三次函数的所有题型

1、三次函数的基本题型由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三12bx cx d (a 0)判别式为：=牝2 12ac 4(b2 3ac),设 f/(x)0的两根为xi、X2,结合函数草图易得:(2)(4)说明：(1)(2)3ac3ac3ac3acf(X)0,则 f(x)0,且 f(Xi)0,且 f(Xi)0,且 f(Xi)0恰有一个实根;f(X2)f(X2)f (X2)0,则 f(x)0,则 f(X)0,则 f(X)0含有一个实根的充要条件是曲线0恰有一个实根;0有两个不相等的实根;0有三个不相等的实根.y f(x)与x轴只相交一次，即f (x)在

2、R上为单3次函数为例来研究根的情况，设三次函数f (x) ax其导函数为二次函数：f/(x) 3ax2 2bx c(a 0),b2 3ac 0,且 f (x1) f(x2) 0)；调函数(或两极值同号)，所以b2 3ac 0 (或f (X)与X轴有两个公共点且其中之一为切点，所以2b 3ac 0,且 f(x1) f (x2) 0；(4) f(X) 0有三个不相等的实根的充要条件是曲线y f (x)与x轴有三个公共点，即f(x)有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以b2 3ac0且 f(Xi) f(X2) 0.例题1 :设函数f (X) =2x -3x+ 1 ,求函数f (X)的单调区间。

3、【变式1 :设函数f (x) =2x -3x + m ,求函数f (X)的单调区间。【变式2】:设函数f (x) =1x3 + 3x2 + mx+ 1,求函数f (x)的单调区间。【变式3】:设函数f (x) =mx2 + x+1在x (-8, +oo)为单调函数，求 m的取值范围。1 312【变式4】：设函数f (x) =x + (m+1)x + mx+1 ,求函数f(x)的单倜区间。 32、，1312，一，、【变式5】：设函数f (x)=一mx3+(m+1)x2+x+c,求函数f(x)的单调区间。 32、，-1312，一，、【变式6】：设函数f(x) -mx3 -x2 x c,求函数f(x

4、)的单调区间。32【例题2】：设函数f (x)132-x x 3x 1 ,求f(x)的极值。3132【例题3】：设函数f(x) -x x 3x 1 ,求f(x)在0,4的最值。 3【变式1】：【2005高考北京文第19题改编】 已知函数f(x)= x3+3x2+9x+a,若f(x)在区间2, 2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值. 23【变式2】：【2012 4考北与.又第19题改编】已知函数 f (x) ax 1(a 0) , g(x) x bx。当a 3,b9时，若函数f (x) g(x)在区间k,2上的最大值为28 ,求k的取值范围。1 3【例题4】：设函数f(x) -x 32x

5、3x 1 , f (x)在0,4的满足f (x)c恒成立，求c的取值氾围。、1【变式】：设函数f (x) - x23x 1, f (x)在0,4的满足f (x) c恒成立，求c的取值范围。3【例题5】：【2014局考北东又第20题改编】已知函数f(x) 2x 3x .右过点P(1,t)存在3条直线与曲线y f(x)相切，求t的取值范围；【变式】3(1)已知函数f(x) 2x 3x.若过点P(1,t)存在2条直线与y f(x)相切，求t的取值范围；3(2)已知函数f (x) 2x 3x.若过点P(1,t)存在1条直线与y f(x)相切，求t的取值范围(3)问过点A(1, 2), B(2, 10)

6、, C(0, 2)分别存在几条直线与曲线y = f(x)相切？1 32【变式】：已知函数f(x)= - x ax b在x2处有极值.3(I )求函数f(x)的单调区间；(n)若函数f(x)在区间-3,3上有且仅有一个零点，求 b的取值范围。3【例题6】：设f(x) x - a 1 x 3ax 1 .右函数f (x)在区间1 , 4内单倜递减，求a的取值氾围；21322【变式】已知函数f(x) -x mx 3mx 1 (m 0).若函数f(x)在区间(2m 1,m 1)上单倜递3增，求实数m的取值范围.【例题7】已知函数f (x) 1 x3 ax2 (a2 1)x b(a ,b R)当a 0时，

