新教材 人教B版高中数学必修第四册 第十一章 立体几何初步 精品教学案(知识点考点汇总)

1、第十一章立体几何初步11.1空间几何体.-1-11.1.1空间几何体与斜二测画法.-1-11.1.2构成空间几何体的基本元素.-12-11.1.3多面体与棱柱.-24-11.1.4棱锥与棱台.-33-11.1.5旋转体.-43-11.1.6祖暅原理与几何体的体积.-54-11.2平面的基本事实与推论.-65-11.3空间中的平行关系.-75-11.3.1平行直线与异面直线.-75-11.3.2直线与平面平行.-84-11.3.3平面与平面平行.-94-11.4空间中的垂直关系.-104-11.4.1直线与平面垂直.-104-11.4.2平面与平面垂直.-116-11.1空间几何体11.1.1空

2、间几何体与斜二测画法学习目标核心素养1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，进一步认识1.通过学习斜二测画法的空间几何体，培养空间想象能力步骤，培养直观想象的数2了解斜二测画法的概念及步骤，能用斜二测画法画学核心素养出简单几何体(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等及其简单组合体)的直观图(重点)3逆用斜二测画法，找出直观图的原图(易错点)2借助斜二测画法，画出直观图，培养数学抽象的核心素养.我们日常所见的物体都占据着空间的一部分我们不考虑其他因素，只考虑一个物体占有的空间形状和大小，这个空间部分可抽象为一个几何体思考：如图所示的几何体，你能画出来吗？1空间几何体如果只考虑一个物体占有的空间形状和大

3、小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体拓展数学上的几何体是一个抽象的概念，不考虑它的物理性质和化学成分，而只考虑它的形状和大小如：一个墨水盒占有的空间部分是一个长方体，一本书占有的空间部分也是一个长方体几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部的部分，如正方体形盒子的外表面不是正方体，而外表面加上它占据的空间才是正方体2直观图立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，习惯上称为空间图形的直观图为了使直观图具有立体感，经常使用斜二测画法来作直观图3用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x轴和y轴，使得它们正方

4、向的夹角为45(或135)(2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x轴平行(或重合)的线段，且长度不变平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y轴平行(或重合)的线段，且长度为原来长度的一半(3)连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线4用斜二测画法作立体图形直观图的步骤(1)在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图(保留x轴与y轴)(2)在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴过x轴与y轴的交点作z轴对应的z轴，且z轴垂直于x轴图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z轴平行(或重合)的线段，且长度不变连接有关线段(3)擦去

5、有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除)5水平放置的圆，其直观图一般用“正等测画法”画成椭圆拓展正等测画法(1)正等测画法一般用于画圆柱、圆锥、圆台、球等(2)正等测画法的规则如下：在已知图形中取相互垂直的轴Ox，Oy，画直观图时，把它们画成对应的轴Ox，Oy，使xOy120(或60)，它们确定的平面表示水平面已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中，分别画成平行于x轴或y轴的线段平行于x轴或y轴的线段，在直观图中长度都不变1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴()()(3)斜二

6、测画法中，平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变()(4)斜二测坐标系取的角可能是135.()提示斜二测画法中，平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确答案(1)(2)(3)(4)2用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A原来相交的仍相交C原来平行的仍平行B原来垂直的仍垂直D原来共点的仍共点B根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直3利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的()C正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3cm，平行于y轴的边长为1.5cm.4.水平放置的

7、ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形ABCeqoac(,)，则ABC是()A锐角三角形C钝角三角形B直角三角形D任意三角形C如图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故ABC是钝角三角形画平面图形的直观图【例1】用斜二测画法画出图中等腰梯形ABCD的直观图(其中O，E分别为线段AB，DC的中点)解(1)画对应的坐标系xOy，使xOy45.1(2)以O为中点在x轴上取ABAB，在y轴上取OE2OE，以E为中点画CDx轴，并使CDCD(3)连接BC，DA，所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图(变条件)若将本例中的等腰梯形ABCD改为正五边形ABCDE，如图所

