化工过程系统优化基础 化工过程分析与合成课件-PPT课件

1、第第4 4章化工过程系统优化根底章化工过程系统优化根底 化工过程分析与合成课件化工过程分析与合成课件制作人：方利国，苏嘉俊联系电话作人：方利国，苏嘉俊联系电话作人：方利国，苏嘉俊联系电话作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511284.1.2 常见的化工优化问题常见的化工优化问题典型的化工优化问题主要包括(1)厂址选择(2)管道尺寸确实定和管线布置(3)设备设计和装置设计(4)维修周期和设备更新周期确实定(5)单元设备如反响器、塔器等操作确实定(6)装置现场数据的评价，过程数学模型的建立制作人：方利国，苏嘉俊联

2、系电话7)最小库存量确实定(8)原料和公用工程的合理利用等(9)生产方案确实定(10)换热网络确实定(11)别离次序确实定(12)催化剂更换周期确实定制作人：方利国，苏嘉俊联系电话图4-2那么是另一个生产过程的维修周期和产品本钱关系。由图4-2可知，最正确的维修周期为2年图4-2 产品本钱随维修周期改变关系2制作人：方利国，苏嘉俊联系电话过计算，某换热器的综合本钱和冷却水的出口温度关系如下已利用模型方程消去传热面积、冷却水流量1)-(4 30480130)1 . 014ln(225222tttJ制作人：方利国，苏嘉俊

3、联系电话作人：方利国，苏嘉俊联系电话工优化问题的一般数学模型化工优化问题的一般数学模型化工优化模型包括目标函数经济指标和系统模型约束方程，一般的数学形式如下：目标函数： J=f(X,U) 4-2 约束条件：gi(X,U)=0(i=1,2,.n) 4-3qj(X,U)0 (j=n+1,n+2,.p) 4-4 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话前尚没有一种优化方法能有效地适用所有的优化问题。针对某一特定问题选择优化方法的主要根据为：(1)目标函数的特性(2)约束条件的性质(3)决策变量和状态变量的数目制作人：方利国，苏嘉俊联

4、系电话化问题求解的一般步骤为：(1)对过程进行分析，列出全部变量(2)确定优化指标，建立指标和过程变量之间的关系，即目标函数关系式经济模型(3)建立过程的数学模型和外部约束包括等式约束及不等式约束，确定自由度和决策变量。一个过程的模型可以有多种，应根据需要，选择简繁程度适宜的模型(4)如果优化问题过于复杂，那么将系统分成假设干子系统分别优化；或者对目标函数的模型进行简化(5)选用适宜的优化方法进行求解(6)对得到的解检验，考察解对参数和简化假定的灵敏度制作人：方利国，苏嘉俊联系电话工优化问题的根本方法化工优化问题的根本方法优化问题的求解方法称

5、为优化方法。优化问题的性质不同，求解的方法也将不同。根据优化问题有无约束条件，可分为无约束优化问题和有约束优化问题。无约束条件优化可分为单变量函数优化和多变量函数优化；而有约束优化问题也可分为两类：线性规划问题和非线性规划问题。当目标函数及约束条件均为线性时，称为线性规划问题；当目标函数或约束条件中至少有一个为非线性时，称为非线性规划问题。求解线性规划问题的优化方法已相当成熟，通常采用单纯形法制作人：方利国，苏嘉俊联系电话解非线性规划问题的优化方法可归纳为两大类1间接优化方法 间接优化方法就是解析法，即按照目标函数极值点的必要条件用数学分析的方法求解。再按照充分条件或

6、者问题的物理意义，间接地确定最优解是极大还是极小。例如，微分法即属于这一类2直接优化方法 直接优化方法属于数值法。由于不少优化问题比较复杂，模型方程无法用解析法求解，目标函数不能表示成决策变量的显函数形式，得不到导函数。此时须采用数值法。这种方法是利用函数在某一局部区域的性质或在一些点的数值，确定下一步计算的点。这样一步步搜索，逼近，最后到达最优点，直接法是化工系统优化问题的主要求解方法制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511284.2 优化的数学根底优化的数学根底制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511284.2.1 凸集凸集 如果对于一个集合中的任意一对点x1和x2，连

7、接两点的直线段总是完全地被包含在集合内，那么这组点或区域被定义为n维空间的凸集。图4-4表示了二维情况下的凸集。凸集两点之间的任意一点可表示为：5)-(4 10 )1 ( 21xxx图4-4 封闭凸集图4-5 非凸集图4-6 开放凸集制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511284.2.2 凸函数和表达凸集的定义相仿，如果函数f(x)满足下面式4-6的条件，那么f(x)在凸集F下是凸函数，见图4-76)-(4 10 )()1 ( ) ()1 (21 21xfxfxxfx1 x x2 f(x) x1 x x2 f(x) 图4-7 凸函数图4-8 凹函数制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 13

