椭圆各类题型分类汇总

1、椭圆各类题型分类汇总椭圆经典例题分类汇总1 .椭圆第一定义的应用例1椭圆的一个顶点为 A 2,0 ,其长轴长是短轴长的 2倍，求椭圆的标准方程.221例2已知椭圆-x -y- 1的离心率e ,求k的值.k 8 9222已知方程-x- -y k 5 3 k1表示椭圆，求k的取值范围例4 已知 x2sin y2 cos 1 (0）表示焦点在y轴上的椭圆，求 的取值范围.11 / 20例5已知动圆P过定点A 3,0 ,且在定圆B:x 3 2 y264的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程.2 .焦半径及焦三角的应用22x y例1已知椭圆一工 1 , Fi、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ,使

2、M到左准43线l的距离MN|是MF1与MF2请说明理由.例2已知椭圆方程2% 1 a b 0 ,长轴端点为 A, A2,焦点为Fi, F2, P是椭 b圆上一点，APA2, F1PF2.求：F1PF2的面积（用a、b、 表示）.3.第二定义应用2X例1椭圆162y121的右焦点为F ,过点A 1,73，点M在椭圆上，当 AM 2MF为最小值时，求点 M的坐标.2 X 例2已知椭圆一-4b21上一点P到右焦点52的距离为b (b 1),求P到左准线的距22例3已知椭圆 y- 1内有一点A(1,1), F1、F2分别是椭圆的左、 95椭圆上一点.(1)求PA PF1的最大值、最小值及对应的点P坐标

3、；右焦点，点 P是， 3 一一，一一(2)求PA -|PF2的最小值及对应的点P的坐标.4.参数方程应用2例1求椭圆a y2 1上的点到直线X y 6 0的距离的最小值.32 X(1)写出椭圆92y- 1的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积.42椭圆y2 1 (a b 0)与x轴正向交于点 A,若这个椭圆上总存在点 b2OP AP(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围.5 .相交情况下-弦长公式的应用例1已知椭圆4x2 y2 1及直线y x m.(1)当m为何值时，直线与椭圆有公共点？2 10(2)若直线被椭圆截得的弦长为公10,求直线的方程.5例2已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x

4、轴上的椭圆，过它对的左焦点 F1作倾斜解为 一3的直线交椭圆于 A, B两点，求弦 AB的长.6 .相交情况下一点差法的应用例1已知中心在原点，焦点在 x轴上的椭圆与直线x y 1 0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25,椭圆的短轴长为 2,求椭圆的方程., 一 X2211例2已知椭圆 y2 1 ,求过点P 1,-且被P平分的弦所在的直线方程.22 2X211例3已知椭圆 y2 1,(1)求过点P 1,且被P平分的弦所在直线的方程； 22 2(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3)过A2,1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；1(4)椭圆上有两点 P、Q,。为原点，且

5、有直线 OP、OQ斜率满足kOP kOQ-2求线段PQ中点M的轨迹方程.22x y ,例4已知椭圆C: 1 ,试确定m的取值范围，使得对于直线 l： y 4x m ,椭圆 43C上有不同的两点关于该直线对称.2X例5已知P(4,2)是直线l被椭圆 362匕 1所截得的线段的中点，求直线9l的方程.椭圆经典例题分类汇总1 .椭圆第一定义的应用例1椭圆的一个顶点为 A 2,0 ,其长轴长是短轴长的 2倍，求椭圆的标准方程.分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置.解：(1)当A 2,0为长轴端点时，a 2, b 1,22椭圆的标准方程为： L L 1 ；41(2)当A2,0为短轴端点时，b 2

6、, a 4,2 2椭圆的标准方程为：L L 1 ；416说明：椭圆的标准方程有两个， 给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况.221例2已知椭圆-x y- 1的离心率e 求k的值.k 892分析：分两种情况进行讨论.1解：当椭圆的焦点在x轴上时，a2 k 8,b2 9,得c2 k 1 .由e ,得k 4 .2当椭圆的焦点在 y轴上时,a2 9, b2 k 8,得 c2 1 k .41，口 1 k 1 口由e ，得一，即k294.一 .5.满足条件的k 4或k54说明：本题易出现漏解.排除错误的办法是：因为k 8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在 x轴

7、上，也可能在 y轴上.故必须进行讨论.221表示椭圆，求k的取值范围已知方程一k 5 3 kk 5 0,解：由3 k 0, 得3 k 5,且k 4.k 5 3 k,.满足条件的k的取值范围是3k 5,且 k 4.说明：本题易出现如下错解：由k 5 0,得3 k 5,故k的取值范围是3 k 5.3 k 0,出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中a b 0这个条件，当a b时，并不表示椭圆.例6 已知 x2sin y2 cos 1 (0）表示焦点在y轴上的椭圆，求 的取值范围.分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性，求出取值范围.解：方程可化为1.因为焦点在y轴上，所以c

