线段的垂直平分线

1、3.3.线段的垂直平分线（线段的垂直平分线（1 1） 性质定理与判定定理性质定理与判定定理泰安市政府为了方便居民的生活，计划在泰安市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才中心，试问，该购物中心应建于何处，才能 使 得 它 到 三 个 小 区 的 距 离 相 等 。能 使 得 它 到 三 个 小 区 的 距 离 相 等 。ABC实际问题实际问题1AB我们曾经利用折纸的方法得到我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.PA=P

2、BP1P1A=P1B命题命题：线段垂直平分线上的：线段垂直平分线上的点点和和这条线段两个端这条线段两个端点点的距离相等。的距离相等。PMNC动手操作动手操作：作线段AB的中垂线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：量一量：PA、PB的长，你能发现什么？的长，你能发现什么？由此你能得到什么规律？由此你能得到什么规律？w你能证明这一结论吗你能证明这一结论吗? ?回顾 思考已知已知: :如图如图,AC=BC,MNAB,P,AC=BC,MNAB,P是是MNMN上任意一点上任意一点. .求证求证:PA=PB.:PA=PB.ACBPMN分析:(1)要证明PA=PB,而APCBPC的条

3、件由已知 故结论可证.老师期望:你能写出规范的证明过程.AC=BC,MNAB,AC=BC,MNAB,可推知其能满足公理（可推知其能满足公理（SASSAS）. .就需要证明PA,PB所在的APCBPC，命题：线段垂直平分线上的命题：线段垂直平分线上的点点和这条线段两个端和这条线段两个端点点的距离相等。的距离相等。线段的垂直平分线线段的垂直平分线ABPMNCPA=PB 直线直线MNAB,垂足为垂足为C, 且且AC=CB. 已知：如图，已知：如图，点点P在在MN上上.求证：求证：证明：MNAB PCA= PCB=90 在 PAC和 PBC中， AC=BC PCA= PCB PC=PC PAC PBC

4、(SAS) PA=PB(全等三角形的对应边相等）几何的几何的三种语言三种语言w定理定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等距离相等. .老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.开启 智慧ACBPMNw如图如图, ,wAC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNMN上任上任意一点意一点( (已知已知),),wPA=PB(PA=PB(线段垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离的点到这条线段两个端点距离相等相等).).性质定理：性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的线段垂直平分线上的点和这条线段

5、两个端点的距离相等。距离相等。线段的垂直平分线线段的垂直平分线ABPMNCPA=PB点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上线段垂直平分线上的点和这线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等驶向胜利的彼岸思考分析w你能写出你能写出“定理定理 线段垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等的点到这条线段两个端点距离相等”的逆命题吗的逆命题吗? ?w逆命题逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点到一条线段两个端点距离相等的点, ,在这条在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上. .w它是真命题吗它是真命题吗? ?ABP如果是如果是. .请你证

6、明它请你证明它. .已知已知: :如图如图,PA=PB.,PA=PB.求证求证: :点点P P在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上. .分析分析: :要证明点要证明点P P在线段在线段ABAB的的垂直垂直平分平分线线上上, ,可以先作出过点可以先作出过点P P的的ABAB的的垂线垂线( (或或ABAB的的中点中点, ,),),然后证明另一个结论正确然后证明另一个结论正确. .想一想想一想: :若作出若作出PP的角平分线的角平分线, ,结论是结论是否也可以得证否也可以得证? ?驶向胜利的彼岸逆定理逆定理 我能行我能行w逆定理逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点到一条线段两个端点距离相等的点

7、, ,在在这条线段的垂直平分线上这条线段的垂直平分线上. .ACBPMNw如图如图, ,wPA=PB(PA=PB(已知已知),),w点点P P在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上( (到一条到一条线段两个端点距离相等的点线段两个端点距离相等的点, ,在这条在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上).).老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.二、逆定理：二、逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线线段的垂直平分线一、性质定理：一、性质定理：线段垂直平分线上

8、的点和这条线段两个端线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。点的距离相等。PA=PB点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上和一条线段两个端点距离相等的和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上点，在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点和这线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等 你能根据上述定理和逆定理，说出你能根据上述定理和逆定理，说出线段的垂直平分线的集合定义吗？线段的垂直平分线的集合定义吗？三、三、 线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是和线线段的垂直平分线可以看作是和

