第5章-放大电路分析 (5)

1、第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析1 1第第4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析 4.1 正弦信号的基本概念正弦信号的基本概念 4.2 正弦信号的相量表示正弦信号的相量表示4.3 基本元件基本元件VAR和基尔霍夫定律的相量形式和基尔霍夫定律的相量形式4.4 相量模型相量模型4.5 相量法分析相量法分析4.6 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7 谐振电路谐振电路4.8 三相电路三相电路第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析2 2第第4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析3 34.1 正弦信号的基本概念正弦信号的

2、基本概念 一个线性非时变电路在正弦信号的作用下，一个线性非时变电路在正弦信号的作用下，若其响应也是与输入同频率的正弦量，则称该电若其响应也是与输入同频率的正弦量，则称该电路处于正弦稳态，在工程上，正弦稳态电路常称路处于正弦稳态，在工程上，正弦稳态电路常称为交流电路为交流电路学习意义：学习意义：正弦交流电产生容易、便于控制和转换，正弦交流电产生容易、便于控制和转换，且可以远距离传输，故应用广泛；在电子产品、设且可以远距离传输，故应用广泛；在电子产品、设备研制、生产和性能测试过程中，会遇到正弦稳态备研制、生产和性能测试过程中，会遇到正弦稳态电路的分析设计问题；各种周期的非正弦信号也可电路的分析设计

3、问题；各种周期的非正弦信号也可分解为众多的正弦分量，正弦稳态分析是系统频率分解为众多的正弦分量，正弦稳态分析是系统频率分析的基础。分析的基础。第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析4 4 4.1 正弦电压与电流正弦电压与电流it i第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析5 54.1 正弦电压与电流正弦电压与电流 tIi sinmI Im m 2 Tit O第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析6 6fT22Tf1t O第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析7 7有效值：有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。电

4、的有效值。幅值：幅值：Im、Um、Em则有则有 TtiTI02d1dtRiT20RTI2 TttIT1022mdsin2mI 同理：同理：2mUU 2mEE 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析8 8 同样地，可求得正弦电压同样地，可求得正弦电压u=Umsin(t+u)的的有效值为有效值为:( )2 sin()( )2sin()iui tItu tUt 在电工技术中，通常用有效值表示交流电的在电工技术中，通常用有效值表示交流电的大小。例如交流电压大小。例如交流电压220V、交流电流、交流电流50A，其电，其电流电压值都是有效值。各种交流电气设备铭牌上流电压值都是有效值。各种交流电气

5、设备铭牌上标出的额定值及交流仪表的指示值也都是有效值。标出的额定值及交流仪表的指示值也都是有效值。第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析9 9 。 :4.1.3 初相位与相位差初相位与相位差t 交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值it )sin(mtIiO0()tt第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析1010)sin(1mtUu如：如：)()(21 tt21 若若021 uiu i tOm2sin()iIt第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析1111 9021 90021 02118021uitui Ouitui90Ou

6、ituiOtuiuiO第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析1212 不同频率的正弦量比较无意义。不同频率的正弦量比较无意义。 两同频率的正弦量之间的相位差为常数，两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关。与计时的选择起点无关。 ti2i1iO第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析1313 例例1 已知正弦电流已知正弦电流i1、i2和正弦电压和正弦电压u3分别为分别为 i1(t)=5sin(t+30)A i2(t)=-10sin(t+45)A U3(t)=15cos(t+60)V 试比较试比较i1与与i2、i1与与u3间的相位关系。间的相位关系。第第4 4

7、章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析1414 解：比较两个正弦信号的相位关系时，除要求它们的解：比较两个正弦信号的相位关系时，除要求它们的频率或角频率相同外，还应注意信号的函数类型为正弦函频率或角频率相同外，还应注意信号的函数类型为正弦函数，以及瞬时表达式前面负号对相位的影响。由于数，以及瞬时表达式前面负号对相位的影响。由于 i1(t)=5sin(t+30)A i2(t)=-10sin(t+45)=10sin (t-135) u3(t)=15cos(t+60)=15sin (t+150) 所以，所以，i1与与i2间的相位差为间的相位差为 12=30-(-135)=165 i1与与u3间的相位