7、若f (x)在区间(1,1)上不单调, 3求a的取值范围.例题8 f (x)1312a ,2 一x -x 2ax 右f (x)在(一，)上存在单倜递增区间，求 a的取值氾围;323【例题9】已知函数f(x)2 32-x3 2x2 (2 a)x 1 ,其中a 0 .求f (x)在区间2,3上的最小值.3答案:1 °【例题1】：设函数f (x) = -x + x -3x+ 1 ,求函数f (x)的单倜区间。 3 2_解析：f(x)的定义域为R, f(x)=x+2x-3f (x)= x2+2x-3> 0? x (-许-3)或(1, + 8)，此时为f(x)的单调递增区间；f (x)=

8、 x2+ 2x-3< 0? x(-3,1),此时为f(x)的单调递减区间。132【变式1】：设函数f (x)= x + x -3x+m,求函数f(x)的单调区间。 3解析：f (x)的定义域为R, f (x) = x2 + 2x - 3f (x) = x2+ 2x-3> 0? x G (-许-3)或(1, + °°)，此时为f(x)的单调递增区间；f (x)= x2+ 2x-3< 0? x (-3,1),此时为f(x)的单调递减区间。【老吴帮你解后反思】：变式1与例题的区别在于把三次函数的常数项换成参数m，但是不影响函数的单调性。1 Q 。 【变式2】：设

9、函数f (x)= -x + x + mx+ 1,求函数f (x)的单倜区间。, 一 ，、一 、一一 - , 、2 一解析：依题息可得f (x) x 2x m24 4m 0即m 1时，x2 2x m 0恒成立，故f (x) 0 ,所以函数f (x)在R上单调递增4 4m 0 即 m 1 时,f (x) x2 2x m 0有两个相异实根x1 为 x2,故 f (x) x2 2x m 0 ? x (24 4m21 .1 m x21 Qmx ( 1 J,),此时为 f (x)的单调递增区间；f (x)x2 2x m 0? x1 m),此时为f (x)的单调递减区间。综上可知，当 m 1时，函数f(x)

10、在R上单调递增；当m 1时,x ( , 1 V1 mMx ( 15m,)单调递增，x ( 147，1 «)单调递减。【老吴帮你解后反思：函数求导后为常数项未知的二次函数，不能确定二次函数与图像的交点个数，即二次方程的跟，所以要讨论 A的正负。132【变式3】：设函数f (x)= -x + mx +x+1在x (-00, +oo)为单倜函数，求 m的取值氾围。32解析：依题意可得f (x) x 2mx 1 , 4m 4 0，1 m 1所以m 1,1。【老吴帮你解后反思 】：1、单调函数为在定义域范围内为增函数或减函数;2函数求导后为含参数的二次函数，二次函数图像开口向上，所以只能满足x

11、 C (-8, +8)上f (x) 0,所以要A<0 。_ 1312【变式4】：设函数f (x) =x + (m+1)x + mx+1 ,求函数f(x)的单倜区间。322解析：依题息可得f (x) x (m 1)x m (x m)(x 1),令 f (x) = 0 , x1m,x21 ,(1)m > 1, x2 > x1 ,即(，m)或 (-1，+ )为单调递增，(-m，-1)为单调递减；(2) m=1, x2 = x1，即f'(x)0,所以函数f (x)在R上单调递增(3) m<1, x2< x1,即(-，1域(-m，)为单调递增，(-1，-m)为单调递

