第一部分第二章§11.2 余弦定理

1、1.2理解教材新知把握热点考向应用创新演练1正弦定理与余弦定理考点一考点三4考点二第二章第一页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回第二页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回1 正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理第三页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回1.2 余弦定理余弦定理第四页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回第五页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回 如图如图,在在ABC中中,设设 a, b, c 问题问题1：如果：如果C90,如何求如何求AB边的长？边的长？ 提示：利用勾股定理求提示：利用勾股定理求AB的边长的边长CB ABCAAB 第六页，编辑于星期一：二十一

2、点 二十七分。返回 问题问题2：当：当C90时时,如何用向量的数量积表示如何用向量的数量积表示AB边边的长？的长？ 提示：提示：|c|2cc(ab)(ab)a22abb2a2b22|a|b|cos C. c2a2b22abcos C. 问题问题3：能否用同样的方法求：能否用同样的方法求AB、AC的长吗？结论是什的长吗？结论是什么？么？ 提示：能结论：提示：能结论：a2b2c22bccos A b2a2c22accos B.第七页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回余弦定理余弦定理文字文字语言语言三角形任何一边的平方等于三角形任何一边的平方等于 减减去去 的两倍的两倍符号符号语言语言a2 b

3、2 c2 其他两边平方的和其他两边平方的和这两边与它们夹角的余弦的积这两边与它们夹角的余弦的积b2c22bccos Ac2a22cacos Ba2b22abcos C第八页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回 1余弦定理揭示了三角形的三边与一角的关系余弦定理揭示了三角形的三边与一角的关系,也是解三角形的重要工具也是解三角形的重要工具 2当三角形的某一内角等于当三角形的某一内角等于90时时,余弦定理就变成了勾余弦定理就变成了勾股定理股定理,所以勾股定理是余弦定理的特殊情况所以勾股定理是余弦定理的特殊情况,余弦定理是勾股余弦定理是勾股定理的推广定理的推广第九页，编辑于星期一：二十一点 二十七分

4、。返回第十页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回第十一页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回第十二页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回 一点通一点通 1两边及夹角解三角形两边及夹角解三角形,方法有两种：方法有两种： 方法一：利用余弦定理求出第三边；利用正弦定理方法一：利用余弦定理求出第三边；利用正弦定理求出一个角；利用三角形内角和定理求出第三个角求出一个角；利用三角形内角和定理求出第三个角 方法二：利用余弦定理求出第三边；利用余弦定方法二：利用余弦定理求出第三边；利用余弦定理求出一个角；利用三角形内角和定理求出第三个角理求出一个角；利用三角形内角和定理求出第三个角第十三页，编辑于

5、星期一：二十一点 二十七分。返回 2两边及一边的对角解三角形两边及一边的对角解三角形,方法有两种：方法有两种： 法一是利用余弦定理法一是利用余弦定理,列出关于列出关于a的一元二次方程的一元二次方程,从而解出从而解出a,然后用正弦定理和三角形内角和定理解出角然后用正弦定理和三角形内角和定理解出角A、C. 法二是直接利用正弦定理求出角法二是直接利用正弦定理求出角C,进而求角进而求角A及边及边a.第十四页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回答案：答案：B第十五页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回第十六页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回 思路点拨思路点拨解答此题可由余弦定理求出角的余

6、解答此题可由余弦定理求出角的余弦值弦值,进而求得各角的值进而求得各角的值第十七页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回 一点通一点通三角形三边求角可先用余弦定理求解三角形三边求角可先用余弦定理求解,再用正再用正弦定理求解用正弦定理求解时弦定理求解用正弦定理求解时,要根据三边的大小确定角的大要根据三边的大小确定角的大小小,防止产生增解或漏解防止产生增解或漏解第十八页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回第十九页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回答案：答案：D第二十页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回第二十一页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回 例例3(12分分)在在ABC中

