应与闭环零、极点的分布密切相关。系统的阶跃响应与闭环零、极点的分布密切相关。 根据根轨迹根据根轨迹求已知参数（一般为求已知参数（一般为%、 t tS S）下的主）下的主导闭环极点导闭环极点分析系统性能。分析系统性能。 分析可包括：分析可包括：(1) (1) 由给定参数确定闭环零、极点；由给定参数确定闭环零、极点；(2) (2) 分析参数变化对系统稳定性的影响；分析参数变化对系统稳定性的影响；(3) (3) 计算系统的瞬态性能和稳态性能指标；计算系统的瞬态性能和稳态性能指标；(4) (4) 根据性能要求确定系统的参数。根据性能要求确定系统的参数。60自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨

51、迹分析第四章线性系统的根轨迹分析(1)(1)求取闭环系统极点的方法：求取闭环系统极点的方法： 例：已知系统开环传递函数例：已知系统开环传递函数 ，求具有阻尼比，求具有阻尼比=0.5=0.5的共轭闭环主导极点和其它闭环极点，并估算的共轭闭环主导极点和其它闭环极点，并估算此时系统的性能指标。此时系统的性能指标。) 15 . 0)(1()(sssKsGk解解：2( )(1)(2)(1)(2)gkKKG ss sss ss61自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析)0,422. 0(j1230.4220.4220.4220.422 0.578 1.5780.385

52、gKppp 分离点：分离点：gpj2k6k3g0K6,0K3 与虚轴的交点：与虚轴的交点：稳定范围稳定范围 绘制根轨迹绘制根轨迹62自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析58. 033. 02, 1js0.5252gKK arccos60 作图求作图求=0.5=0.5时三个闭环极点时三个闭环极点34. 2)58. 033. 0()58. 033. 0(33jjs1112130.330.580.330.58 10.330.5821.05gKspspspjjj 63自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析非主导极点与主导极点

53、实部之比非主导极点与主导极点实部之比（倍）1 . 733. 034. 2（倍）5 . 3667. 034. 2 性能分析性能分析 模之模之比比10.667,0.5 ns21%16.3%339( )0.5 0.667snets-s-s1 1、 -s-s2 2 在系统的瞬态响应过程中起着主导性作在系统的瞬态响应过程中起着主导性作 用，是闭环主导极点。用，是闭环主导极点。 可根据由可根据由-s-s1 1、 -s-s2 2 所构成的二阶所构成的二阶系统来估算三阶系统。系统来估算三阶系统。64自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析0525. 0avpKKKK9 . 11vssKe单位斜坡给定作用下稳态误差：单位斜坡给定作用下稳态误差：型系统：型系统：65自动控制理论自动控制理论第四章线性系统的根轨迹分析第四章线性系统的根轨迹分析(1)(1)系统要稳定：闭环极点全部位于系统要稳定：闭环极点全部位于s s左半平面，与左半平面，与 闭环零点无关；闭环零点无关；(2)(2)快速性好：闭环极点均远离虚轴，以使每个分快速性好：闭环极点均远离虚轴，以使每个分 量衰减更快；量衰减更快；(3)(3)平稳性好：主导共轭复数极点位于平稳性好：主导共轭复数极点位于=4545等等 阻尼线上，其对应最佳阻尼系