8、差为间的相位差为 13=30-150=-120 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析1515 例例2 已知正弦电压源的频率为已知正弦电压源的频率为50Hz，初相为，初相为/6弧度，弧度，由交流电压表测得电源开路电压为由交流电压表测得电源开路电压为220V。求该电源电压的振。求该电源电压的振幅、角频率，并写出其瞬时值表达式。幅、角频率，并写出其瞬时值表达式。2250314/22220311mfrad sUUV电源电压瞬时值表达式为：电源电压瞬时值表达式为：( )sin()311sin(314)6muu tUttV解解 因为因为 f=50HZ,=/6(rad) ,所以所以:第第4 4章

9、章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析16164.2 正弦信号的相量表示正弦信号的相量表示 4.2.1 复数及其运算复数及其运算 在数学中，一个复数在数学中，一个复数A可以表示成可以表示成代数型代数型、指数型指数型或或极型极型，即，即 A=a1+ja2 (代数型代数型) =aej (指数型指数型) =a (极型极型)第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析1717 式中式中 为复数单位；为复数单位；a1和和a2分别为复数分别为复数A的的实部和虚部；实部和虚部；a和和分别是分别是A的模和辐角。复数的模和辐角。复数A也可以也可以表示为复平面上的一个点或由原点指向该点的有向线表示为复平面上的一

10、个点或由原点指向该点的有向线段段(矢量矢量)，如图所示。由图可知，复数代数型与指数型，如图所示。由图可知，复数代数型与指数型(或极型或极型)之间的转换关系为之间的转换关系为1j 221221arctanaaaaa(48) 和和 12Re cos sinaAaaFm Aa(49) 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析1818 两个复数相等时，其两个复数相等时，其实部实部和和虚部虚部分别相等，或分别相等，或模模和和辐角辐角分别相等。分别相等。 两个复数相加两个复数相加(减减)等于把它们的实部和虚部分别相等于把它们的实部和虚部分别相加加(减减)。例如，若。例如，若A=a1+ja2，B=b

11、1+jb2,则则 AB=(a1+ja2)(b1+jb2) =(a1b1)+j(a2b2) (410) 两个复数相乘两个复数相乘(除除)等于将它们的模相乘等于将它们的模相乘(除除)、辐角、辐角相加相加(减减)。例如，若：。例如，若： ,ABjjABAaeaBbeb()()ABABjABjABA BabeabAaaeBbb(411) 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析1919瞬时值表达式瞬时值表达式)sin(m tUu波形图波形图相量相量UU ut O第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析2020)(sinmtUu 设正弦量设正弦量:若若: :有向线段长度有向线段长度 =

12、mU有向线段以速度有向线段以速度 按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转则则: :该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。相应时刻正弦量的瞬时值。有向线段与横轴夹角有向线段与横轴夹角 = 初相位初相位 1u1tu0 xyOmUut O第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析2121+j+1Abar 0复数表示形式复数表示形式设设A为复数为复数:A =a + jbabarctan22bar复数的模复数的模复数的辐角复数的辐角式中式中:racosrbsin)sinj(cossinjcosrr rA由欧拉公式由欧拉公式:2jees

13、injj ,2eecosjj 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析2222 rAje sinjcosej 可得可得: )(sinmtUu设正弦量设正弦量:相量相量: 表示正弦量的复数称相量表示正弦量的复数称相量rrrjrbaA jesincosj rA UUeU j第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析2323)(sinmtIi？= 非正弦量不能用相量表示。非正弦量不能用相量表示。只有只有同频率同频率的正弦量才能画在同一相量图上。的正弦量才能画在同一相量图上。 IU UeUUmjmm 或：或：IeImjm 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析2424 模模用最

14、大值表示用最大值表示 ，则用符号：，则用符号：mmI U、 相量图相量图: 把相量表示在复平面的图形把相量表示在复平面的图形 实际应用中，模多采用有效值，符号：实际应用中，模多采用有效值，符号：I U、IU如：已知如：已知)V45(sin220 tuVe220j45m UVe2220j45 U则则或或)jsincos(ejUUUU 相量式相量式:第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析252590je 旋转旋转 90 90因子：因子：Bj90sinj90cosej90 rAje CA+1+jo 90je相量相量 乘以乘以 ， 将逆时针旋转将逆时针旋转90，得到，得到ABA -j90e相

15、量相量 乘以乘以 ， 将顺时针旋转将顺时针旋转90，得到，得到CAA第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析2626V452220 U？)V45(sin220 tuVe22045m U？)A30(sin24 t？Ae4j30 Ij45 )A60(sin10ti？V100 U？Ve100j15 U？ 2.已知：已知：A6010 IV15100 U第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析27271U 202U 452U1U 落后于落后于1U2U超前超前落后落后？V)45(sin21102tuV)20(sin22201tu+1+jV202201 UV451102 U第第4 4章章 正

