(完整版)全国卷三视图与立体几何专题(含答案)

1、三视图与立体几何部分1. （2014年全国新课标卷I第 8题）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱2. （2014年全国新课标卷I第 19题）（本题满分12分）如图，三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1c的中点为O ,且AO 平面 BB1C1C .(I )证明：B1C AB(n )若 AC± AB1, /CBB=60 °, BC=1 ,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的高.3. （2014年全国新课标卷n第 6题）如图，网格纸上正方形小格的边长为1 （表示1c

2、m）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）a.27B.C.1027D.4. （2014年全国新课标卷n第 7题）正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为D为BC中点，则三棱锥 A Bi DCi的体积为（）A. 3 B. 3 C. 1 D.12分）PA 平面 ABCD ，E是PD的中点.5. （2014年全国新课标卷n第 18题）（本小题满分 如图，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形， 证明：PB 平面AEC;3（2）设AP 1 AD V3 ,二棱锥P ABD的体积V ，求A

3、到平面PBC的距离.46. （2013年全国新课标第 9题）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是（1,0,1 ） , （1,1,0 ） , （0,1,1 ） , （0,0,0 ）,画该四面体三视图中的正视图时，以3 27. （2013年全国新课标第15题）、已知正四棱锥 O ABCD的体积为 ，底面边长为2近,则以O为球心，OA为半径的球的表面积为8. （2013年全国新课标第18题）如图，直三棱柱 ABC A1B1cl中，D, E分别是AB, BB1 的中点.(I)证明：BC1/平面 A1CD；(n )设AA1 AC CB 2, AB 2 J2 ,求三棱锥C ADE的体积

4、.9. （2014年全国新课标I第 11题）、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 16 8 B. 8 8 C. 16 6 D. 8 1610. （2013年全国新课标I第 15题）已知H是球O的直径AB上的一点，AH:HB=1:2,AB 平面 ，H为垂足，截千O所得截面的面积为，则球O的表面积为 11. （2013年全国新课标I第 19题）如图，三棱柱 ABC A1B1cl中，CA CB, AB AA1,BAA1 60 .（I ）证明：ABA1C；(n)若AB CB 2, AC J6,求三棱柱的ABC AB©体积.13. (2012年全国新课标第8题)平面 截千。的球面

5、所得圆的半径为1,粗线画出的是1,球心O到平面的距离为2 ,则此球的体积为A. .6B.4 3C. 4 6D.6 314. (2012年全国新课标第19题)如图，在三棱柱 ABC A1B1cl中，侧棱垂直于底面,一一 一 1ACB 90 , AC BC - AA1, D是棱 AA1 的中点.(I)证明：平面BDG1 平面BDC;(n)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比我15. （2011年全国新课标第 8题）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所则相应的俯视图可以为16. （2011年全国新课标第16题）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上.若

6、圆锥底面面积是这个球面面积的旦，则这两个圆锥中，体16积较小者的高与体积较大者的高的比值为.17. （2011年全国新课标第18题）如图，四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为平行四边形,DAB60 , AB 2AD, PD 底面 ABCD.,(I)证明：PA(n )设 PA ADBD;1,求棱锥D PBC的高.18. （2010年全国新课标第7题）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A. 3 a2 B. 6 a2 C.12 a2 D. 24 a219. （ 2010年全国新课标第15题）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的

7、 （填入所有可能的几彳0体前的编号 ）三棱锥四棱锥三棱柱四棱柱 圆锥 圆柱20. （2010年全国新课标第18题）如图，已知四棱锥P ABCD的底面为等腰梯形，AB/CD, AC BD,垂足为H , PH是四棱车B的高.（I）证明：平面PAC 平面PBD ;若 AB . 6, APB ADB 60锥P ABCD的体积.C'H li1.B【命题立意】本题考查三视图等基础知识，意在考查考生空间想象能力，难度中度【解题思路】原几何体为如图所示的三棱柱，故选 B.BC1.2.解: (I )连接BC1,则。为B1c与BC1的交点.因为侧面BB1cle为菱形，所以B1c又AO平面BB1cle ,所