8、示，那么其直观图如何画出？解画法：(1)在图中作AGx轴于点G，作DHx轴于点H.(2)在图中画相应的x轴与y轴，两轴相交于点O，使xOy45.(3)在图中的x轴上取OBOB，OGOG，OCOC，OHOH，y轴11上取OE2OE，分别过G和H作y轴的平行线，并在相应的平行线上取GA21GA，HD2HD(4)连接AB，AE，ED，DC，并擦去辅助线GA，HD，x轴与y轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE(如图)画平面图形的直观图的技巧(1)在已知图形中建立直角坐标系时，要尽量利用图形中原有的垂直关系和对称性(2)在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中也与x轴或y轴平行(3

9、)若原图形中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，则必须经过这些点作其中一坐标轴的平行线段，使之与另一坐标轴相交，然后确定原图形中点的对应点的位置(4)原图形中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出画空间几何体的直观图【例2】用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图思路探究画轴画底面画侧棱成图解(1)画轴：画x轴、y轴、z轴，使xOy45(或135)，xOz90.(2)画底面：在面xOy内，画出正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA，BB，CC，DD

10、，EE，FF都等于侧棱长(4)成图：顺次连线A，B，C，D，E，F，并加以整理(去掉辅助线将被遮挡的部分改为虚线)就得到正六棱柱的直观图，如图所示简单几何体直观图的画法步骤(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点(4)连线成图跟进训练画出正四棱锥(底面是正方形，侧面是有一个公共顶点且全等的等腰三角形的棱锥)的直观图解(1)画轴画Ox轴、Oy轴、Oz轴，xOy45(或135)，xOz90，如左图所示(2)画底面以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD(3)画顶点在Oz轴上截取OP，使O

11、P的长度是原四棱锥的高(4)成图顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到此四棱锥的直观图直观图的还原和计算问题探究问题1如图，eqoac(,A)BC是水平放置的ABC斜二测画法的直观图，能否判断ABC的形状？提示根据斜二测画法规则知：ACB90eqoac(,，故)ABC为直角三角形2若探究1eqoac(,中)ABC的AC6，BC4，则AB边的实际长度是多少？提示由已知得ABC中，AC6，BC8，故ABAC2BC210.3若已知一个三角形的面积为S，它的直观图面积是多少？1提示原三角形面积为S2ah(a为三角形的底，h为三角形的高)，画直观12112212图后，

12、aa，h2hsin454h，S2ah2a4h42ah4S.【例3】如图所示，ABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形思路探究由直观图还原平面图形的关键：(1)平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段扩大为原来的2倍(2)对于相邻两边不与x，y轴平行的顶点可通过作x轴，y轴平行线变换确定其在xOy中的位置解画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OAOA，即CACA；过B作BDy轴，交x轴于点D，在OA上取ODOD，过D作DBy轴，且使DB2DB；连接AB，BCeqoac(,，得)ABCeqoac(,则)ABC即为ABC对应的平面图形，如图所示如图所示，矩形OABC是水平放

13、置的一个平面图形的直观图，其中OA6cm，CD2cm，则原图形的形状是_菱形如图所示，在原图形OABC中，应有OA42(cm)，CDCD2(cm)，BC，OD2OD222OCOD2CD2422226(cm)，OAOC，故四边形OABC是菱形1直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x轴、y轴平行的直线或线段，且平行于x轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可2直观图与原图面积之间的关系2若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S，则有S4S或S22S.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原

14、图形面积知识：1斜二测画法中的“斜”和“二测”(1)“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x轴成45或135.(2)“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x轴或z轴的线段长度不变；平行于y轴的线段长度变为原来的一半2斜二测画法中的建系原则在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称轴所在直线为坐标轴、图形的对称中心为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等，即使尽量多的点或线落在坐标轴上3直观图中“变”与“不变”(1)平面图形用其直观图表示时，一般来说，平行关系不变(2)点的共线

15、性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)(3)有些线段的度量关系会发生变化这种变化，目的是使图形富有立体感方法：斜二测画法的规则可简记为“横不变，纵折半，平行关系不改变，九十度要画一半”1关于斜二测画法所得直观图的说法，正确的是()A直角三角形的直观图仍是直角三角形B梯形的直观图是平行四边形C正方形的直观图是菱形D平行四边形的直观图仍是平行四边形D由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确2如图所示，四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45的等腰梯形，由斜二测画法画出这个梯形的直观图OABC，则梯形O