16、弦稳态电路分析正弦稳态电路分析2828例例2: 已知已知)A60sinj60cos11()A30sinj30cos12.7( 有效值有效值 I =16.8 A)A 30 (314sin2.7 12 1ti )A 60 (314sin211 2ti。 iii21A) 10.9 314(sin216.8 ti求：求：A3012.7 1 IA60112 IA6011A3012.721 IIIA10.916.8j3.18)A-16.5( 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析2929例例3: 图示电路是三相四线制电源，图示电路是三相四线制电源， 已知三个电源的电压分别为：已知三个电源的电压分

17、别为：)V120(314sin2220BtuV314sin2220Atu )V120(314sin2220Ctu试求试求uAB ，并画出相量图。，并画出相量图。NCANB+-+AUBUCUABU解解:(1) 用相量法计算：用相量法计算： V0220A UV120220B UV120220C U第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析3030)V30(sin2380AB tu所所以以AUBUCUB-UABU30V120220V0220BAAB UUU V)120(sinj)120(cos220V220AB U)V0.866j0.51(220 V301.73220 V30380 第第4 4

18、章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析3131 例3 已知电压u1=4sin(t+60)V, u2=6sin(t+135)V和u3=8sin(t-60)V。 试写出各电压的振幅相量，并画出相量图。 解 设正弦电压u1、u2和u3的振幅相量分别为 123mmmUUU、,则 1234 606 135860omomomUVUVUV第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析3232图4.6 电压相量图 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析3333 例4 部分电路如图4.7(a)所示，已知 125 2sin(36.9 ) ,10 2sin(53.1 )ooitAitA试求电流i。图4.

19、7 例4图第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析3434 解 由已知条件可得1122536.910 53.1ooiIAiIA根据KCL，有 12iii 设正弦电流i的有效值相量为 ，则由线性和唯一性规则可得I12536.910 53.1(43)(68)10511.18 26.6oooIIIjjjA第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析3535 因此，正弦电流i的表达式为11.18 2sin(26.6 )oitA 各电流的有效值相量如图4.7(b)所示。图中清楚地反映了各相量之间模及幅角或各正弦量之间振幅及初相的关系。 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析3636

20、4.3.1 纯电阻电路纯电阻电路 下图所示为纯电阻电路图、相量模型图及电压电下图所示为纯电阻电路图、相量模型图及电压电流的向量图。流的向量图。4.3 基本元件基本元件VAR和基尔霍夫定律和基尔霍夫定律的相量形式的相量形式第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析37374.3 基本元件基本元件VAR和基尔霍夫定律和基尔霍夫定律的相量形式的相量形式 4.3.1 基本元件基本元件VAR的相量形式的相量形式 设电阻R的端电压与电流采用关联参考方向。当正弦电流为：( )2 sin()ii tIt第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析3838 通过电阻时，由欧姆定律可知电阻元件的端电压为

21、通过电阻时，由欧姆定律可知电阻元件的端电压为 u( )( )2sin()2sin()iu tRi tRItUt 式中式中U和和u是电压是电压u的有效值和初相。上式表明，电的有效值和初相。上式表明，电阻元件的电流、电压是同频率的正弦量，两者的有效值阻元件的电流、电压是同频率的正弦量，两者的有效值满足满足U=RI，而初相是相同的。，而初相是相同的。第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析3939图图4.8 电阻元件的电阻元件的i-u关系关系 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析4040 设正弦电流i和电压U对应的有效值相量分别为 和 ，即 , ，则对应的相量表达式为IUiIuU

22、URI 该式表明了电阻R的电流、电压相量关系，称为电阻元件VAR的相量形式。相量表示成指数型，可得uijjUeRIe第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析4141 按照复数相等定义，上式等号两边复数的模及幅角分别相等，即:.uijjuiURIUeRIe(426) 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析4242 按照向量形式画出的电阻元件模型如图按照向量形式画出的电阻元件模型如图4.9(a)所示。所示。它以相量形式的伏安关系描述它以相量形式的伏安关系描述电阻元件特性，故称为电阻元件特性，故称为相量模型。电阻元件电流、电压相量图如图相量模型。电阻元件电流、电压相量图如图4.9(