8、6222511284.2.3 4.2.3 单变量函数的极值情况单变量函数的极值情况对于单变量函数的极值，如果函数连续可导，在数学可以方便地通过求解一阶导数y=0的方法来得到如对y =2x32-16x+5，其图形见图4-10-5-4-3-2-1012345-100-50050100150200250300 xy图图4-9 4-9 具有具有2 2个极值个极值点的单变量函数点的单变量函数0.511.522.533.52.752.82.852.92.9533.053.13.15xy图图4-10 4-10 具有具有3 3个极个极值点的单变量函数值点的单变量函数制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222

9、51128对于像式4-1的函数，可以通过求导的方法获得极值点，进而根据实际情况判断是否最值点来获取总费用最小时的冷却物流出口温度t2。式4-1对t2求导得：1)-(4 30480130)1 . 014ln(225222tttJ5)-(4 )30(480)130(140130)1 . 014ln(2252222222tttttJ制作人：方利国，苏嘉俊联系电话x f(x) x f(x) x f(x) 图4-11-a 不连续函数图4-11-b 不可导函数图4-11-c 离散函数制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511284.2.4 4.2.4 多变量函数的极值情况

10、多变量函数的极值情况对于多变量数，其极值情况和最大小值的关系更为复杂。一般情况下，只有两个变量的函数还可以用图形来表示，此时包括函数本身，需要用3维空间。超过3维空间就很那用图形来表示。如果目标函数是含有两个变量的二次函数或可以用二次函数式4-6来近似表示6)-(4 x)(2222112211122110 xaxxaxaxaxaaf对于求式4-6的最大(小值，如果该函数连续可导，那么也可仿照单变量函数优化的思路，通过分别对两个不同的变量求导，令下式4-7成立7)-(4 02021122222221211111xaxaaxfxaxaaxf通过求解式4-7的方程组，求得式4-6函数的驻点即一阶偏导

11、数为零的点制作人：方利国，苏嘉俊联系电话函数：8)-(4 8x)(2221211xxxxxf求一阶偏导数：9)-(4 02021122211xxxfxxxf现在在来计算该函数的H(xH(x)。对于一般的二个变量的二次函数，H(xH(x)的通式定义如下10)-(4 222122212212xfxxfxxfxfH那么式4-8函数的H(x)为：11)-(4 2112H制作人：方利国，苏嘉俊联系电话4-12 椭圆形等高线-具有最小值图4-13圆形等高线-具有最小值图4-14 圆形等高线-具有最大值图4-15马鞍状图形-无极值制作人：方利国，苏嘉俊联系

12、电话4-16 稳谷图形-具有最小值图4-16 稳脊图形-具有最大值图4-18 上升山脊-无极值图4-19 多极值图制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511284.2.5 函数最优解的最后确定对于具有多个极值的函数，在优化求解时，有时利用优化问题的实际意义确定最大值或最小值，比利用纯粹的数学分析方法更方便，更符合实际情况。因此，对于具有丰富实际经验的人来说，利用化工专业知识，来判断最优解的存在及最优解的性质，比采用各种数学工具的分析更直接更可靠制作人：方利国，苏嘉俊联系电话t110.0014.0018.0020.0122.0026.0

13、030.0035.0040.00dt220.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 dt1/dt20.50 0.70 0.90 1.00 1.10 1.30 1.50 1.75 2.00 dt15.00 17.00 19.00 20.01 21.00 23.00 25.00 27.50 30.00 lndt 14.43 16.82 18.98 20.00 20.98 22.87 24.66 26.80 28.85 dt%3.82 1.05 0.09 0.00 0.08 0.57 1.35 2.53 3.82 表5-1 对数平均温差与

14、算术平均温差比较dt1:进口温差；进口温差；dt2:出口温差；出口温差；dt1/dt2:温差之比；温差之比；dt:算术平均温算术平均温差；差；lndt:对数平均温差；对数平均温差；dt%：两种温差相差百分比：两种温差相差百分比制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511284.3 4.3 无约束函数优化无约束函数优化制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511284.3.1 单变量函数优化对于单变量函数的优化，必须先确定单变量函数的极值情况。只有一个极值的单变量函数称单峰函数，单峰函数只有一个唯一的极值(极大或极小)。下面介绍的大局部单变量函数优化方法对单峰函数有效，对多峰函数有时

15、必须先分割成假设干个单峰函数进行分区间求解。多峰函数具有多个极值称多峰函数。单峰函数和多峰函数的示意图见图4-20制作人：方利国，苏嘉俊联系电话x f(x) x f(x) 图4-20-1 单峰函数图4-20-2 多峰函数制作人：方利国，苏嘉俊联系电话使是单峰函数，其极值也分两种情况，分别是极小值见图4-21-1和极大值见图4-21-2。对极小值而言，需满足(假设x*为极值点)f(x1)f(x2)f(x*) x1x2f(x3)f(x*) x*x3x4 4-14 x1 x2 x* x3 x4 f(x) f(x) x1 x2 x* x3 x4图4-