16、ABC的高为()222A4B3C2D2A因为四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45的等腰梯形，所以1等腰梯形OABC的高为1，面积S2(13)12，所以等腰梯形OABC的直观2212图的面积S242.设梯形OABC的高为h，则2(13)h2，解得h24.故选Aeqoac(,3)如图，ABCeqoac(,)是ABC的直观图，其中ABACeqoac(,)，那么ABC是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形B由斜二测画法的规则可知ABC为直角三角形，且直角边的长度关系为AC2AB4如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二

17、测画法画出的它的直观图中，顶点B到x轴的距离为_22画出直观图，BC对应BC，且BC1，BCx45，故顶点B到x2轴的距离为2.5画边长为1cm的正三角形的水平放置的直观图解(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x轴与y轴，两轴相交于点O，使xOy45.(2)在x轴上截取OBOC0.5cm，13在y轴上截取OA2AO4cm，连接AB，ACeqoac(,，则)ABC即为正三角形ABC的直观图11.1.2构成空间几何体的基本元素学习目标1.以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系(重点)2会用数学符号表示

18、空间点、线、面以及它们之间的位置关系(重点)3理解平面的无限延展性，学会判断平面的方法(难点)核心素养1.通过认识构成几何体的基本元素的学习，体现了数学抽象的核心素养2借助空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，培养直观想象的核心素养.1用运动的观点理解空间基本图形之间的关系(3)面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体拓展1立体几何中的平面是从实际生活中抽象出来的，它具有无限延展性，是理想的、处处平直的，是不可度量的，它没有厚度，没有大小，也没有面积、体积、质量等，不能说两个平面重叠在一起就变厚了而立体几何中的曲面就不是处处平直的2立体几何中的平面与平面几何中

19、的平面图形是有区别的平面图形如三角形、正方形、梯形等是有大小之分的而通常情况下，可借助平面图形表示平面，但是要把平面图形想象成是无限延展的2构成空间几何体的基本元素点、线、面是构成空间几何体的基本元素3点、直线、平面之间的位置关系及其表示方法(1)直线在平面内的概念如果直线l上的所有点都在平面内，就说直线l在平面内，或者说平面经过直线l.(2)常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系文字语言A在l上A在l外A在内A在外l在内l在外l，m相交于Al，相交于A，相交于l符号语言AlAlAAlllmAlAl图形语言4.空间两条直线的位置关系位置关系相交平行特点同一平面内，有且只有一个公共点同一平

20、面内，无公共点异面直线既不平行也不相交，无公共点5.直线与平面的位置关系位置关系直线在平面内直线在平面外直线与平面相交直线与平面平行公共点符号表示无数个a1个aA0个a图形表示6.两个平面的位置关系位置关系图示平行相交表示法公共点个数0个a无数个7.直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面相交于一点A，且对平面内任意一条过点A的直线m，都有lm，则称直线l与平面垂直(或l是平面的一条垂线，是直线l的一个垂面)，记作l，其中点A称为垂足(2)点到平面的距离：由长方体可以看出，给定空间中一个平面及一个点A，过A可以作而且只可以作平面的一条垂线如果记垂足为B，则称B为A在平面内的射影(也称

21、为投影)，线段AB为平面的垂线段，AB的长为点A到平面的距离(3)直线到平面的距离与两平行平面之间的距离当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分(2)直线的移动只能形成平面(3)平静的太平洋就是一个平面()()()提示(1)正确(2)直线移动可能形成曲面，故错误(3)平面是没有大小的，故错误答案(1)(2)(3)2下列关于长方体的叙述不正确的是()A将一个矩形沿竖直方向平移一段距离

22、可形成一个长方体B长方体中相对的面都相互平行C长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离D两底面之间的棱互相平行且等长AA中只有移动相同距离才能形成长方体3(一题多空)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB4，BC3，AA15，则直线BC到面A1B1C1D1的距离为_；直线BC1到面ADD1A1的距离为_；面ABB1A1与面DCC1D1的距离为_543直线BC到面A1B1C1D1的距离为BB1AA15；直线BC1到面ADD1A1的距离为AB4；面ABB1A1到面DCC1D1的距离为BC3.(4如图，在正四棱柱侧面为矩形，底面为正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是