23、b)所示。所示。 图图4.9 电阻元件的电阻元件的 关系关系I U第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析43432、纯电感电路、纯电感电路 下图所示为纯电感的电路图、相量模型图及电压下图所示为纯电感的电路图、相量模型图及电压电流的相量图。电流的相量图。第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析4444 设电感设电感L的端电压与电流采用关联参考方向，如图的端电压与电流采用关联参考方向，如图 (a)所示。当正弦电流所示。当正弦电流:( )2 sin()ii tIt通过电感时，其端电压为通过电感时，其端电压为 ：( )( )2cos()2sin(90 )2sin()ioiudi tu

24、 tLLItdtLItUt2、纯电感电路、纯电感电路第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析4545 正弦电路中电感元件的正弦电路中电感元件的VCR：（1 1）电压、电流为同频率的正弦量；）电压、电流为同频率的正弦量；（2 2）电压与电流间有效值关系：）电压与电流间有效值关系：（3 3）电压与电流的相位关系：）电压与电流的相位关系： 。o90ui( )( )2cos()2sin(90 )2sin()ioiudi tu tLLItdtLItUtULI第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析4646若设电感电流、电压与有效值相量的对应关系为:( )2 sin()( )2sin()i

25、ujijui tItIIeu tUtUUe 则根据4.2节中的微分、线性和唯一性规则，可得式(427)的相量表达式为Uj LI(428) 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析4747 该式称为电感元件VAR的相量形式。它同时体现了电感电流、电压之间的有效值关系和相位关系。因为:(90 )ouiijjjUej LIeLIe 根据两复数相等的定义，可得90ouiULI(429) (430) Uj LIVAR的相量形式第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析4848图4.10 电感元件的i-U关系 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析4949图4.11 电感元件的 关

26、系 I U第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析5050例例: 纯电感电路中，电压、电流为关联方向。已知纯电感电路中，电压、电流为关联方向。已知uL（t）= 311sin（100t + 60o）V，L = 2H，求电感电流，求电感电流iL（t）并画出相）并画出相量图。量图。解解: 由于电压由于电压u uL L与电流与电流i iL L为参考方向一致，由已知得到：为参考方向一致，由已知得到：oo60220602311LU根据电感元件根据电感元件VCRVCR的相量关系式可得：的相量关系式可得：oooo220 60220 601 130 Vjj200200 90LUIL 所以解析式为所以解析

27、式为A)30100sin(211)(oLttiLLUjL I第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析5151相量图如右图所示。相量图如右图所示。第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析52523、电容元件、电容元件 下图所示为纯电容的电路图、相量模型图及电压下图所示为纯电容的电路图、相量模型图及电压电流的相量图。电流的相量图。第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析5353 设电容元件C，其电压、电流采用关联参考方向，如图所示。当电容端电压为u(t)= Usin(t+u)时，通过电容C的电流为:2( )2cos()2sin(90 )2 sin()uouudui tCCU

28、tdtCUtIt(431) 3、电容元件、电容元件第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析5454 正弦电路中电容元件的正弦电路中电容元件的VCR：（1 1）电压、电流为同频率的正弦量；）电压、电流为同频率的正弦量；（2 2）电压与电流间有效值关系：）电压与电流间有效值关系： 。 1UIC（3 3）电压与电流的相位关系：）电压与电流的相位关系： 。o90ui第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析5555 如果电容电压、电流与相量之间的对应关系为 ( )2sin()( )2 sin()uijujiu tUtUUei tItIIe 则由4.2节中的微分、线性和唯一性规则，可得式(

29、431)的相量表示式 11Ij CUUIjIj CC (432) (433)第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析5656 式(432)和(433)称为电容元件VAR的相量形式。若将式(433)中的电流、电压相量表示成指数型，即(90 )11ouiijjjUejIeIeCC 则由复数相等定义，可得 1UIC(434) 和 90oui(435) 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析5757 式(434)表明，对于给定的电容C，当U一定时，高，电容进行充放电的速率快，单位时间内移动的电荷量大，故I就大，表示电流容易通过。反之，低，电流将不容易通过。在直流情况下，=0,I=0，

30、电容相当于开路，所以，电容元件具有隔直流的作用。由式(435)可知，电容电压的相位滞后电流90。根据式(433)画出电容元件的相量模型如图4.13(a)所示。电容中电流、电压的相量图如图4.13(b)所示。1UIC90oui第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析5858图4.13 电容元件的 关系I U第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析5959例题：电容电压例题：电容电压uC和电流和电流iC参考方向关联一致，已知：参考方向关联一致，已知： ， 。 频率频率f = 50 Hz，求，求电容电容CV30220oCUA6011oCI解：oo122030200j 1 1 60jC