16、21-1极小值函数图4-21-2 极大值函数制作人：方利国，苏嘉俊联系电话极大值而言，需满足(假设x*为极值点)：f(x1)f(x2)f(x*) x1x2x* 4-15f(x4)f(x3)f(x*) x*x3x4 4-16为了计算方便，统一将单变量函数的优化问题转变成求极小值或最小值问题，因为求函数f(x)的最大值可以通过求函数-f(x)的最小值来获得最优解。如： max f(x)=-x2+2x+4 (4-17)的最优解为x=1，最大值为5，等价与： min -f(x)= x2-2x-4 (4-18)的最优解为x=1，最小值为-5。比较可以发现式4-17和式4-18的

17、解均是x=1，而目标函数刚好符号相反，但绝对值相同 所以，单变量函数优化问题就可以统一为求单变量函数的最小值已规定为单峰区间，极值已是全局最值制作人：方利国，苏嘉俊联系电话于利用函数导数性质的各种方法如牛顿法，拟牛顿法作者认为，对于单变量函数，尤其对于化工优化问题，常常为了花去约束条件，目标函数已变得相当复杂，即使函数可导，如何求取其一阶、二阶导数也是一个问题，还不如直接利用数值分析的方法来的简单明了1、穷举法穷举法是最直接最具有物理意义的计算单变量函数的方法。其计算思路就是根据优化问题的实际意义，确定最优解的区间为a0,b0，然后将a,b区间分成n1 等分，计算各个

18、函数值，找到最小值点及其左右两点。将左右两点作为新的优化区间a1,b1再分成n2等分，计算各个函数值，找到最小值点及其左右两点；不断重复上述过程，直至最优解的区间缩至规定的精度要求制作人：方利国，苏嘉俊联系电话谓快速扫描就是从目标函数的某一点出发，通过不断增加步长，找到中间低，两头高的三个点，扫描法的步骤为：1给定步长，初始点x1,置n=1，f1=f(x1)2xn+1=xn+2n-1, fn+1=f(xn+1)，if f1fnfn+1的三点，否那么取n=n+1,转2 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话4-1为例，假设步长， t21=32, 利用m

19、atlab 编程如下：clear all;clc;close all;n=1;%alfai=1;alfait1=32;f1=ff(t1) t2=t1+alfai*2(n-1) 由于本目标函数的特殊性，建议用带“%的语句代替，下同% t2=t1+alfai*(n-1)f2=ff(t2)if f1f2 alfai=-alfai t2=t1+alfai*2(n-1) %t2=t1+alfai*(n-1)else endwhile n100 可以给定其他数 n=n+1 t3=t2+alfai*2(n-1) %t3=t2+alfai*(n-1) f3=ff(t3) if f2f3 break;跳出循环

20、end t1=t2; f1=f2 t2=t3;f2=f3 enda=t1b=t3 % -function ff=ff(t)ff=225*log(14-0.1*t)/(130-t)+480/(t-30); 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话=收缩后的区间Ln/初始优化区间L0 (4-19) 解决了优化区间，就可以方便地利用计算的快算计算功能，通过不断穷举，就可以计算出最优解。其实根据式4-1所表示的实际过程，可以知道最优一般在30，140之间，为了防止出现被零除，跳过130，取32,128。每轮计算时将区间分成100等分，需计算101个点，剩下的区间由最小点和左右两点组成，

21、所以每轮就算后剩下的区间为原来区间的2%，一般称为区间收缩率E，计算公式为制作人：方利国，苏嘉俊联系电话设连续进行3轮如此的计算，那么总收缩率到达0.0008%，完全符合最优化温度要求。其程序的核心代码如下：function qiongjvfaclear all;clc;close all;tict1=32;t2=128;for k=1:3t=linspace(t1,t2,101);for i=1:101 f(i)=ff(t(i);end fmin=min(f(:);index=find(f(:)=fmin);t1=t(index-1);t2=t(index+1);e

22、nd optimizedtemp=t(index)minf=ff(t(index)toc % -function ff=ff(t)ff=225*log(14-0.1*t)/(130-t)+480/(t-30); 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511282、二分法所为二分法，就是将原来的优化区间一分为二，在分界点的左右两侧各取两点和原来的区间两端点共4个点组成一个优化判断区间点，见图4-22。在这4个点中找中间低，两头高的3个点，构成新的优化区间，不断重复以上过程，直至收缩率E到达规定精度1要求为止。二分法点的计算规那么如下：x1= (a+b)/2 (b-a) (4-20) x2=

23、 (a+b)/2 +(b-a) (4-21)收敛判据： E1 4-22 理论极大收缩率的计算公式为：23)-(4 )21(nE 图图4-22 4-22 二等分法示意图二等分法示意图 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话管理论上如果值越小，收缩率也越小，收缩效率越高。但如果取得过小，可能将最优解的区域错过，从而导致无法求得最优解或尽管程序提示求得最有优解，其实不是最优解。当然也可以通过强加收敛判据来判断是否没有求得最优解，其判据如下：24)-(4 )(1)()( 2afbfaf制作人：方利国，苏嘉俊联系电话1=32;t2=128;n=1;a0=t1;