12、减;【老吴帮你解后反思】：由于m的不确定性，不能确定两根的大小，所以要进行分类讨论，很多同学不知道分类讨论的分界点是什么，遇到这种能够直接可以因式分解的，讨论的分界点即为两根相等时求出的参数值，所以此题分类讨论的分界点为m=1,m>1,m<1, 【变式2】因为不能因式分解，不能确定方程有根 无根，所以要讨论A的正负。131， 八 2【变式5】：设函数f (x)= _mx + (m+1)x + x+ c,求函数f (x)的单倜区间。322解析：依题息可得 f (x) mx (m 1)x 1 (mx 1)(x 1),（1）m=0, f （x） x 1,所以函数f（x）在（-，.单调递减

13、，在（-1，）单调递增;2(2) m w0, f (x) mx (m 1)x 1x1(mx 1)(x 1)=0,1,x2,、11(, 1)或(-,)( 1,)m<0,x2> x1,m单调递减，m单调递增;(0< m< 1, x2 < x1 ,1 .1.一减（-1，）（ 一, 1）m单调递增，m单调递减;m=1, x2=x1,所以在R上为单调递增;（,1或（, ）（ 1, 一）m>1,x2>x1,m单调递增，m单调递减;1. .1.（,1成（-,）（ 1,）综上可知，m<0,m单调递减，m单调递增;m=0, ，（-，1）单调递减，在（-1，）单调递

14、增；1 1（,一）或（-1, ）（ 一, 1）0Vm<1,m单调递增，m单调递减;m=1,所以在R上为单调递增;1. .1 .(,1)或(-,)( 1,)m>1,m单调递增，m单调递减;【老吴帮你解后反思：这道题目与【变式 4】区别在于，最高次前边的系数不能确定，所以讨论的第个分界点为m=0 ,然后在讨论两个根的大小，但是一定注意导函数图像的开口方向，这是易错点。【变式6】：设函数,、131 2f (x)= 一mx + x + x+ c,求函数f (x)的单倜区间。32提示：求导后，分析二次函数的最高哥系数不确定，所以要讨论m与0的关系，在 mW0的情况下，讨论A的正负。_1 32

15、f(x)-x3 x2 3x 1 一、【例题2】：设函数3,求f(x)的极值。22附图:f(x)【例题3】：设函数1-x x3解析：定义域为xR,依据题意可知解析：定义域为x R，依据题意可知f (x) x 2x 3,令f(x) x 2x 3 0, x11,x2 3x(,1)-1(1,3)3(3,)f (x)f (x) >00f (x) <00f (x) >0f(x)单调递增极大值f( 1) 83单调递减极小值f(3)8单调递增3x 1 一、,求f (x)在0,4的最值。-2_2_f (X) x2x 3 令 f (x) x 2x 3 0x0(0,3)3(3,4)4f (x)f

16、(x) <00f (x)>0f(x)f(0) 1单调递减极小值f(3)8单调递增f(4) r3X2通过表格可以发现，最大值为f (0) 1,最小值f8x11 (舍)【老吴帮你解后反思】：本题主要注意求出 导数值为零点时，x11不在给定范围。-7 1附图：【变式1】：【2005高.考北京.文第19题改编】 已知函数f(x)= x【变式2】：【2012断考北与 女第19题改编】已知函数 f (x) ax 1(a0) , g(x)xbx。+3x. ,、3.+9x+a,若f(x)在区间2, 2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.2解析：依据题意，f (x) 3x 6x 9, f(x)

17、 0, x11,x2 3 (舍)x-2(2, 1)-1(1,2)2f (x)f (x)<00f (x)>0f(x)f ( 2) 2 a单调递减f( 1)5 a单调递增f (2) 22 a由表可知f(x)的最大值为f(2) 22 a=20 ,所以a=-2. f(x)的最小值为f( 1) 5 a=-7.当a 3,b9时，若函数f(x) g(x)在区间k,2上的最大值为28 ,求k的取值范围。322解析：依据题意，h(x) "x) g(x) x 3x 9x 1 , h (x) 3x 6x 9, h (x) 0,xi 1,x23x(,3)-3(3,1)-1(1,2)2f (x)f