31、CUCI 求得求得111200200 22 3 14 50 200Cf F915F109156CCIjC U第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析6060 4.3.2 KCL、KVL的相量形式的相量形式 KCL指出：对于集总参数电路中的任意节点，在任一时刻，流出(或流入)该节点的所有支路电流的代数和恒为零。在正弦稳态电路中，各支路电流都是同频率的正弦量，只是振幅和初相不同，其KCL可表示为11sin()0nnkkmkikkiIt(436) 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析6161 式中n为汇于节点的支路数，ik为第k条支路的电流。设正弦电流ik对应的相量为 ,即 km

32、Isin()kijkmkkmkikmiItII e 根据4.2节线性规则和唯一性规则，可得式(436)对应的相量关系表示为 1100nnkmkkkII或 (437) 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析6262 这就是KCL的相量形式。它表明，在正弦稳态电路中，对任一节点，各支路电流相量的代数和恒为零。 同理，对于正弦稳态电路中的任一回路，KVL的相量形式为1100nnkmkkkUU(4)或 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析6363 例5 电路如图4.14(a)所示。已知R=5，L=5mH, C=100F，Uab(t)= sin103tV。求电压源电压us(t)，并

33、画出各元件电流、电压的相量图。10 2图4.14 例5用图 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析6464 解 电压Uab的有效值相量为 333610 0105 105111010100 10abULC 根据R、C元件VAR的相量形式，得 10 02510 01(1/)10oabRoabCUIARUIj AjCj第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析6565 由KCL得 212.24 26.6oLRCIIIjA由电感元件VAR相量形式，求得 11.2 116.610 0( 5.0110.01)104.9910.0111.18 63.5oosLaboUUUjjV 52.24

34、26.611.2 116.6ooLLUj LIjV根据KVL，可得电压源电压 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析6666 所以 3( )11.18 2sin(1063.5 )osu ttV各元件电流、电压相量图如图(b)所示。第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析67674.4 相量模型相量模型 4.4.1 阻抗与导纳 由上节讨论可知，在电流、电压采用关联参考方向的条件下，三种基本元件VAR的相量形式相量形式是1,URIUj LIUIj C(439)如用振幅相量表示，则为:1,mmmmmmURIUj LIUIj C(440) 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路

35、分析6868 下面我们讨论正弦稳态时一般无源二端电路VAR的相量表示。 设无源二端电路如图4.15(a)所示，在正弦稳态情况下，端口电流 和电压 采用关联参考方向。我们定义无源二端电路端口电压相量与电流相量之比为该电路的阻抗: IUmmUUZII(441) 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析6969 显然，阻抗的量纲为欧姆()。将式(441)中的相量表示成指数型，可得()cossinuuizijjjjzzUUeUZeZ eIeIIZj ZRjX(442) 式中R和X分别称为阻抗的电阻电阻和电抗电抗；|Z|和z分别称为阻抗的模模和阻抗角阻抗角。它们之间的转换关系为:cossinzz

36、RZXZ22arctanzuiUZRXIXR(443) 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析7070 式(443)表明，无源二端电路的阻抗模等于端口电压与端口电流的有效值之比，阻抗角等于电压与电流的相位差。若z0,表示电压超前电流，电路呈电感性；z0，电压滞后电流，电路呈电容性；z=0时，电抗为零，电压与电流同相，电路呈电阻性。 mmUZ IUZ I(444) 或 将式(441)改写为振幅向量：22arctanzuiUZRXIXR(443) 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析7171 上式与电阻电路中的欧姆定律相似，故称为欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式。根据式(

37、444)画出的相量模型如图4.15(b)所示。11RLLCCZRZj LjXZjjXj CC (445) 1,URIUj LIUIj CmmUZ IUZ I或 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析7272 它们是阻抗的特殊形式。其中1LCXLXC (446) 上式中XL是电感的电抗电感的电抗，XC是电容的电抗电容的电抗，分别简称为感抗感抗和容抗容抗。它们随角频率变化的曲线如图4.16(a)、(b)所示，分别称为XL和XC的频率特性曲线。第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析7373图4.16 XL和XC的频率特性曲线第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析7474