23、AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是_(1)EF与BB1垂直；(2)EF与BD垂直；(3)EF与CD异面；(4)EF与A1C1异面(4)连接A1B(图略)，E，F分别是AB1，BC1的中点，EFeqoac(,是)A1BC1的中位线，EFA1C1，故(1)(2)(3)正确，(4)错误图形语言、文字语言、符号语言的相互转化【例1】(1)点P在直线a上，直线a在平面内可记为()APa，aCPa，aBPa，aDPa，a(2)用符号表示下列语句，并画出图形平面与相交于直线l，直线a与，分别相交于A，B点A，B在平面内，直线a与平面交于点C，C不在直线AB上思路探究直线和平面看作点的集合类比元素与

24、集合、集合与集合之间关系的表示方法进行表示(1)A由点与直线的位置关系表示方法及直线与平面之间位置关系的表示可知点P在直线a上表示为Pa，直线a在平面内可表示为a，故A正确(2)解：用符号表示：l，aA，aB，如图用符号表示：A，B，aC，CAB，如图三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示(2)要注意符号语言的意义如点与直线的位置关系只能用“”或“”，直线与平面的位置关系只能用“”或“”提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时要注意实线和虚线的区别跟进训练1已知如图，试用适

25、当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：(1)点C与平面：_.(2)点A与平面：_.(3)直线AB与平面：_.(4)直线CD与平面：_.(5)平面与平面：_.答案(1)C(2)A(3)ABB(4)CD(5)BD从运动观点认识几何体【例2】如图所示，请画出中线段AB绕着直线l旋转一周形成的空间图形思路探究线的运动可以形成平面或曲面，观察AB和l的位置关系及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的图形解本例若改为AB与l有如图所示的关系，请画出旋转一周形成的几何图形解用运动观点认识几何体(1)点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，如果直线与旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交

26、，那么形成圆锥面(2)在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可以借助身边的实物来模拟长方体中基本元素之间的关系探究问题1射线运动后的轨迹是什么？提示水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周，可形成平面其它情况，可形成曲面2如图所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举出来提示面可以列举如下：平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，平面B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A2B2C2D2；线可以列举如下：直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1，直线A2B2，直线C2D2等；点可以列举如下：点A，

27、点A1，点B，点B1，点C，点C1，点D，点D1，点A2，点B2，点C2，点D2；它们共同组成了课桌这个几何体【例3】在长方体ABCD-ABCD中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，(1)与直线BC平行的平面有哪几个？(2)与平面BC平行的平面有哪几个？思路探究观察图形，结合定义，利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系解(1)与直线BC平行的平面有平面ABCD，平面ADDA.(2)与平面BC平行的平面为平面AD.1在本例中其他条件不变，(1)与直线BC垂直的平面有哪几个？(2)与平面BC垂直的平面有哪几个？解(1)有平面AB，平面CD.(2)有平面A

28、B，平面AC，平面CD，平面AC2本例中与棱AD相交的棱有哪几条？它们与棱AD所成的角是多少？解有AA，AB，DD，DC.由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱AD所成角都是90.3本例中长方体的12条棱中，哪些可以用来表示平面AB与平面DC之间的距离？解AD，BC，BC，AD的长均可以表示1平行关系的判定(1)直线与直线的平行关系：如图，在长方体的12条棱中，分成“长”“宽”“高”三组，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“长”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“宽”AD，BC，A1D1，B1C1相互平行(2)直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，若棱所在的直

29、线与某一平面不相交，就平行(3)平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行2垂直关系的判定(1)直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，若直线与平面有且只有一个公共点，则二者垂直(2)平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共点，则二者垂直求点面距、线面距、面面距【例4】已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点C到平面BDD1B1的距离为()A1C22B2D23B如图，连接AC交BD于点O，AC平面BDD1B1，11CO即为点C到平面BDD1B1的距离又CO2AC222222，点C到平面BDD1B1的距离为2.求点面距、线面距、面面距的方法(1)点面距：求

30、点与面的距离的方法是过点作面的垂线，垂线段的长即为点面距(2)线面距、面面距：求线面距、面面距的方法是转化成求点面距，转化时注意点的位置的选取跟进训练2(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，AB的中点，AB4，则MN与平面BCC1B1的距离为()A4C2B22D2(2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，BB1，CC1，DD1的中点，AA14，则平面ABCD与平面EFGH的距离为_(1)C(2)2(1)如图，MN平面BCC1B1，MN与平面BCC1B1的距离为N到平面BCC1B1的距离又N到平面BCC1B11的距离为NB2AB2，MN与