8、os sinsincos3因此sin 0且tan 1从而（一，一）.2 4说明：（1）由椭圆的标准方程知2（2）由焦点在y轴上，知a中的条件01sin1cos0,，b21cos1sin0,这是容易忽视的地方.（3）求 的取值范围时，应注意题目例5已知动圆P过定点A3,0，且在定圆B:x 3 2 y2 64的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程.分析：关键是根据题意，列出点 P满足的关系式.解：如图所示，设动圆 P和定圆B内切于点M .动点P到两定点,即定点A 3,0和定圆圆心B 3,0距离之和恰好等于定圆半径，即 PA PB| PM| |PB|BM 8 .，点P的轨迹是以A, B为两焦点,2

9、2半长轴为4,半短轴长为b J42 32 J7的椭圆的方程： 1 .167说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方 程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.2.焦半径及焦三角的应用22例1已知椭圆 y 1 , E、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ,使M到左准43线l的距离 MN是MF1与MF2的等比中项？若存在，则求出点请说明理由.解：假设M存在，设Mx1，y1，由已知条件得a 2, b '3 , c 1 , e左准线l的方程是x 4,M的坐标；若不存在, MN又由焦半径公式知:MF1 aex1 2112x1, |MF2ex2 2x1 MNM

10、FiMF2 , xi22x1整理得5x1232xi 48解之得x14或x.12T另一方面 2则与矛盾,所以满足条件的点不存在.例2已知椭圆方程22人L1。 h221aba b,长轴端点为A , A2,焦点为F1, F2, P是椭圆上一点,A1PA2, F1PF2.求：F1PF2的面积（用a、b、 表示）.分析：求面积要结合余弦定理及定义求角1 .的两邻边，从而利用SabsinC求面积.2解：如图，设P x, y ,由椭圆的对称性,不妨设P x, y ,由椭圆的对称性,不妨设P在第一象限.由余弦定理知:F1F2 2 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos 4c2 .由椭圆定义知：PF

11、1I |PF2| 2a，则2得故 S F1PF21一 PF12PF2 sin12b2sin2 1 cosPF1 PF22b21 cos3.第二定义应用2x例1椭圆162、一1的右焦点为12F ,过点A 1,73，点M在椭圆上，当 AM 2MF为最小值时，求点 M的坐标.1分析：本题的关键是求出离心率e万，把2MF|转化为M到右准线的距离，从而得.1 最小值.一般地，求 AM - MF均可用此法.e1.解：由已知：a 4, c 2 .所以e 一 ,右准线2l: x 8 .椭圆各类题型分类汇总2MF的最小值为 AQ ,即M为所求点，因此Ym J3 ,且m在椭圆上.故Xm273 .所以说明：本题关键

12、在于未知式AM2MF中的“2”的处理.事实上，如图,MF是M到右准线的距离的一半,即图中的MQ ,问题转化为求椭圆上一点过A作AQ l ,垂足为Q ,交椭圆于 M ,故MQ 2MF .显然AM21 / 20A的距离与到右准线距离之和取最小值.222已知椭圆 J y2 i上一点P到右焦点F2的距离为b (b i),求P到左准线的距 4b2 b2分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.2 X 解法一：由一- 4b2得 a 2b , c V3b , e -2由椭圆定义,PFiPFi4b PF2由椭圆第二定义,diPFiPF24b bPFidi2a 4b ,得3b.e,d1为P

13、到左准线的距离,即P到左准线的距离为 2 J3b.一一PF2 c 33解法一： e, d2为P到右准线的距离，e - ，d2a 2PF2273,、，一a2843 d2一2b .又椭圆两准线的距离为2 b .e 3c 38.3. 23.P到左准线的距离为 一-b -b2<3b33,说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解.椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征， 解题时要灵活选择，运用自如.一般地, 如遇到动点到两个定点的问题， 用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题， 则用 椭圆的第二定义.22例3已知椭圆：x- y- 1内有一点A(1,1),

14、 I F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是95椭圆上一点.(1)求PA |PF1的最大值、最小值及对应的点P坐标；(2)求PA |PF2的最小值及对应的点 P的坐标.分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法.二是数形结合，即几何方法.本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解 决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解.解:如上图，2a 6 , F2(2, 0) , AF2J2,设p是椭圆上任一点，由PFi PF2 2a 6,PA PF2 AF2,PAIPFi|PFiPF2AF22aAF2672,等号仅当 |PA|PFz|AF2时成