38、 我们把阻抗的倒数定义为导纳导纳，记为Y，即:1YZ(447) 或mmIIYUU(448) 导纳的量纲为西门子西门子(S)。同样将上式中的电流、电压相量表示成指数型，可得:()cossiniyiuujjjjyyIIeIYeY eUeUUYj YGjB(450) 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析7575 将式(448)改写为 mmIYUIYU或 (451) 该式也常称为欧姆定律的相量形式。它的相量模型如图4.15(c)所示。比较式(440)与(451)可知，元件R、L和C的导纳分别为111RLLCCYGRYjjBj LLYj CjB (452) 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正

39、弦稳态电路分析7676式中 1LCBLBC (453) 称为感纳和容纳第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析7777 4.4.2 正弦电源相量模型正弦电源相量模型 如果一个独立电压源Us(t)的输出电压为正弦电压，即( )2sin()ssuu tUt 就称其为正弦电压源正弦电压源。式中Us、和u分别为正弦电压us的有效值、角有效值、角频率和初相频率和初相。 图4.17 正弦电源的相量模型 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析7878 同样，如果一个独立电流源is(t)的输出电流为正弦电流，即( )2sin()ssii tIt 就称它为正弦电流源正弦电流源。上式中Is、和i

40、分别表示正弦电流的有效值、角频率和初相有效值、角频率和初相。正弦电流源的相量模型如图4.17(b)所示，图中 为正弦电流is对应的有效值相量，箭头方向表示其参考方向。 sI图4.17 正弦电源的相量模型 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析7979 通常，把正弦电压源和正弦电流源统称为正弦独立源，或简称为正弦电源。 对于受控电源，应用与正弦电源类似的定义方法，可以得到正弦稳态情况下的正弦受控源，这里不再一一赘述，仅给出它们的相量模型如图4.18所示。第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析8080图4.18 正弦受控源的相量模型 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路

41、分析8181图4.18 正弦受控源的相量模型 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析8282 4.4.3 正弦稳态电路相量模型 在前面几章使用的电路模型中，涉及的电流和电压都是时间域变量时间域变量，故称为时域模型时域模型。在正弦稳态情况下，如果把时域模型中的电源元件用相量模型代替，无源元件用阻抗或导纳阻抗或导纳代替，电流、电压均用相量表示(其参考方向与原电路相同)，这样得到的电路模型称为相量模型相量模型。例如，对于图4.19(a)给出的正弦稳态电路(时域模型)，设正弦电压源角频率为，其相量模型如图4.19(b)所示。容易看出，相量模型与时域模型具有相同的电路结构。第第4 4章章 正弦

42、稳态电路分析正弦稳态电路分析8383图4.19 时域模型和相量模型 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析8484 4.4.4 阻抗和导纳的串、并联阻抗和导纳的串、并联ZIZZZIUUUUnn)(2121UZZUii分压公式分压公式nknkkkkjXRZZ11)(阻抗的串联阻抗的串联Z1+Z2ZnUIZ+- -UI第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析8585nknkkkkBGYY11)j(分流公式分流公式IYYIii导纳的并联导纳的并联YUYYYUIIIInn)(2121Y1+Y2YnUIY+- -UI第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析8686 4.4.4

43、阻抗和导纳的串、并联阻抗和导纳的串、并联 下面给出阻抗和导纳串、并联的有关结论，其证明方法与电阻电路相似。设阻抗Z1=R1+jX1, Z2=R2+jX2;导纳Y1=G1+jB1, Y2=G2+jB2。则当两个阻抗Z1和Z2串联时，其等效阻抗Z为 Z=Z1+Z2=(R1+R2)+j(X1+X2) (454) 分压公式为12121212ZZUUUUZZZZ(455) 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析8787 式中 为两个串联阻抗的总电压相量。 当两个导纳Y1和Y2并联时，其等效导纳Y为 Y=Y1+Y2=(G1+G2)+j(B1+B2) (456) 分流公式为U12121212YYI

44、IIIYYYY(457) 式中 为通过并联导纳的总电流相量。 当两个阻抗Z1、Z2相并联时，它的等效阻抗Z为I1212Z ZZZZ(458) 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析8888其分流公式为 21121212ZZIIIIZZZZ(459) 对于同一无源电路，我们既可以把它等效成由电阻R和电抗X串联组成的阻抗Z，如图(b)所示；也可以将它等效成由电导G和电纳B并联组成的导纳Y，如图(c)所示。 图4.20 阻抗与导纳的等效转换第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析8989 显然，阻抗Z与导纳Y也是互为等效的，R、X与G、B之间满足一定的转换关系。若将阻抗等效转换为导