24、b0=t2;beita=0.005;eer1=0.000001;eer2=0.000001;ticwhile n=f2 t1=c; e1=(b-c)/(a0-b0); optimizedtem=d; minf=f2; else t2=d; e1=(b-c)/(a0-b0); optimizedtem=c; minf=f1; end e2=abs(f2-f1)/(1+abs(f1) ; if e1=eer1 if e2=eer2 break; end endend optimizedtemminftoc 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511283、三分法、三分法图图4-23 4-2

25、3 三等分法示意图三等分法示意图所谓3分法就是将原来的优化区间，一分为3等份，中间两点和原来的区间两端点共4个点组成一个优化判断区间点，见图4-23。在这4个点中找中间低，两头高的3个点，构成新的优化区间，不断重复以上过程，直至收缩率E到达规定精度1要求为止。三分法点的计算规那么如下： x1= a+(b-a)/3=(b+2a)/3 (4-25) x2= b-(b-a)/3=(2b+a)/3 (4-26)此方法的理论极大收缩率的计算公式为 27)-(4 )32(nE 三分法编程计算和二分法完全一致，只需将点的计算公式改成如下：c=(2*a+b)/3d=(a+2*b)/3 制作人：方利国，苏嘉俊联

26、系电话 136222511284、黄金分割法 (Golden Section Search MethodbL-xx1x2xLax图图4-25 4-25 黄金分割比示意图黄金分割比示意图 对于长为L的线段，将它分割成长短不同的两局部，长的一段为x，短的一段为L-x。如图4-25所示。假设这两个线段的比值满足下面的关系式，那么称为黄金分割。28)-(4 xxLLx根据上面的定义,可解出x同L的关系。由上式4-28可得x2+Lx-L2=0，即：012LxLx解之得：618. 02152411Lx制作人：方利国，苏嘉俊联系电话eita=(5)0.5-1)/2tic a=t1;

27、 b=t2; c=a+(1-beita)*(b-a); d=b-(1-beita)*(b-a); f1=ff(c);f2=ff(d)while n=f2 e1=(b-c)/(a0-b0) optimizedtem=d; minf=f2; e2=abs(f2-f1)/(1+abs(f1) a=c; c=d f1=f2 d=b-(1-beita)*(b-a); f2=ff(d) else optimizedtem=c; minf=f1; e1=(b-c)/(a0-b0); e2=abs(f2-f1)/(1+abs(f1) b=d; d=c; c=a+(1-beita)*(b-a); f2=f1 f

28、1=ff(c) end 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511285、抛物线法、抛物线法该法利用优化区间两端点及内部任意一点共3点为根底见图4-26，将该3点利用二次函数拟合，再利用抛物线求顶点公式得到抛物线的极值点，将该点和原来3点一起进行比较，找到中间低，两头高的3点。在从该3点出发，进行二次函数拟合，求抛物线顶点，不断重复以上过程，直至满足收敛条件为止，抛物线的顶点计算公式如下：x1 x2 x* x3 f(x) 图4-26 抛物线法示意图29)-(4 )()()()()()(21213132121222132123221221*xxfxxfxxfxxfxxfxxfx制作人：方

29、利国，苏嘉俊联系电话 136222511284.3.2 4.3.2 多变量函数优化多变量函数优化通用的计算步骤是一致的，具体如下：(1) 给定精度，初始点X0，置k=0(2)决定搜索方向Sk，一维搜索f(XK+kSk)=Minf(XK+Sk),令XK+1=XK+kSk得到一个新点(3) 判断: 30)-(4 1kkXX假设式(4-30)成立，那么停止计算，反之那么令k=k+1，转2，直至精度满足要求为止制作人：方利国，苏嘉俊联系电话量轮换法变量轮换法变量轮换法的根本原理是对于有变量轮换法的根本原理是对于有n n个变量的函数，以个变量的函数，以n n个线性无关的个线性无

30、关的向量作为向量作为n n个搜索方向，搜索步长可用各种方法个搜索方向，搜索步长可用各种方法变量轮换法的具体步骤如下1给定精度，初始点X0，置k=0， j=1，Y1=X0，单位向量 ej=(0,01,0)T，单位向量ej中元素为1的位置在第j个元素上2沿沿n个单位向量方向作个单位向量方向作n次一维优化搜索次一维优化搜索 ： f(Yj+jej)=Minf(Yj+ej)假设假设jn，那么令，那么令Yj+1= Yj+jej，j=j+1，重复，重复(2)；假设；假设j=n,那么下那么下一步一步 3 Xk+1=Yn+1，收敛判断：，收敛判断：kkXX1假设此式成立，那么停止计算，反之那么令Y1=Xk+1，