15、立，此时P、A、F2共线.由 PAPF2AF2, PAPF1PF1PF2AF22a AF26V2 ,等号仅当PA PF2 AF2时成立，此时P、A、F2共线.x y 2 0, 建立A、F2的直线方程x y 2 0,解方程组22得两父点5x2 9y2 45P(9 156,5 "我)、P2(9 ”6,5 更际. 7 147 147 147 14综上所述,P点与R重合时，PA PF1取最小值6 <2 , P点与P2重合时,PA PF2取最大值6 <2 .(2)如下图，设P是椭圆上任一点,作PQ垂直椭圆右准线，Q为垂足，由a 3, c 2,圆第二定义知PF2PQ3PQ 2IPF2

16、3. . 一 . 一 ._ 一 一 , 一 PA 3|PF2| |PA |PQ,要使其和最小需有 A、P、Q共线，即求A到右准线距离.右9准线方程为x 9.A2，A到右准线距离为 7.此时P点纵坐标与 A点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条2件的点p坐标（6Y5,1）,51 说明：求PA - PF2的最小值，就是用第二定义转化后，过A向相应准线作垂线段.巧 e用焦点半径PF2与点准距PQ互化是解决有关问题的重要手段.4.参数方程应用2例1求椭圆士 y2 1上的点到直线x y 6 0的距离的最小值.3分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最"3cos

17、'设椭圆上的点的坐标为<13 cos ,sin ,则点到sin .小值.解：椭圆的参数方程为 x y2sin 一32直线的距离为43 cos sin 6d l,2当sin 1时，d最小值2v2 .3说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程.2 X例2(1)写出椭圆一92y- 1的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积. 4分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆解：x 3 cosy 2sinR）.(2)设椭圆内接矩形面积为S,由对称性知，矩形的邻边分别平行于x轴和y轴，设的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题

18、.(3cos , 2sin )为矩形在第一象限的顶点，(0-),贝US 4 3cos 2sin 12sin2 12故椭圆内接矩形的最大面积为12.说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最 值问题，用参数方程形式较简便.22例3 椭圆2- 冬 1 (a b 0)与x轴正向交于点 A,若这个椭圆上总存在点P ,使a bOP AP(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围.分析：:。、A为定点，P为动点，可以P点坐标作为参数，把OP AP,转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a、b、c的一个不等式，转化为关于e的不等式.为减少参数，易考虑运用椭圆

19、参数方程.-, , ,x a cos解：设椭圆的参数方程是(a b 0),y bsin则椭圆上的点 P(acos , bsin ), A(a , 0),bsin bsin d OP AP，二1 ,acos a cos a即（a2 b2） cos2a2 cosb2 0 ,解得 cos1 或 cosb2b21 cos 1 cos1 （舍去），12b 2 1，又 b2 a2 c2a ba2 - 0 二 2 , e ，又 0 e 1, c22说明:若已知椭圆离心率范围(, 1) ,求证在椭圆上总存在点P使OPAP ,如何证明？例1已知椭圆4x2 y2 1及直线y x m.解：(1)把直线方程y x m

20、代入椭圆方程4x2y2 1得4x2即5x22mx m2 1 02m 2 4 5m2 116m220 0,52(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为X1 , X2 ,由(1)得X1X22m一 ，xX255.相交情况下-弦长公式的应用(1)当m为何值时，直线与椭圆有公共点?(2)若直线被椭圆截得的弦长为 空空，求直线的方程.5-22)2 1052m m 1根据弦长公式得4 55说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式.用弦长公式，若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系)，可

21、大大简化运算过程.例2已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为 一3的直线交椭圆于 A, B两点，求弦 AB的长.分析：可以利用弦长公式 AB 出 k2|x1 x2 J(1 k2)(x1 x2)2 4x1x2求得,也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求.解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.ABJ1k2|x1x2J(1k2)(x1x2)24x1x2.因为 a 6, b 3,所以 c3J3.因 为焦点在x轴上,1 ,左焦点F ( 3点,0),从而直线方程为 y J3x 9 .22所以椭圆方程为上369由直线方程与椭圆方程联立得：13x2

22、72<3x 36 8 0 .设X，x2为方程两根，所以723X1 X213x1x236 813k ,3ABJi k2 x1X22248.(1 k )(Xi X2)4x1X213（法2）利用椭圆的定义及余弦定理求解2由题意可知椭圆方程为362y- 1 ,设 AF1 9BF1 n ，则 AF212BF2(12所以AF1F2 22m) m2AF2IAF12_ B.F1F22AF1F1F2 cos11336 36 一m -/=.同理在4 <3BF1F2 中,用余弦定理得n 6- ,所以AB4 J34813（法3）利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程13x272v13x 36 8 0求