45、纳，由式(447)可得222211RXYjGjBZRjXRXRX式中 2222RXGBRXRX(460) 同样地，将导纳等效转换为阻抗时，有 222211GBZjRjXYGjBGBGB第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析9090式中 2222GBRXGBGB(461) 图4.21 例6电路 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析9191 例6 RC串联电路如图4.21(a)所示，已知R=20，C=2F,电源角频率=104Rad/s。要求将它等效成RC并联电路，如图(b)所示，试求R和C。 解 先计算图(a)电路的阻抗。因为461150102 10205053.8568.2

46、CoCXCZRjXj 该电路的导纳为 331118.6 1068.2(6.9 100.017)53.8568.2ooYjSZ第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析9292即 316.9 100.01711451.7GSRBCSRGBCF于是 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析9393 例7 如图4.22(a)电路，已知r=10，L=50mH, R=50，C=20F,电源us(t)=100 sin(103t)V。求电路的等效阻抗和各支路的电流，并画出电流相量图。23610001000501050115010002010osLCUVjXjLjjjXjjjC 解 电压源相量和

47、jXL、jXC分别为：第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析9494 电路的相量模型如图(b)所示。 设r、L串联支路的阻抗为ZrL,R、C并联电路的阻抗为ZRC,可得105050(50)35.364525255050rLLoCRCCZrjXjR jXjZjRjXj电路总阻抗Z为(1050)(2525)352543 35.4oeLRCZZZjjj第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析9595 电路总电流 100 02.3335.443 35.4osooUIAZ由并联电路分流公式，求得R、C支路电流 502.3335.41.6580.45050502.3335.41.65 9

48、.65050ooCRCooCCjXjIIARjXjRIIARjXj第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析9696图4.23 电流相量图 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析97974.6 4.6 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析电阻电路与正弦电流电路的分析比较：电阻电路与正弦电流电路的分析比较：GuiRiuui 0 :KVL 0 :KCL 或或 : :元件约束关系元件约束关系: :电阻电路电阻电路 0 :KVL 0 :KCL UYIIZUUI或或 : :元件约束关系元件约束关系: :正弦电路相量分析正弦电路相量分析第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析989

49、81.1.引入相量法，引入相量法，电阻电路和正弦电流电路依据电阻电路和正弦电流电路依据的电路定律是相似的。的电路定律是相似的。结论2.2.引入电路的相量模型，把列写时域微分方引入电路的相量模型，把列写时域微分方程转为直接列写相量形式的代数方程。程转为直接列写相量形式的代数方程。3.3.引入阻抗以后，可将引入阻抗以后，可将电阻电路中讨论的电阻电路中讨论的所有所有网络定理和分析方法都网络定理和分析方法都推广推广应用于应用于正弦稳态正弦稳态的相量分析中。的相量分析中。直流直流（f =0)是一个特例。是一个特例。第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析99994.5 相量法分析相量法分析 例8

50、 节点法。电路的相量模型如图4.24所示， 求各节点的电压向量 图4.24 例8电路 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析100100 解解 电路中含有一个独立电压源支路，可选择连接该支电路中含有一个独立电压源支路，可选择连接该支路的节点路的节点4为参考点，这时节点为参考点，这时节点1的电位的电位 是一已知量，从而用节点法分析时可少列一个方程。设节是一已知量，从而用节点法分析时可少列一个方程。设节点点2、3的电位为的电位为 ，列出相应的节点方程为：，列出相应的节点方程为：13 0osUU 34UU、12323111110222(1)(1)1112.5 0(1)4(1)oUUUjjj

51、UUjj节点节点2: 节点节点3: 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析101101 将 代入节点2方程，并整理得13 0osUU 2323(11)234(14)10j Uj Uj UjU 计算方程组的系数行列式112557.11354(14)ojjAjjj 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析102102故解得 2332132.1495.44.53 39.610(14)113124.17114.43.40 20.6410ooojUVjAAjUVjAA第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析103103 例9 网孔法。电路如图4.25(a)所示，已知 us=10

52、 sin103tV,求电流i1、i2和电压uab。2 图4.25 例9电路 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析10410412123(34)410 04( 42)2ojIj Ij IjjII 解 画出电路相量模型如图(b)所示。图中3336104 10411210500 10LCZj LjjZjjj C 设网孔电流 如图(b)所示。将电路中受控源看成大小为 的独立电压源，列出网孔方程12II、32I网孔1: 网孔2: (462) (463) 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析105105 由于受控源控制变量 未知，故需增加一个辅助方程 3I312III(464) 将