18、 (x)>00f(x)<00f (x) >0f(x)单调递增极大值f( 3) 28单调递减极小值f( 1) 12单调递增f(2) 3结合函数单调性可知，要使h(x)最大彳1为28,必须使k 3。【老吴帮你解后反思：在解决函数问题时，一定要结合函数的单调区间及极值大致绘出函数图像(如下图)，通过图像一目了然就可以观察出k 3。f(x) 1x3【例题4】：设函数3,f(x)在0,4的满足 f(x)口值成立，求c的取值范围。221解析：定义域为x R,依据题意可知f (x) x2x 3,令f (x) x 2x 3 0x0(0,3)3(3,4)4f (x)f (x) <00f

19、(x) >0f(x)f(0) 1单调递减极小值f(3)8单调递增f(4) 3Xix21 (舍)3通过表格可以发现，最大值为f(0) 1,最小值f8在0,4的满足f(x) c恒成立，必须使c 1.1 32f(x) x3 x2 3x 1【变式】：设函数 3, f(x)在0,4的满足f(x) c恒成立，求c的取值范围。221解析：定义域为x R,依据题意可知f (x) x 2x 3,令f (x) x 2x 3 0x0(0,3)3(3,4)4f(x)f (x) <00f (x)>0f(x)f(0) 1单调递减极小值f(3)8单调递增7 f(4)-3x11 (舍)x2 3通过表格可以发

20、现，最大值为f(0) 1,最小值f8在0,4的满足f(x) c恒成立，必须使c 8.【老吴帮你解后反思】：此类题目为恒成立问题，可以总结为f(x)c恒成立，满足fmin(x) c；f(x)恒成立，满足fmax(x) co3【例题5】：【2014局考北京又第20题改编】已知函数f(x) 2x 3x.若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y f(x)相切，求t的取值范围；方法<2）设过点P（1，t）的直栽与曲线F =/（K）相切于点（壬.力1则y- = 2-3x:.i且切鞋斜率为女=6三，-三，所以切线方程为>一*, =（6三“-0-9，因此/_此=（6对:一3）Q_/）,整理津；4x-

21、6-+1+30,设旦（，）=4/ 一6/七+ 3 则“过点口口/存在J条直线与曲线1 =八球相切”等价于“ g（H）有3个不同零点7 g （力=12/ -12卡1知>g Q0与它（M）的情况如下IK(-工0(0.1)1(L+H)g®+00+冢刈/t+3、£+1/所以，g=1十3是g（x）的极大僖g（l） =，+l是虱芫）的极小值，当g二1-3£0.即W-3时，此时表1）在区间（-三口和Q+工）上分别至多有1个零点，所以g（»至终有2个零点，当g=-120，年-1时，此时虱M）在区间（-£0）和0TH）上分别至多有1个零点.所以g（x）至多

22、有2个零点，当氟0）0且区。）父0,即-3<7<r-l时, 因为氟D = l7h。，ff（2） = z + ll >0,所以?分SI为区间-L0）,（U）和口力上恰有1个零点，由千冢的在区间（-不0）和（L-h）上单胤 所 基苏武M）与用J在区间（60）和口,笆）上恰有1个季上.综上可知，当过点尸Q力存在3条直线与曲线尸=/（工）相切时，七时取值范围是（工-1）.方法二：<2）设过点P （L tl的直雉与曲统J'=/1戈）相切于点*则FL 3三，且切挽斜率为十=6七,一露所以切然方程为j -1: = （6七* 3）（丁_E）因此f-比=（6工：；-3>（1

23、-北）整理学4与'-6/十计3 二 0.43c 23 c 24x0 6x0 3 t,设 g（x） 4x 6x 3, h（x）t，则“过点 p（i,t）存在3条直线与曲线y f(x)相切"等价于"y g(x)与y h(x)图像有三个交点"。g'(x)= 12x212 x= 12x(x1).当 x变化时，g (x)与g '(x)的变化情况如下：x(8, 0)0(0, 1)1(1, +°°)g'(x)十0一0十g(x)单调递增3单调递减1单调递增所以，g(0) = 3是g(x)的极大值，g(1) = 1是g(x)的极小