31、平面BCC1B1的距离为2.11(2)平面ABCD与平面EFGH的距离为2AA1242.知识：1根据点、线、面之间的语言描述能够正确的使用符号语言表示它们之间的位置关系2在空间中，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系：相交直线与直线的位置关系平行异面直线在平面内直线与平面的位置关系直线与平面相交直线与平面平行相交平面与平面的位置关系平行方法：判断两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义，在很多情况下，定义就是一种常用的判断方法1在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱AA1异面的棱有()A8条B6条C4条D2条C正方体共有12条棱，其中与AA1平行的有BB1，CC1，

32、DD1，共3条，与AA1相交的有AD，AB，A1D1，A1B1，共4条，因此与棱AA1异面的棱有11344(条)，故选C2能正确表示点A在直线l上且直线l在平面内的是()C选项A只表示点A在直线l上；选项D表示直线l与平面相交于点A；选项B中的直线l有部分在平行四边形的外面，所以不能表示直线在平面内，故选C3若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A异面或平行C异面B异面或相交D相交、平行或异面D可参考长方体中各条线的位置关系判断4(一题两空)线段AB长为5cm，在水平面上向右移动4cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3cm后记为CD，再将CD沿水平方向向左移动4c

33、m后记为AB，依次连接构成长方体ABCD-ABCD.(1)平面ABBA与平面CDDC间的距离为_cm；(2)点A到平面BCCB的距离为_cm.(1)4(2)5如图，在长方体ABCD-ABCD中，AB5cm，BC4cm，CC3cm，平面ABBA与平面CDDC之间的距离为4cm；点A到平面BCCB的距离为5cm.5如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面位置关系如何？试画图分析解这两个平面平行(如图)或相交(如图)11.1.3多面体与棱柱学习目标1.了解多面体的定义及其分类(重点)核心素养1.通过多面体的定义与分类学2理解棱柱的定义和结构特征(重点)习，培养数学抽象的核心素

34、养3了解多面体表面积的概念，知道棱柱2借助棱柱结构特征的学习，表面积的计算公式，能用公式解决简单的培养直观想象的数学核心素养.实际问题(难点)日常生活中的很多物体(如各式各样的包装盒)都可以抽象成多面体思考：(1)你能总结出一个几何体是多面体的充要条件吗？(2)你能对常见几何体进行合理分类吗？1多面体(1)定义由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体(2)相关概念(如图所示)多面体的面、棱与顶点围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点多面体的面对角线与体对角线是一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称

35、其为多面体的面对角线；连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线如上图所示的多面体中，AC是一条面对角线，而BD一条体对角线多面体的截面与表面积一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，称为这个几何体的一个截面，如上图中多面体的一个截面ACE.多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积(或全面积)(3)凸多面体把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则称这样的多面体为凸多面体思考1：长方体、正方体是多面体吗？提示是长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均满足多面体的定义思考2：最简单的多面体由几个面所围成？提示4个(4)正多面体

36、各个面都是全等的正多边形且过各顶点的棱数都相等的多面体一般称为正多面体拓展已知正多面体顶点数V、面数F、棱数E之间满足关系VFE2.2棱柱(1)定义如果一个多面体有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱(2)图示及相关概念棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的底面(底面水平放置时，分别称为上底面、下底面)，其他各面称为棱柱的侧面，两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱(3)棱柱的表示棱柱可以用底面上的顶点来表示，也可用表示它的体对角线来表示，如上图所示的棱柱可表示为棱柱ABCDEF-ABCDEF，此棱柱也可表示为棱柱AD.(4)棱柱的高与侧面积过棱柱一个

37、底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高，棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积(5)棱柱的分类特别地，底面是正多边形的棱柱称为正棱柱(6)平行六面体与直平行六面体底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形(2)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形(3)多面体的表面积等于各个面的面积之和(4)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等答案(1)(2)(3)(4)2下列几何体中是棱柱的个数有()()()()()A5