53、该式代入式(463)，整理后与式(462)联列成如下方程组 1212(34)410 0(24)( 22)0ojIj IjIjI (465) 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析106106由于 12344262422104202002234102040240jjAjjjjAjjjAjj 故式(465)方程组解为 1120204.4763.426oAjIAAj第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析107107 电感支路电流2220407.07 4526oAjIAAj3124.4763.47.07 45(24)(55)313.16161.6oooIIIjjjA 第第4 4章章

54、 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析108108 电感支路电压344 3.16161.612.6471.6ooabUj IjV因此 313234.47 2sin(1063.4 )7.07 2sin(1045 )12.64 2sin(1071.6 )oooabitAitAutV第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析109109 例10 等效电源定理。电路相量模型如图4.26(a)所示 ，求负载电阻RL上的电压 。LU 图4.26 例10电路 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析110110 图4.26 例10电路 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析111111

55、解 将负载RL断开，电路如图(b)所示。由于电阻与电容的并联阻抗为：10 (5)4.4663.424105RCjZjj 故开路电压与等效内阻抗分别为 4.4663.410 044.663.4(24)20216ooosocRCoRCLUZIVZZZjjj画出戴维南等效电路如图(c)所示。由图求得 1044.663.422.3116.5(216) 10ooLLocoLRUUVZRj第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析112112 例11 交流电桥工作原理。图4.27(a)是交流电桥的组成电路，a、b端接正弦电源 ,c、d端接平衡指示器毫伏表，阻抗Z1、Z2、Z3和Zx是电桥的四个臂。电

56、桥工作时，调整桥臂阻抗，若毫伏表指示为零，称电桥平衡。利用电桥平衡条件，可以用来测量阻抗参数。 断开毫伏表支路，则其余部分电路是一单口电路，如图4.27(b)所示。在外接电压源 作用下，开路电压:sUsU2312123123()()()xxocssxxZZ ZZ ZZUUUZZZZZZZZ(466) 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析113113图4.27 交流电桥 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析114114 根据等效电源定理，若 ,则连接毫伏表支路后，毫伏表指示为零，此时电桥平衡。由式(466)可知，电桥平衡条件是0ocU231xZ ZZ Z(467) 或表示

57、为 231xZ ZZZ(468) 第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析115115 式(467)是一复数方程，它包含了两个条件，即要求方程两端的实部和虚部(或模和辐角)同时相等。因此，实际使用时，至少应调节两个元件参数才能使电桥达到平衡。 适当选择桥臂阻抗性质，可得到不同测量用途的电桥。例如，图4.27(c)所示电桥，常用来测量电感元件参数，称为麦克斯韦电桥。其中Rx和Lx表示待测电感元件的等效电阻和电感量。R2和R3为电阻元件，其阻值已知，R1和C1为调节元件。将各元件参数代入式(468),得：2323 1231111()xxR Rrj LR RYR Rj CZR第第4 4章章

58、正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析116116 根据复数相等定义，可得 231231xxR RrRLR R C(469) 使用时，将待测电感接入ZX支路，反复调整R1和C1，使毫伏表指示为零，此时电桥平衡，读出R1和C1值并由式(469)计算出电感元件的电感量和等效电阻。第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析117117例例12画出电路的相量模型画出电路的相量模型7 .175 .1049901047.31847.318j1000)47.318j(10001j)1j(3111CRCRZ,rad/s314,V100,F10,mH500,10,100021UCLRR求求: :各支路电流。各支

59、路电流。已知：已知：解解R2+_Li1i2i3R1CuZ1Z2U1I2I3IC1jLjR2+_R1第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析118118157j10j22LRZ3 .5299.166 13.132j11.102 157j1013.289j11.92 21ZZZ13.28911.923 .7245.0331jZZ1Z2U1I2I3IC1jLjR2+_R1第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析119119A3 .526 . 03 .5299.16601001ZUIA20181. 0 3 .526 . 07 .175 .104947.318j1j1j112ICRCIA

60、7057. 03 .526 . 07 .175 .10491000 1j1113ICRRIZ1Z2U1I2I3IC1jLjR2+_R1第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析120120SILj1-jCSU+_R1R2R3R4列写电路的回路电流方程和结点电压方程列写电路的回路电流方程和结点电压方程例例13解解1I2I4I3I回路方程回路方程SUIRILRILRR3221121)j()j(0)j()j(33112431IRILRILRRR2332 13 2411(-j)j0RRIR IR IICCSII4+_susiLR1R2R3R4C第第4 4章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析12