31、k=k+1，j=1，转2，直至精度满足要求为止制作人：方利国，苏嘉俊联系电话例【例4-14-1】 用变量轮换法计算函数用变量轮换法计算函数f=(x1-2)2+(x1-x2)2f=(x1-2)2+(x1-x2)2的最小的最小值。值。X0=(0,0)TX0=(0,0)T，=0.001 e1=(1,0)T =0.001 e1=(1,0)T ，e2=(0,1)T e2=(0,1)T 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话：解：j=1, k=0由初始点得由初始点得Y1=(0,0)T,那么那么Y2= Y1 +1 e1= (1+0,0)T, 代入目标代入目标函数，

32、对函数，对1作一维搜索作一维搜索 : min(1-2)2+(1-0)2 求出求出1=1，那么，那么Y2=(1,0)T，Y3=Y2+2 e2=(1, 2) 对对2作一维搜索作一维搜索: min(1-2)2+(1-2)2 可得可得2=1，那么，那么Y3=(1,1)T,此时此时j=2，所以，所以 X1= Y3=(1,1)T和和X0比较显然尚未收敛，那么比较显然尚未收敛，那么 : j=1 ,k=k+1=2进行下一轮计算。进行下一轮计算。Y1=X1=(1,1)T,Y2= Y1 +1 e1 =(1+1,1)T, 代入目标函数，对代入目标函数，对1作一维搜索作一维搜索: min(1+1-2)2+(1+1-1

33、)2 得得1=0.5, Y3=(1.5,1+2),同理可得同理可得:2，所以，所以X2=(1.5,1.5)T ,经屡次迭代经屡次迭代10轮可得：轮可得： x1*=1.999024 x2* 此问题的解析精确解为此问题的解析精确解为x1=2，x2=2，可见经，可见经10轮变量轮换法，已接近精确解轮变量轮换法，已接近精确解 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话纯形法单纯形法单纯形法和上面介绍的坐标轮换法一样，在优化计算过程中无需计算函数的梯度，它属于模式搜索法，即是一种按照事先规定的模式来探索最优点的方法1、单纯形定义及计算原理M次大点 H最大点 KL最小点R映射点 C中心 E扩

34、张点S压缩点图4-28 单纯形计算过程各点示意图各点坐标计算公式：2/ )(5 . 010)(12 . 0)(1)(0LiKHRHSHRREHCCRniHiCUUUUUUUUUUUUUUUnUUU制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511282 2、初始单纯形的形成、初始单纯形的形成用单纯形法进行多变量函数优化计算时，首先要形成一个初始单纯形，在这个初始单纯形的根底上方可按照一定的搜索模式进行优化搜索。要在n维空间中建立由n+1个顶点组成的单纯形，同时又要防止单纯形的退化，可按以下两种方法建立初始单纯形1正单纯形所谓正单纯形也就是各边边长相等的单纯形。由初始点U0，可得其它n点坐标如下

35、： U0=(u1,u2,ui.un)T U1=(u1+p,u2+q,u3+q,ui+qun+q)T Ui=( u1+q,u2+q,u3+q,ui+pun+q)T Un=( u1+q,u2+q,u3+q,ui+qun+p)T hnnqhnnnp211211制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511282直角单纯形直角单纯形直角单纯形的生成较简单，由初始点U0可得其它各点坐标如下： Ui=U0+hei ei=(0,0,01第第i个元素个元素,.0)Tei 为单位列向量，h为直角边长 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511283、单纯形法计算步骤、初始化：函数f(U)，给定初始点

36、U0及、建立初始单纯形，求得各点坐标Ui、计算各点函数fi=f(Ui)，并求出最大点H，次大点M，最小点L。max fi=fH=f(UH)， min fi=fL=f(UL) max fi=fM=f(UM)iH、收敛判据：ABS(fH-fL)/Fh) ,假设此式成立，那么停止计算，输出函数最小值为fL，最小点坐标为UL，否那么转下一步。映射：先计算重心坐标，然后计算映射点UR=UC+(UC-UH), 计算f R=f(UR)制作人：方利国，苏嘉俊联系电话缩：取US=UH+(UR-UH) ， fS =f(US) 压缩成功： 假设fSfM成立，那么以S点代替原最大值点H，构成

37、新的单纯形，回到；压缩失败： 假设fSfM不成立，那么转下一步收缩 收缩：Ui=(Ui+UL)/2, 转影射成功：影射成功： 假设假设fRfM 成立，那么扩张至成立，那么扩张至E点，同时计算点，同时计算E点点的函数值，并和的函数值，并和R点的函数值进行比较。点的函数值进行比较。扩张成功扩张成功 ：假设：假设fEfR 成立，那么以成立，那么以E点代替原最大值点点代替原最大值点H，构，构成新的单纯形，回到；成新的单纯形，回到； 扩张失败：假设扩张失败：假设fEfR不成立那么以不成立那么以R点代替原最大值点点代替原最大值点H，构成新的单纯形，回到构成新的单纯形，回到 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话