38、个B4个C3个D2个D由棱柱的定义知是棱柱，选D3下面没有体对角线的一种几何体是()A三棱柱B四棱柱C五棱柱D六棱柱A三棱柱只有面对角线，没有体对角线4(一题多空)一个棱柱至少有_个面；面数最少的棱柱有_个顶点，有_条棱569面数最少的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱棱柱的结构特征【例1】下列关于棱柱的说法正确的个数是()四棱柱是平行六面体；有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；底面是正多边形的棱柱是正棱柱A1B2C3D4A四棱柱的底面可以是任意四边形；而平行六面体的底面必须是平行四边

39、形，故不正确；说法就是棱柱的定义，故正确；对比定义，显然不正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故不正确棱柱结构特征的辨析技巧(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除提醒：判断一个说法错误时，才用举反例的方法跟进训练1如图所示为长方体ABCD-ABCD，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱解截面BCFE右侧部分

40、是棱柱，满足棱柱的定义，它是三棱柱BEBCFC，eqoac(,其中)BEBeqoac(,和)CFC是底面，EF，BC，BC是侧棱截面BCFE左侧部分也是棱柱，它是四棱柱ABEADCFD，其中四边形ABEA和四边形DCFD是底面，AD，EF，BC，AD为侧棱多面体的表面展开图【例2】某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()ABCDA两个不能并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A也可通过实物制作检验来判定多面体展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模

41、型在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图跟进训练2下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是()ABCDC将四个选项的平面图形折叠，可知C中的图可复原为正方体多面体或棱柱的计算问题【例3】如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB2，AA12，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与

42、AA1的交点记作M.求：(1)三棱柱侧面展开图的对角线长；(2)从B经M到C1的最短路线长及此时AM的值A1M解将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1B(如图)A1MAM，即AM1.72棱柱的侧面积S36472(cm2)(1)矩形BB1B1B的长BB6，宽BB12，三棱柱侧面展开图的对角线长为6222210.(2)由侧面展开图可知：当B，M，C1三点共线时，由B经M到C1的路线最短，最短路线长为BC1422225，显然RtABMRteqoac(,A)1C1M，A1M求简单几何体表面上两点间最短距离的步骤此类问题一般将立体图形(或其一部分)展开为平面，使立体几何问题平面化其基本步骤是：(1

43、)将立体图形展开为平面图形(2)在平面图形上找出表示最短距离的线段(3)计算此线段的长跟进训练3一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6cm,4cm，则该棱柱的侧面积为_cm2.侧知识：1在理解的基础上，牢记多面体与棱柱的有关概念，能根据定义判断几何体的形状2直棱柱的特征(1)侧棱垂直于底面；(2)侧面都是矩形；(3)侧面垂直于底面；(4)侧棱长等于直棱柱的高；(5)侧面展开图是矩形，此矩形的面积即为棱柱的侧面积；(6)两底面与平行于底面的截面全等正棱柱除了满足直棱柱的特征，还具有的特征(1)侧面都是全等的矩形；(2)底面是全等的正多边形3几种常见四棱柱的关系方法：1直棱柱的

44、侧面积的求法直棱柱的侧面展开图是矩形，所以S直棱柱侧面积ch(c为底面多边形周长，h为侧棱长(棱柱的高)2斜三棱柱的侧面积的两种求法(1)分别求各侧面的面积，然后求和在求各侧面的面积时，首先要判断出各侧面的具体形状及与面积有关的大小尺寸，然后求出它们的面积并求和(2)作斜棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)，则斜棱柱的侧面积等于直截面的周长与侧棱长的乘积3棱柱的表面积(全面积)的求法S表面积S侧面积2S底面(S底面为底面多边形的面积)1下列说法中正确的是()A直四棱柱是直平行六面体B直平行六面体是长方体C六个面都是矩形的四棱柱是长方体D底面是正方形的四棱柱是直四棱柱C直四棱柱的底面不一定是平行四边

45、形，故A错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错2下列选项中的图形经过折叠不能围成棱柱的是()S1248.D观察所给的图形，A，B，C选项均可围成棱柱，D选项围成的几何体是棱柱缺少一个面，无法围成棱柱3底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是()A2B4C6D8D由已知得底面边长为1，侧棱长为622.侧4有一个正方体的骰子每一面有一个英文字母如图是从3种不同角度看同一个骰子的情况，则H对面的字母是_O由图可知与H相邻的四个面的字母分别是E，S，P，D，故H的对面的字母为O.5如图所示的三棱柱ABC-