8、以B1C AO ,故BiC平面ABO .由于AB 平面ABO ,故B1CAB(6分)/i,(n )作OD BC ,垂足为D ,连接AD .作OH AD ,垂足为H .由于BC AO ,BC OD ,故BC平面AOD ,所以OH BC .又OH AD ,所以OH平面ABC .因ACCBB160 ,所以CBBi为等边三角形，又BC1 ,可得ODABi ,所以OA2BiC227由 OH AD OD OA,且 AD VOD2 OA2 J ,得 OH 42114又O为B1c的中点,一.一21 所以点 B1到平面ABC的距离为、一,故二棱枉 ABCA B1cl的距三小,21曷为.7(12分)3.C【命题立

9、意】本题考查了三视图，空间几何体的体积计算，意在考查三视图与直观图的转换所体现的空间想象能力，难度中等【解题思路】几何体的直观图为“螺栓”.切削部分的体积为32 422 4,所以比值为32 422 432 61027,故选C.4 .C【命题立意】本题考查空间几何体的体积计算，侧重考察利用割补法求体积，难度中等【解题思路】取B1cl的中点E ,截面ADE的面积为S 2<3 33 2 ,所以所求的体11 3 一.积为 V SB1cl 2 1 故选 C.33 25 .解：(I)证明：设BD与AC的交点为O,连结EO. 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又E为PD的中点，所以EO/PB.E

10、O 平面AEC , PB 平面AEC, 所以PB /平面AEC .(n ) V 1 PA AB AD -AB .66由V 士，可得AB 342作AH PB交PB于H.由题设知BC 平面PAB ,所以BC AH ,故AH 平面PBC.又AH PAB及PB13所以A到平面PBC的距离为313136.A【命题立意】本题考查空间直角坐标系下几何体的建构及其对应的三视图的作图问题, 难度中等.【解题思路】如图所示，点A,(1,0,1), B(1,1,0), C1(0,1,1), D(0,0,0),此四点恰为正方体AB1clD1 ABCD的四个顶点，此四点构成了一个棱长为J2的正四面体，该正四面体的7.

11、24【命题立意】本题考查正四棱锥的体积计算及球的表面积计算，体现了空间想象能力的应用，难度中等.1012【解题思路】如图所小，由VOABCD -AB ON 3 <3ON3、2，可得2ON3 2一,八八22八2,在Rt ONA中，由ON NA OA ,可得OA2266 , 以OA为半径的球的表面积2OA246 248 .解：(I)证明：连接 ACi交AiC予点F,则F为ACi的中点.a又D是AB的中点，连接DF,则BC1/DF.因为DF 平面A1CD, BC1 平面A1CD,所以BC1 /平面A1CD .(n )因为ABC A1B1C1是直三棱柱，所以 AAi CD .由已知AC CB,

12、D为AB中点，所以CD AB .又 AA1ABA,于是CD平面 ABB1Al.由 AA1ACCB 2,AB2.2得 ACB90 ,CD 技 A1D 舵,DE 屈,AE 3, 222AD DE AiE ,即 DE AiD.所以 VcaiDe i 2632 i.9 .A【命题立意】本题考查了三视图及其对应的几何体的体积计算问题，体现了空间想象能力的实际应用，难度较大.【解题思路】由三视图可得，该几何体是由一个底面圆半径为2,高为4的圆柱体的一般与一个底面正方形边长为 2,高为4的正四棱柱组成的组合体，其体积V 122 4 22 4 16 8 ,故应选 A.2【易错点拨】由三视图回溯几何体的原型是一