24、值.结合图像知，当y=g(x)与y h(x)有3个不同交点时，有1<t<3,即3<t< 1.故当过点P(1 , t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时，t的取值范围是(一3, 1).【变式】3(1)已知函数f(x)2x3x.若过点P(1,t)存在2条直线与yf(x)相切，求t的取值范围；3(2)已知函数f(x)2x3x.若过点P(1,t)存在1条直线与yf(x)相切，求t的取值范围(3)问过点A(1, 2), B(2, 10), C(0, 2)分别存在几条直线与曲线y = f(x)相切？答案：(具体过程，结合例题 5,同学们自己思考)(1) t=-3,t=-1(2)

25、t>-1 或 t<-3(3)过点 A(1, 2)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切;过点B(2, 10)存在2条直线与曲线 y = f(x)相切；过点C(0, 2)存在1条直线与曲线y = f(x)相切.【老吴帮你解后反思：解法一是高考标准答案，解法二，运用分离参数法思想，分解成两个函数，一个)即可求解。是三次函数且不含参数，一个是常见的常函数，结合函数图像(如图1 32【变式】：已知函数f(x)= - x ax b在x=-2处有极值.(I)求函数f(x)的单调区间;(n)若函数f(x)在区间卜3,3上有且仅有一个零点，求 b的取值范围。2解：(I) f (x) x 2ax由

26、题意知：f ( 2) 4 4a 0,得 a=-1 ,2f (x) x 2x ,令 f (x) 0 ,得 x<-2 或 x>0,令 f (x) 0,得-2<x<0,.f(x)的单调递增区间是(-,-2)和(0, + ),单调递减区间是(-2, 0)。132.(n)解法一：由(I)知， f(x)= -x x b,f(-2)= 4 b为函数f(x)极大值，f(0)=b为极小值。3函数f(x)在区间-3,3上有且仅有一个零点，f( 3) 0或f(0) 0f(3) 0 T f( 3) 0T f( 2) 0T f( 3) 0或或或f( 2) 0f (3) 0f(3) 0f (0)

27、018 b 0即 4，.二 18 bb 034 r4g,即b的取值范围是18, -) o解法二：由(I)知,f(x)= 1 x3 x2 b,令 1 x3 x2 b =0 , h(x) - x3 x2, g(x) b,(以下 333略解)求出h(x)132，一 一八，、，、一 、一”一，一，一，人x x在-3,3的最值与单调区间，结合函数图像即可求解。319-4 -3 -2 -I 12 3 15 6【例题6】：设f (x) x3 a a 1 x2 3ax 1 .若函数f (x)在区间1 , 4内单调递减，求a的取值范围;【解析】f x 3x2 3 a 1 x 3a 3 x 1 x a :函数f

28、x在区间1 , 4内单调递减，f (4) < 0 , . .a 4 ,.1322【变式】已知函数f(x) -x mx 3mx 1 (m 0).右函数f(x)在区间(2m 1,m 1)上单倜递3增，求实数m的取值范围.解析令= 得了三一%或天三小.由于m 0, f (x) , f (x)的变化情况如下表:x(,3m)3m(3m, m)m(m,)f'(x)+0一0+f(x)单调增极大值单调减极小值单调增2所以函数f(x)的单调递增区间是(,3m)和(m,).白要使在区间(2断-1，附+ 1)上单调潴噌,应有阴1与一3阳或 2胴一 1孑加，解得加W1或出L4又w > 0且腕+ 1i2阳-1,所以即实数用的取值商ffl :可1工幽工2：. 1-1【例题71已知函数f(x) 1x3 ax2 (a2 1)x