7、中,(abc)(abc)3ab,且且2cos Asin Bsin C,试确定试确定ABC的形状的形状 思路点拨思路点拨充分运用正弦定理和余弦定理充分运用正弦定理和余弦定理,可利用边的关系判可利用边的关系判断断,也可转化为角的关系来判断也可转化为角的关系来判断 第二十二页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回第二十三页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回所以所以ab. (6分分)又因为又因为(abc)(abc)3ab,所以所以(ab)2c23ab.所以所以4b2c23b2.所以所以bc.所以所以abc.因此因此ABC为等边三角形为等边三角形 (12分分)第二十四页，编辑于星期一：二十一点

8、二十七分。返回法二：利用角的关系来判定法二：利用角的关系来判定因为因为ABC180,所以所以sin Csin (AB) (2分分)又因为又因为2cos Asin Bsin C,所以所以2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B,所以所以sin (AB)0. (6分分)因为因为A、B均为三角形的内角均为三角形的内角,所以所以AB.第二十五页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回第二十六页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回 一点通一点通 1判断三角形的形状判断三角形的形状,可以从考察三边的关系入手可以从考察三边的关系入手,即把条件中的即把条件中的“边角关系利用正弦定理或

9、余弦定理转化边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为为“边边关系边边关系,进行判断；也可以从三个角的关系入手进行判断；也可以从三个角的关系入手,即即把条件转化为角与角的关系把条件转化为角与角的关系,结合内角和定理作出判断结合内角和定理作出判断 2判断三角形形状时要注意判断三角形形状时要注意“等腰直角三角形与等腰直角三角形与“等腰或直角三角形的区别等腰或直角三角形的区别第二十七页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回7假设在假设在ABC中中,acos(BC)bcos(AC),那么那么ABC一一 定是定是 () A等边三角形等边三角形 B等腰三角形等腰三角形 C等腰或直角三角形等腰或直角三角形 D直

10、角三角形直角三角形第二十八页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回答案：答案：C第二十九页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回答案：答案：A第三十页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回 1余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律,也是解三角形的重要工具也是解三角形的重要工具 (1)在余弦定理中在余弦定理中,每一个等式均含有四个量每一个等式均含有四个量,利用方程的观利用方程的观点点,可以知三求一可以知三求一 (2)余弦定理也为求三角形的有关量余弦定理也为求三角形的有关量(如面积、外接如面积、外接圆、内切圆等圆、内切圆等)提供了工具提供了工具,

11、它可以用来判定三角形的形它可以用来判定三角形的形状状,证明三角形中的有关等式证明三角形中的有关等式,在一定程度上在一定程度上,它比正弦定它比正弦定理的应用更加广泛理的应用更加广泛第三十一页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回 2根据余弦定理根据余弦定理,可得以下结论：可得以下结论： 在在ABC中中,设设A为最大角为最大角,假设假设a2b2c2,那么那么0A90,且三角形为锐角三角形；反之且三角形为锐角三角形；反之,假设假设0A90,那么那么a2b2c2. 第三十二页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回 在在ABC中中,假设假设a2b2c2,那么三角形为直角三角形那么三角形为直角三角形,

12、那么那么A90；反之；反之,假设假设A90,那么那么a2b2c2. 在在ABC中中,假设假设a2b2c2,那么那么90A180,那么三角形为钝角三角形；反之那么三角形为钝角三角形；反之,假设假设90A180,那么那么a2b2c2. 第三十三页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回 3判断三角形的形状判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进应围绕三角形的边角关系进行思考行思考,依据条件中的边角关系判断时依据条件中的边角关系判断时,主要有如下两条主要有如下两条途径：途径： (1)利用正、余弦定理把条件转化为边边关系利用正、余弦定理把条件转化为边边关系,通过因式分解、通过因式分解、配方等得出边的相应关系配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状；从而判断三角形的形状；第三十四页，编辑于星期一：二十一点 二十七分。返回 (2)利用正、余弦定理把条件转化为内角的三角函数间利用正、余弦定理把条件转化为内角