9、线段两个端点距离相等的所有点的集合段两个端点距离相等的所有点的集合驶向胜利驶向胜利的彼岸的彼岸尺规作图尺规作图 做一做做一做l已知已知:线段线段AB,如图如图.l求作求作:线段线段AB的垂直平分线的垂直平分线.l作法作法:l用尺规作线段的垂直平分线用尺规作线段的垂直平分线. .l1.分别以点分别以点A和和B为圆心为圆心,以大于以大于AB/2长为半径作弧长为半径作弧,两弧交于点两弧交于点C和和D.ABCDl2. 作直线作直线CD.l则直线则直线CD就是线段就是线段AB的垂直平分线的垂直平分线.请你说明请你说明CD为什么是为什么是AB的垂直平分线的垂直平分线,并与同伴进行交流并与同伴进行交流.老师

10、提示老师提示: :因为直线因为直线CD与线段与线段AB的交点就是的交点就是AB的中的中点点,所以我们也用这种方法作线段的所以我们也用这种方法作线段的中点中点.挑战自我挑战自我 随堂练习随堂练习驶向胜利驶向胜利的彼岸的彼岸l如图如图,已知已知AB是线段是线段CD的垂直平的垂直平分线分线,E是是AB上的一点上的一点,如果如果EC=7cm,那么那么ED= cm;如果如果ECD=600,那么那么EDC= 0.老师期望老师期望: :你能说出填空结果的根据你能说出填空结果的根据. .EDABC760回味无穷w 定理定理 w 线段垂直平分线上的点到这条线段线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等两个端

11、点距离相等. .w 如图如图, ,w AC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNMN上任意一点上任意一点( (已知已知),),w PA=PB(PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等这条线段两个端点距离相等).).w 逆定理逆定理 到一条线段两个端点距离到一条线段两个端点距离相等的点相等的点, ,在这条线段的垂直平分在这条线段的垂直平分线上线上. .w 如图如图, ,w PA=PB(PA=PB(已知已知),),w 点点P P在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上( (到一条到一条线段两个端点距离相等的点线段两个端点距离相等的点, ,在这在

12、这条线段的垂直平分线上条线段的垂直平分线上).).小结 拓展ACBPMN习题1.5 独立作业独立作业驶向胜利的彼岸w1.1.利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线. . w老师期望老师期望: :w先分别作出不同形状的三角形先分别作出不同形状的三角形, ,再按要求去作图再按要求去作图. .习题1.5 独立作业独立作业驶向胜利驶向胜利的彼岸的彼岸w2. 2. 如图如图, ,A,BA,B表示两个仓库表示两个仓库, ,要在要在A,BA,B一侧的河一侧的河岸边建造一个码头岸边建造一个码头, ,使它到两个仓库的距离相等使它到两个仓库的距离相等, ,码头应建造在什么位置？码

13、头应建造在什么位置？ 老师期望老师期望: :养成用数学解释生活的习惯养成用数学解释生活的习惯. . AB习题1.4 独立作业独立作业驶向胜利驶向胜利的彼岸的彼岸w3.3.如图如图, ,在在ABCABC中中, ,已知已知AC=27,ABAC=27,AB的垂直平分线的垂直平分线交交ABAB于点于点D,D,交交ACAC于点于点E,E,BCEBCE的周长等于的周长等于50,50,求求BCBC的长的长. . 老师期望老师期望: :做完题目后做完题目后, ,一定要一定要“悟悟”到点东到点东西西, ,纳入到自己的认知结构中去纳入到自己的认知结构中去. . BAEDC线段的垂直平分线线段的垂直平分线例例1 已

14、知已知:如图如图,在在ABC中中,边边AB，BC的垂直平分线交于的垂直平分线交于P.求证：求证：PA=PB=PC;BACMNMNPPA=PB=PCPB=PC点P在线段BC的垂直平分线上PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上分析：例例1 已知已知:如图如图,在在ABC中中,边边AB，BC的垂直平分的垂直平分 线交于线交于P.求证：求证：PA=PB=PC;证明：证明：点点P在线段在线段AB的垂直平分线的垂直平分线MN上，上，PA=PB（？）（？）.同理同理 PB=PC.PA=PB=PC.BACMNMNP3.9 角的平分线角的平分线ODEABPC定理定理1 在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的角的两边的距离相等距离相等。定理定理2 到一个角的两边的到一个角的两边的距离相等距离相等的点，在这个角的平分线上。的点，在这个角的平分线上。 角的平分线是到角的角的平分线是到角的两边两边距离距离相等相等的所有点的集合的所有点的集合3.14 线段的垂直平分线线段的垂