23、出方程的两根X2 ，它们分别是A, B的横坐标.再根据焦半径 AF1a ex, BFia ex2,从而求出 AB |AF； | BF16.相交情况下一点差法的应用例1已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x y 1 0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25,椭圆的短轴长为 2,求椭圆的方程.解：由题意，设椭圆方程为y2 1,x由x2a一XmkoM2a2x0,X12X22a2a1 XMyMXm椭圆各类题型分类汇总24 / 20y2 i为所求.说明:(i)此题求椭圆方程采用的是待定系数法；(2)直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.X2例2已

24、知椭圆2ci i y2 i ,求过点P 1,且被P平分的弦所在的直线方程.2 2分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为利用条件求k.解法一：设所求直线的斜率为 k,则直线方程为.代入椭圆方程，并整理得22i 2k2 X22i 22k2 2k x1k2 20.由韦达定理得XiX22k2 2ki 2k2 P是弦中点，XiX21.故得所以所求直线方程为 2x 4y 3 0.分析二：设弦两端坐标为 x1;) yi > x2,列关于Xi、X2、yi、y2的方程组，从而求斜率：y一y2XiX2解法二：设过P的直线与椭圆交于A Xi, yi、B X2, y,则由题意得2Xi22X222yi2

25、y2i,i,XiX2yiy2i, i.一得2Xi22X22 yi2y20.将、代入得yiy2XiX2所求直线方程为2x 4y 3 0.说明：(1)有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点 轨迹；过定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率.(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.x21 1例3已知椭圆 一 y2 1,(1)求过点P 1,且被P平分的弦所在直线的方程； 22 2(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3)过A2,1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方

26、程；1(4)椭圆上有两点 P、Q,。为原点，且有直线 OP、OQ斜率满足kOp kOQ-,求线段PQ中点M的轨迹方程.分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法.解：设弦两端点分别为 M %, y1 , N X2, y2 ,线段MN的中点R x, y ,则2为2y22得X；2y22由题意知X1X为2x,V1y22y,X1 X2 2 y1将代入得X1 X2 X1 X2 2 y1 y2 号 y 0 .x2 ,则上式两端同除以X1 X2 ,有y2 j 0,X1 X2y1 y2X 2y 0 .XI X2(1)将x 1 , y 1代入，得冬21,故所求直线方程为:22x1 x222x 4

27、y 3 0.将代入椭圆方程 x2 2y2 2得6y2 6y 1 0,4，八 1 c 36 4 6 - 0符合题意,42x 4y 3 0为所求.(2)将 比2 2代入得所求轨迹方程为：X1X2(3)将Y_22代入得所求轨迹方程为:x1x2x 2x 4y 0 .(椭圆内部分)X2 2y2 2x 2y 0 ,（椭圆内部分)椭圆各类题型分类汇总22(4)由+ 得：xy2 y2 2, 222/2-Xi X2 4x 2x1X2,将代入得：竺一2x1x2412再将y1y2x1x2代入式得：2x2，将平方并整理得22,2yi y2 4y 2yiy2,4y2 2yly22 ,21x1x2 4y 2 x1x22

28、, 即22此即为所求轨迹方程.当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决.22x y例4已知椭圆C:一 工 1 ,试确定m的取值范围，使得对于直线 l： y 4x m ,椭圆 43C上有不同的两点关于该直线对称.分析：若设椭圆上 A, B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线AB l ; (2)弦AB的中点M在l上.利用上述条件建立 m的不等式即可求得 m的取值范围.l对称，直线AB与l交于M(xo , yo)解：(法1)设椭圆上A(x1 , y1), B(x2 , y2)两点关于直线 l的斜率kl4,.设直线AB的方程为yy2 x41 x42y3n, 一消去y得1,213x

29、 8nx_ 2 一16n2 48x28n13于是xox12x24n13 ，yo1 4x0即点M的坐标为12n13，(4n1312n 一口) 点M在直线134x m 上，n4 13点.2 131326 / 2013m. 4将式代入式得13x226mx 169m2 48是椭圆上的两点，(26m)2 4 13(169m248) 0 ,解得2.1313椭圆各类题型分类汇总(法2)同解法1得出n113y°-xom4413一m, 4A *%)4A, B为椭圆上的两点，13 m43m, IP M点坐标为（mM点在椭圆的内部,(m)24(3m)232,132.13m 1313（法3）设A（X1 , y1），Bd , y2）是椭圆上关于l对称的两点，直线 AB与l的交点M的坐标为(xo, yo).22X2y2143两式相减得22A , B在椭圆上，士江1433(X1 X2)(X1X2) 4( y1 y2)(y1y2)0,即 3 2Xo(X1 X2) 4 2yo(y y2) 0yy2X1X23xo4yo(X1X2) 又.直线 AB l ,kAB kl1 , .旭 44yo1,即 yo 3Xo 。又M点在直线l上，y0 4X0 m。由，得 M点的坐标为（m, 3m） .以28 / 20下同解法2.说明：涉