高等数学--D86空间直线ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 第六节一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 空间直线及其方程 第八章 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间直线方程一、空间直线方程xyzO01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程1. 1. 一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，(不唯一)目录 上页 下页 返回 结束 zyx0 x0yO),(0000zyxM2. 对称式方程对称式方程故有说明说明: 某些分母为零时某些分母为零时, 其分子也理解为零其分子也理解为零.mxx000yyxx设直线上的动点为 那么),(zyxMnyy0pzz0此

2、式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为已知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM例如, 当,0, 0时pnm和它的方向向量 , ),(pnms sMM/0s目录 上页 下页 返回 结束 3. 参数式方程参数式方程设得参数式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1.用对称式及参数式表示直线用对称式及参数式表示直线解解: :先在直线上找一点先在直线上找一点. .043201 zyxzyx632zyzy再求直线的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .)2,0,

3、1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns目录 上页 下页 返回 结束 故所给直线的对称式方程为参数式方程为tztytx32 41t41x1y32z解题思路解题思路: :先找直线上一点;再找直线的方向向量.)3, 1,4(21nns312111kji是直线上一点)2,0, 1(目录 上页 下页 返回 结束 2L1L二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1. 两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角 满足设直线 L1, L2 的方向向量分别为 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(

4、, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s目录 上页 下页 返回 结束 特别有特别有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss),(),(22221111pnmspnms2L1L1s2s2L1L1s2s目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 2. 求以下两直线的夹角求以下两直线的夹角解解: : 直线直线L1L1的方向向量的方向向量为为直线L2的方向向量为二直线夹角 的余弦为(参考P44 例2 )13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22从而4) 1,2,2() 1(1)2()4(212

5、221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kjis 目录 上页 下页 返回 结束 当直线与平面垂直时,规定其夹角为线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;L2. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足.2222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直),(pnms ),(CBAn ),cos(sinnsnsns sn目录 上页 下页 返回 结束 特别有特别有: :L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns解解: : 取已知平面的法向量取已知平面的法向量421z

6、yx则直线的对称式方程为0432zyx直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 132垂 ) 1,3,2(nn例例3. 求过点求过点(1,2 , 4) 且与平面且与平面目录 上页 下页 返回 结束 1. 空间直线方程空间直线方程一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 内容小结内容小结 目录 上页 下页 返回 结束 ,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm2. 线与线的关系线与线的关系直线夹角公式:),(111

7、1pnms ),(2222pnms 021ss21LL 21/ LL021ss2121cosssss 目录 上页 下页 返回 结束 , 0DzCyBxACpBnAm平面 :L L / 夹角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx3. 面与线间的关系面与线间的关系直线 L :),(CBAn ),(pnms 0ns0nsnsns L目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P48 3，4，5，7，9 P48 题2, 10习题课 思考与练习思考与练习目录 上页 下页 返回 结束 )1 ,2, 1(A,11231:1zyxLiL设直线解：解：,2上在因原点LO12:2zyxL相交,求此直线方程 .的

8、方向向量为过 A 点及 的平2L面的法向量为则所求直线的方向向量方法方法1 利用叉积利用叉积. ),2, 1( isi, n,1nss所以OAsn2121112kjikji333一直线过点 且垂直于直线 又和直线备用题备用题nOA2L2s目录 上页 下页 返回 结束 设所求直线与 L2 的交点为512231zyx12000zyx0000,2yzyx待求直线的方向向量方法方法2 利用所求直线与利用所求直线与L2 的交点的交点 .即故所求直线方程为 ),(000zyxB则有2L) 1 , 2 , 1 (Anss1333123kji)523(3kji),(000zyxB12:2zyxL)1 ,2, 1(A点所求直线过目录 上页 下页 返回 结束 0) 1()2(2) 1(3000zyx78,716