46、A1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由解截面以上的几何体是三棱柱AEF-A1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFC-B1HGC1.11.1.4棱锥与棱台学习目标(1.了解棱锥、棱台的定义和结构特征重点)2掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质(难点)3知道棱锥、棱台的表面积计算公式，能用公式解决简单的实际问题(重点、难点)核心素养1.通过棱锥、棱台的定义及结构特征的学习，培养数学抽象的核心素养2借助棱锥、棱台中的有关计算问题，提升数学运算的核心素养.我们见

47、到的很多建筑物呈棱锥形状思考：观察棱锥的结构，你能给出一个几何体是棱锥的充要条件吗？1棱锥(1)棱锥的定义、分类、图形及表示棱锥如果一个多面体有一个面是多边形，其余定义各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥底面(底)：是多边形的那个面；侧面：有公共顶点的各三角形；侧棱：相邻两侧面的公共边；顶点：各侧相关概念面的公共顶点；高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)；侧面积：所有侧面的面积之和图形及表示如图棱锥可记作：棱锥S-ABCD或棱锥S-AC依据：底面多边形的边数；分类举例：三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)(2)正棱锥的有关概念及其特征如果棱锥的

48、底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥，可以看出，正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高2棱台(1)棱台的定义、分类、图形及表示棱台图形及表示一般地，用平行于棱锥底面的平面去定义截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台上底面：原棱锥的截面；相关概念下底面：原棱锥的底面；侧面：其余各面；如图棱台可记作：棱台侧棱：相邻两侧面的公共边；ABCD-ABCD顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点；高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)；侧面积：所有侧面的面积之和依据：由几棱锥截得

49、；分类举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)(2)正棱台的有关概念及其特征由正棱锥截得的棱台称为正棱台，不难看出，正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥(2)棱台的侧棱长都相等(3)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的答案(1)(2)(3)2下面四个几何体中，是棱台的是()()()()ABCDC棱台的侧棱延长后相交于同一点，故C正确3下面描述中，不是

50、棱锥的结构特征的为()A三棱锥的四个面是三角形B棱锥都是有两个面互相平行的多边形C棱锥的侧面都是三角形D棱锥的侧棱相交于一点B根据棱锥的结构特征，知棱锥中不存在互相平行的多边形，故B错4已知正四棱锥的底面边长是2，高为7，则这个正四棱锥的全面积是_824如图所示，由题意，得AO7，OB1，则ABAO2OB222，1又QR2，所以eqoac(,S)AQR222222，则这个正四棱锥的全面积为22422824.棱锥的结构特征【例1】有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？解不一定如图所示，将正方体ABCD-A1B1C1D1截去两个三棱锥A-A1B1D1和C-B1C1D1，得如图所示的

51、几何体，其中有一个面ABCD是四边形，其余各面都是三角形，但很明显这个几何体不是棱锥，因此有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥棱锥的三个本质特征(1)有一个面是多边形(2)其余各面是三角形(3)这些三角形有一个公共顶点跟进训练1观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是()A是棱柱C不是棱锥B显然是棱锥B不是棱锥D是棱台棱台的结构特征【例2】下列关于棱台的说法中，正确说法的序号是_(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱台的各侧棱延长后必交于一点；(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥(2)(3)

52、(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；(3)正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；(4)错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥棱台结构特征问题的判断方法(1)举反例法结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某些说法不正确(2)直接法定底面看侧棱棱锥只有一个面是多边形，此面即为底面相交于一点棱台两个互相平行的面，即为底面延长后相交于一点跟进训练2判断图中的几何体是不是棱台？并说明为什么？解对于(1)(3)，几何体的“侧棱”不相交于一点，不

53、是棱台；对于(4)，几何体不是由平行于棱锥底面的平面截得的几何体，从而(4)不是棱台；对于(2)，符合棱台的定义几何体的计算问题探究问题1计算正三棱锥中底面边长、斜高、高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？提示常用到的直角三角形有：由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形；由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形2其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？提示是3正棱台中的计算呢？提示根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解【例3】正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为23，求正三棱锥的高思路探究正三棱锥侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形