38、136222511284、实例计算【例4-2】请用单纯形法计算函数f(U)=(u1-2)2+(u2-3)2的最小值。 U0=(0,0)T,h=2,=1,=0.75,=1。 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话：由初始点及步长构成初始单纯形及各点函数值采用直角单纯形：U0=(0,0)T, f0=13U1=(0,0)T+2(1,0)T=(2,0)T, f1=9U2=(0,0)T+2(0,1)T=(0,2)T, f2=5进行函数值大小比较可得： UH=U0=(0,0)T， fH=13 UM= U1=(2,0)T ， fM=9 UL= U2=(0,2)T ， fL=5 计算除最大值

39、点外的重心：UC=UM+ UL/2=(1,1)T影射：UR=UC+(UC-UH)=(2,2)T, fR=1 fR=1扩张失败，以R点代替原H点，构成新的单纯形，进行重新计算制作人：方利国，苏嘉俊联系电话单纯形三点： U0=(2,2)T , f0=1U1=(2,0)T, f1=9U2=(0,2)T, f2=5进行函数值大小比较可得： UH=U1=(2,0)T, fH=9 UM= U2=(0,2)T fM=5 UL= U0=(2,2)T fL=1计算除最大值点外的重心：UC=(UM+ UL)/2=(1,2)T影射：UR=UC+(UC-UH)=(0,4)T, fR=5=fM

40、, 影射失败，压缩。压缩：US=UH+(UR-UH)=(2,0)T+.75(0,4)T-(2,0)T)=(0.5,3)T, fS=2.25 fM=5 压缩成功。以S点代替原H点，构成新的单纯形，进行重新计算： 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话单纯形三点： U0=(2,2)T, f0=1U1=(0.5,3)T, f1U2=(0,2)T, f2=5进行函数值大小比较可得： UH=U2=(0,2)T ， fH=5 UM=U1=(0.5,3)T ， fM UL= U0=(2,2)T ， fL=1计算除最大值点外的重心：UC=(UM+ UL)/2=(1.25,2.5)T影射：UR

41、=UC+(UC-UH)=(2.5,3)T, fR=0.25 fR=1扩张失败，以R点代替原H点，构成新的单纯形，进行重新计算。制作人：方利国，苏嘉俊联系电话单纯形三点： U0=(2,2)T, f0=1U1=(0.5,3)T, f1U2=(2.5,3)T, f2真正的最优解为U*=(2,3)T,经过三轮计算单纯形已包含最优解，假设继续算下去，就可以得到满足精度要求的最优解。单纯形法常常用在目标函数比较复杂，函数不连续，获得偏导数比较苦难的情况。如强化传热中根据实验条件拟合得到的传热准数方程进行管参数优化时常常利用单纯形法。 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 1362225

42、11284.3.2.4.3.2.3梯度法1 1、根本原理、根本原理多变量函数的负梯度方向是函数下降最快的方向。梯度是一个向量，其各元素的值为函数对各变量偏导数在某一点处的值。 有某一n维函数f(X),那么其梯度f(X)记作30)-(4 ,=f(X) 21Tnxfxfxf梯度法新点的迭代公式如下： Xk+1=Xk+kSk 4-31 Sk=-f(Xk) 4-32其中k为搜索步长，可利用解析求解或数值求解或直接给定一个比较小的步长 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511282、计算步骤计算步骤1给定精度，初始点X0，置k=0。2计算梯度 f(Xk)，令Sk=-f(Xk)。3判断： 33)

43、-(4 )(kXf假设上式成立，那么停止计算，否那么转下一步假设上式成立，那么停止计算，否那么转下一步4一维搜索k，f(XK+kSk)=Minf(XK+Sk)，令XK+1=XK+kSk，k=k+1转第2步图4-29 梯度法计算过程示意图制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511284、实例计算【例4-3】请用梯度法计算f(X)=(x1-2)2+(x1-x2)2-2x2的最小值， X0=(0,0)T 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话：先计算函数的梯度表达式： f(X)=(4x1-2x2-4, 2x2-2x1-2)T 第一轮： f0=4，S0=-(-4,-2)T=(

44、4,2)T, X1=X0+0S0=(0,0)T+0(4,2)T =(40,20)T 将x1=40，x2=20代入目标函数，得： min f1=2002-200+4，对0进行一维搜索可得： 0=0.5, X1=(2,1)T, f1=-1, x11=2, x21=1 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话二轮：第二轮： S1=-f(X1)=-(2,-4)T=(-2,4) X2=X1+1S1=(2-21,1+41) , 将将X2代入目标函数，代入目标函数， 并对并对1进行一维优化搜索，得进行一维优化搜索，得1，那么：，那么： X2=(1.5,2)T,f2=-3.5, f(U2)=(

45、-2,-1)T,S2=(2,1)T 经过两轮计算，目标函数值从最初的4快速下降到，自变量也从(0,0)T,变成(1.5,2)T,假设计算计算下去，目标函数将向-6靠近，最优的自变量也向3,4)T接近，但要真正到达需要无穷多轮计算。实际计算时，只要到达一定精度要求即可制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511285、matlab 编程计算某三级串联换热过程，示意图见图4-30，根据条件推导得到在满足出口温度为500C时，3个换热面积之和为最下的目标函数如下T0=100换热器1换热器 2换热器3t1=300t2=400t3=600t10t20T1T2T3=500t30图4-30 三级串联换