13、个难点，也是一个易错点， 解决此类问题应当从俯视图入手，结合另两个视图综合想象原直观图的组合关系10. 9 【命题立意】本题考查了球及球的表面积计算问题，难度较大22【解题思路】如图所不，设球 O的直径为2R,则由AH : HB 1:2，可得AH -R,在3RtOCH 中 CH2 OC2 OH2 9 R28由 CH2 8 R2,可得R29,球。的表面积S 4 R24 9-9 88211.解：(I)取AB的中点O,连接OC, OA1, A1B.因为CA CB,所以OC AB.由于AB AA1, BAA1 60 ,故 AA1B为等边三角形，所以 0Al AB .因为OC 0Al 0,所以 AB 平

14、面 OA1c.又 A1C 平面 0A1C,故 AB A1c（6 分）(n )由题设知 ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形，所以 OC OA J3 ,又J3,故三AC 46,则 A1C2 OC2 OA2,故 0Al OC,因为 OC AB O,所以OA1 平面ABC , OA1为三棱柱ABC A1B1C1的高.又 ABC的面积S abc（12 分）棱柱 ABC A1 B1cl 的体积 V S ABC 0Al 3 .12.B【命题立意】本题考查三视图及空间几何体的体积求解，考生是否具有一定空间想象能力将图形还原（包含数量关系及位置关系）是命题立意所在，难度较小 【解题思路】据三视图可知三棱车

15、B底面是腰长为3"的等腰直角三角形，棱锥的高为3,故，一,1 1体积为V 1 1 372 342 9,故选B.3 213.B【命题立意】本题考查球的性质应用及球的体积公式，难度较小【解题思路】由于球心与截面圆心的连线垂直于截面，故球的半径R Jr2 d2 V12 近 2 、巧， 因此体积V 4 V3 2 4<3 ,故选B.314 .解：（I）证明：由题设知 BC CC1, BC AC, CC1 AC C,所以BC 平面 ACC1Al.又 DC1 平面 ACC1Al，所以 DC1 BC .由题设知 A1DC1ADC 45 ,所以 CDC1 90 ,即DC1 平面BDC .又DC

16、BC C,所以DCi 平面BDC.又DC1 平面BDC .1,故平面BDC1 平面BDC.（6分）（n ）设棱锥B DACC 1的体积为V1, AC 1 .1 1 21又题意得V 11-0 322又三棱柱ABC A1B1C1的体积V 1,所以（V Vi）:Vi 1:1.故平面BDC 1分此棱柱所得两部分的体积之比为 1:1.（12 分）15 .D【命题立意】本题考查三视图，考查空间想象能力【解题思路】由三视图可知该几何体是一个三棱锥和半个圆锥构成的几何体，所以其侧视图可以是D.16 . 1【命题立意】本题考查圆锥内接于球的问题，考查空间想象能力3【解题思路】 如图，设圆锥底面圆A的半径为r,O

17、为球心，球。的半径为R, OA x,y2 R2,得2_1R - R2r23 .3 -则由题意可知G 一，解得r R ,又由勾股定理得4 R2 1621八，一八 Q，一 一x -R,所以体积较小的高与体积较大的高的比等于217.解：（I）因为 DAB 60 , AB 2AD,由余弦定理得 BD 阴AD .从而BD2AD2 AB2,故 BDAD .（3分）又PD底面ABCD,可得BDPD.所以BD平面PAD ,故PABD.（6（n）如图,作DE PB,垂足为E,已知PD底面 ABCD ,则 PD BC .由（I）BD AD,又BC/AD,所以 BC BD .故BC平面 PBD, BC DE .则DE平面PBC .（9分）由题设知PD 1,则 BD .3,PB 2.根据DEPB PD BD 得 DE3 即棱锥D PBC的高23.2（12 分）18.B【命题立意】本题考查组合体知识及球的表面积求解【解题思路】据题意可得长方体的对角线即球的直径,即 2R ,2a2a2 a2 V6a,一 2 2. 6a2B.故球的表面积S 4 R 4 6 a ,故选219 .【命题立意】本题考查三视图及空间想象能力【解题思路】空间想象易知三棱锥、四棱锥、三棱柱、圆锥的正视图均可能是三角形 【易错