平面向量公式及易错点

1、平面向量公式设a=（x，y），b=(x'，y')。    1、向量的加法   向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。   AB+BC=AC。   a+b=(x+x'，y+y')。   a+0=0+a=a。   向量加法的运算律：   交换律：a+b=b+a；   结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。    2、向量的减法   如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0   AB-AC=CB

2、. 即“共同起点，指向被减”   a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').    4、数乘向量   实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且a=a。   当0时，a与a同方向；   当0时，a与a反方向；   当=0时，a=0，方向任意。   当a=0时，对于任意实数，都有a=0。   注：按定义知，如果a=0，那么=0或a=0。   实数叫做向量a的系数，乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。   当

3、1时，表示向量a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上伸长为原来的倍；   当1时，表示向量a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上缩短为原来的倍。   数与向量的乘法满足下面的运算律   结合律：(a)b=(ab)=(ab)。   向量对于数的分配律（第一分配律）：(+)a=a+a.   数对于向量的分配律（第二分配律）：(a+b)=a+b.   数乘向量的消去律： 如果实数0且a=b，那么a=b。 如果a0且a=a，那么=。    3、向量的的数量积   定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,

4、OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a,b并规定0a,b   定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=|a|b|cosa，b；若a、b共线，则ab=+-ab。   向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'。   向量的数量积的运算律   ab=ba（交换律）；   (a)b=(ab)(关于数乘法的结合律)；   （a+b)c=ac+bc（分配律）；   向量的数量积的性质   aa=|a|的平方。   ab =ab=0。 

5、0; |ab|a|b|。   向量的数量积与实数运算的主要不同点   1、向量的数量积不满足结合律，即：(ab)ca(bc)；例如：(ab)2a2b2。   2、向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac (a0)，推不出 b=c。   3、|ab|a|b|   4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。    4、向量的向量积   定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：a×b=|a|b|sina，b；a×

6、;b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。   向量的向量积性质：   a×b是以a和b为边的平行四边形面积。   a×a=0。   ab=a×b=0。   向量的向量积运算律   a×b=-b×a；   （a）×b=（a×b）=a×（b）；   （a+b）×c=a×c+b×c.   注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是

7、没有意义的。    向量的三角形不等式   1、a-ba+ba+b；   当且仅当a、b反向时，左边取等号；   当且仅当a、b同向时，右边取等号。   2、a-ba-ba+b。   当且仅当a、b同向时，左边取等号；   当且仅当a、b反向时，右边取等号。    定比分点   定比分点公式（向量P1P=向量PP2）   设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 ，使 向量P1P=向量PP2，叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 

8、0; 若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有   OP=(OP1+OP2)(1+)；（定比分点向量公式）   x=(x1+x2)/(1+),   y=(y1+y2)/(1+)。（定比分点坐标公式）   我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式   三点共线定理   若OC=OA +OB ,且+=1 ,则A、B、C三点共线   三角形重心判断式   在ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为ABC的重心 编辑本段向量共线的重要条件   若b0，则a/b的重要条件是存在唯一

9、实数，使a=b。   a/b的重要条件是 xy'-x'y=0。   零向量0平行于任何向量。 编辑本段向量垂直的充要条件   ab的充要条件是 ab=0。   ab的充要条件是 xx'+yy'=0。   零向量0垂直于任何向量.平面向量易错点湖南周友良周芬在平面向量的复习中，首先要掌握其基本概念与运算如果不能正确理解向量的基础知识，或在某些概念及公式的理解上存在模糊认识，就会造成一些表面看起来正确而实际上错误的判断，使解题思路走入误区，现例举如下，望同学们引起注意一、对两向量夹角的定义理解不清而致错例在边长为1的

10、正三角形中，求的值错解：分析：两向量夹角的定义的前提是其起点要重合向量与，与，与的夹角通过平移后发现都不是60°，而是120°这是由于对两向量夹角的定义理解不透造成的正解：注意：向量与的夹角为锐角的充要条件是且与不共线这里，与不共线不能忽略 二、对向量的数量积理解不透彻而致错例2向量、都是非零向量，且向量与垂直，与垂直，求与的夹角错解：由题意，得，将、展开并相减，得，故，将代入，得，则，设与夹角为，则，分析：上面解法表面上是正确的，但却存在着一个理解上的错误，即由得到，错把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上由于向量的数量积不满足消去律，所以即使，也不能随便约去正解：设向量、的夹角为，由上面解法有，代入式、式均可得，则，又，三、混淆点的坐标与向量的坐标而致错例3判断的形状：，错解：，为钝角三角形分析：把点的坐标误认为向量的坐标，得出错误