46、热示意图34)-(4 )40050083200123600100(10000min221211TTTTTTJ制作人：方利国，苏嘉俊联系电话atlab编程计算的主要程序如下：function gengradmethodclear all；clc；tick=1;x0=200 300;n=length(x0);while k=100000 k=k+1;f0=J(x0);for i=1:n x(i,:)=x0; for j=1: n if i=j x(i,j)=x0(j)+0.00001*x0(j); else end end xx=x(i,:); f(i)=J(xx); d

47、f(i)=(f(i)-f0)/(0.00001*x0(i);end ddff=(sum(df(:).*df(:)0.5; if ddff0.001; break; else x0(:)=x0(:)-0.001*df(:); end end optimx=x0optimobj=J(x0)disp(k=),ktoc% -function minf=J(x)minf=105*(x(1)-100)/(3600-12*x(1)+(x(2)-x(1)/(3200-8*x(2)+(500-x(2)/400); 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511284、共轭梯度法(1)根本原理共轭梯度法是基于

48、当函数到达最优值附近时，函数的等高线近似于同心椭圆族，而由数学知识可知，两条平行于同心椭圆族的切线必定通过同心椭圆族的中心，这个中心就是最优解，见图4-31图4-31 共轭梯度搜索方向示意图制作人：方利国，苏嘉俊联系电话例4-4】请用共轭梯度法计算f(X)=(x1-2)2+(x1-x2)2-2x2的最小值， X0=(0,0)T 解：第一步和梯度法相同： g0=f(X0)=(4x1-2x2-4, 2x2-2x1-2)T =(-4,-2)T S0=- g0 =(4,2)T, 0=0.5, X1=(2,1)T, g1=-(2,-4)T 第二次搜索：TT0011011(2,6

49、) )2, 4()2, 4()4 , 2()4 , 2()2 , 4(-2,4) TTTTTggggSgS那么X2=X1+1S1=(2+21,1+61)T,代入目标函数，进行一维搜索，得:1=0.5, X2=(3,4)T, g2=(0,0)T,f=-6. 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511284.4 线性及混合整数规划制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511284.4.1 线性规划化工生产和管理中常见的线性规划问题的实例有:(1)产品生产方案的安排(2)劳动力和设备使用安排(3)生产环节各个单元的合理配置(4)投标争取合同这些问题的数学描述包含众多变量、大量方程和不等

50、式。问题的解不仅需满足约束方程,还需使目标函数到达最优制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511281 1、线性规划模型、线性规划模型【例4-5】某化工厂有一生产系统，可以生产A、B、C、D四种产品，每个生产周期所需的原料量、贮存面积、生产速度及利润由下表4-2给出，每天可用的原料总量为2000吨，贮存间总面积为5000m2，该系统每天最多生产22小时，每天生产结束后，才将产品送到贮存间，假定四种产品占用原料、生产时间、贮存间等资源的时机平等，问A、B、C、D四种产品每天生产的桶数如何安排，才能使该系统每天的利润最大？制作人：方利国，苏嘉俊联系电话定变量(单位

51、均为桶/天):x1=A的产量; x2=B的产量; x3=C的产量; x4=D的产量.假设以利润J为经济指，目标函数为： maxJ= f(X)= 10 x1+13x2+9x3+11x4 约束条件：总原料约束 12342000贮存面积约束 12345000生产时间约束 x1/3000+x2/6000+x3/2000+x4/300022变量本身约束： x1、x2、x3、x4 0(原那么上应为大于等于零的整数，但由于数值较大，可作为连续变量来处理，最后优化结果会有微小的不同，不影响最优效果，如果数值较小，需采用以后介绍的混合整形规划MILP) 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话4

52、-2 生产过程各种数据产品（桶）ABCD 原料（吨/桶）0.2000.1800.1500.250贮存面积（m2/桶）0.40.50.40.3生产速度（桶/小时）3000600020003000利润（元/桶）1013911制作人：方利国，苏嘉俊联系电话例4-6】某炼油厂利用1号原油和2号原油炼制汽油、煤油、燃料油和残油，炼制过程的得率、加工费用、原料价格、产品价格见表4-3，如何安排，才能使该系统每天的利润最大？表4-3炼油厂原料和产品数据 产品名称得率（）最高产量（桶/d）产品价格（美元/桶）1号原油2号原油汽油煤油燃料油残油8051054410361024,0002

53、,0006,000无35242110加工费（美元/桶）0.501.00原油价格（美元/桶）2415制作人：方利国，苏嘉俊联系电话定变量(单位均为桶/天):x1=1号原油耗用量; x2=2号原油耗用量;x3=汽油产量;x4=煤油产量;x5=燃料油产量; x6=残油产量。 假设以利润J为经济指，目标函数为： maxJ f(X)=产值-原料费-加工费 产值=36x 3+24x4+21x5+10 x6 原料费=24x1+15x4 加工费1+x2 物料平衡约束条件:根据每个产品的得率(物料衡算)可列出4个等式约束 汽油 12=x3 煤油 12=x4 燃料油 12=x5 残油 1

54、2=x6制作人：方利国，苏嘉俊联系电话量约束：A:x312 24,000 B:x412 2,000 C:x512 6,000非零约束： x1 0 ； x2 0为减少变量数，可将上述等式约束方程代入目标函数,消去x3,x4,x5,x6, 得：产值12121212)12最后得到： 12制作人：方利国，苏嘉俊联系电话么整个优化问题可以用下面的数学模型表达： 12 12 2400012 200012 6000制作人：方利国，苏嘉俊联系电话合上面的例子，线性规划问题的一般形式为或写成向量形式：min f(X)=cTX . A1

55、X=b1 A2Xb2 X0 min f(X)=cTX . A1X=b1 A2Xb2 X0 (4-37) 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511282 2、线性规划的标准化、线性规划的标准化为了方便求解，对于线性规划问题一般都化成标准型，以便统一求解方法。对于线性规划的一般模型化成标准型一般有以下几个方面：1目标函数的转化 求最大值一律转化为求最小值2对于有“号的不等式引入松弛变量，使其变成等式约束3 对于有“号的不等式引入剩余变量，使其变成等式约束4对于“bj0那么化为：5对于变量无非负限制者，那么令： xi=xi*-xi*, xi*0, xi*0a xba xxbjiinijji

56、inisj11a xba xxbjiinijjiinisj11 a xbjiinij10制作人：方利国，苏嘉俊联系电话例4-7】：把下面线性规划的一般模型化成标准型max f=x1-x2 . 2x1-x2-2 x1-3x22 x1+x24 x10,x2无限制 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话：对照标准型，对上面的线性规划模型进行第一轮初步转化：min f1=-f=-x1+x2 . 2x1-x2-x3=-2 x1-3x2+x4=2 x1+x2+x5=4 x10,x2=x6-x7 最终标准化： min f 1=-x1+x6-x7 . -2x1+x3

57、+x6-x7 =2 x1+x4-3x6+3x7 =2 x1 +x5+ x6-x7=4 xi0, i=17 , i2 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511283 3、线性规划的单纯形求法、线性规划的单纯形求法J=x1+x2x1+x29x1+4x218J=x1+x2（6，3）x1+x29x1+4x218J=x1+2x2（6，3）图4-32-a 最优解在边界上图4-32-b 最优解在交点上图4-32-c 无最优解制作人：方利国，苏嘉俊联系电话例4-8】：求下面线性规划模型的最优解 min f=-7x1-12x2 . 3x1+10 x2+x3 =30 4x1+5

58、x2 +x4 =20 9x1+4x2 +x5 =36 xi0 ， i=15制作人：方利国，苏嘉俊联系电话：首先对目标函数进行改写： f+7x1+12x2=0 (1) 1 1取初始可行端点为取初始可行端点为X=(0,0,30,20,36)T, X=(0,0,30,20,36)T, 即即x1=0 x1=0，x2=0 x2=0，x3=30 x3=30，x4=20 x4=20，x5=36x5=36，此端点是一个可行端点，其中，此端点是一个可行端点，其中x1x1、x2x2是非基变量非基变量均为零，是非基变量非基变量均为零，x3x3、x4x4、x5x5是基变量基变是基变量基变量一

59、般不等于零，但也有等于零的情况出现，此时目标函数值量一般不等于零，但也有等于零的情况出现，此时目标函数值f=0f=0制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511282 2考虑端点的转移考虑端点的转移 ， 在在x1x1、x2x2两个非基两个非基变量中选其中一个作为基变量，同时在变量中选其中一个作为基变量，同时在x3x3、x4x4、x5x5三个基变量选其中一个为非基变量三个基变量选其中一个为非基变量x3=30-10 x20 x23 x4=20-5x20 x24 x5=36-4x20 x29 x2=3， x3=0， x4=5， x5=24 ， f=-36 1+x23 =34x113) +x4

60、=209x113)+x5 =36 f+7x113)=0 化简上面4个式子可得：1+x23 =313 + x4 =513 + x5 =2413 =-36 制作人：方利国，苏嘉俊联系电话 136222511283 3在新的端点的根底上再进行端点转移，和在新的端点的根底上再进行端点转移，和上面的端点转移一样，选目标函数中系数大者上面的端点转移一样，选目标函数中系数大者的变量为调入的基变量，选的变量为调入的基变量，选x1x1为调入基变量，为调入基变量，调出基变量那么要通过不等式计算而得：调出基变量那么要通过不等式计算而得： x210 x110 x410 x12 x510 x1 x1=2， x3=0 ，