54、勾股定理求解解作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作ODAB于点D，则点D为AB的中点故AO3.3在RtADO中，AD2，OAD30，32cosOAD在RtSAO中，SA23，AO3，故SOSA2AO23，其高为3.1将本例中“侧棱长为23”，改为“斜高为23”，则结论如何？13解连接SD(图略)，在RtSDO中，SD23，DO2AO2，故SOSD2DO23351242.2将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？解如图正四棱锥S-ABCD中，SO为高，连接OCeqoac(,则)SOC是直角三角形，32由题意BC3，则OC2，又因为SC23，则SOSC2OC2153022.9122故其高

55、为30.2正棱锥、正棱台中的计算技巧(1)正棱锥中的直角三角形的应用已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高PO，底面为正方形，作PECD于E，则PE为斜高斜高、侧棱构成直角三角形，如图中RtPEC斜高、高构成直角三角形，如图中RtPOE.侧棱、高构成直角三角形，如图中RtPOC(2)正棱台中的直角梯形的应用已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1B1C1于E1，OEBC于E，则E1E为斜高，斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1.斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO.高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1.知识：1棱柱、棱台、棱锥关系图2

56、棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较结构几何体棱柱棱锥棱台底面侧面侧棱平行于底面的截面过不相邻两侧棱的截面全等的多边形平行四边形平行且相等与两个底面全等的多边形平行四边形多边形三角形相交于顶点与底面相似的多边形三角形相似的多边形梯形延长线交于一点与两个底面相似的多边形梯形方法：棱锥、棱台中的计算问题的处理方法(1)求解此类问题的关键有两点：一是转化思想的应用；二是构造直角三角形、直角梯形立体几何问题的求解一般都是将问题转化为平面几何问题，用求解平面几何常用的方法进行求解(2)正棱锥、正棱台的侧面积和表面积问题，经常涉及侧棱、高、斜高、底面边心距和底面外接圆半径五个量之间的关系，即由侧棱、高、底面外接

57、圆半径所组成的直角三角形、直角梯形或由高、斜高、底面边心距所组成的直角三角形、直角梯形求出所需要的量，从而使问题得以解决.1在三棱锥A-BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为()A1个B2个C3个D4个D在三棱锥A-BCD中，任何一个三角形都可作为棱锥的底面，所以有4个2下列说法正确的是()A底面是正多边形的棱锥是正棱锥B各侧棱都相等的棱锥为正棱锥C各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥D底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥D对于A，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故A说法错误；对于B，不能保证底面为正多边形，故B说法错误；对于C，不能保证这些全等的等

58、腰三角形的腰都作为侧棱，故C说法错误只有D说法正确3如图，在三棱台ABCABC中，截去三棱锥AABC，则剩余部分是()A三棱锥C三棱柱B四棱锥D三棱台B剩余几何体为四棱锥ABCCB.4已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为_148正四棱锥的斜高h52324，S侧426448.5画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体；(2)三个三棱锥，并用字母表示解画三棱台一定要利用三棱锥(1)如图所示，三棱柱是棱柱ABCABC，另一个多面体是CBBCCB.(2)如图所示，三个三棱锥分别是AABC，BABC，CABC11.1.5旋转体学习目标核心素养1.了解圆柱、圆锥、圆台、

59、球的定义(重点)(2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征重1.通过圆柱、圆锥、圆台、球的定点)3.能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体(难点)4.会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题(难点)义及结构特征的学习，培养直观想象的数学核心素养.2.借助旋转体的轴截面的学习，提升数学运算的数学核心素养.从我们常见的一些物体中可以抽象出圆柱、圆锥、圆台和球思考：你能总结出形成圆柱、圆锥、圆台和球的方式吗？1圆柱的结构特征定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体轴：旋转轴叫做圆柱的轴图示及相关概念2.圆锥的结构特征高：在轴上的边(或它的长度)底面：垂

60、直于轴的边旋转而成的圆面侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边定义图示及相关概念以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体轴：旋转轴叫做圆锥的轴高：在轴上的边(或它的长度)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边3.圆台的结构特征以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，定义将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体轴：旋转轴叫做圆台的轴高：在轴上的边(或它的长度)底面：垂直于轴的边旋转而成的图示及相关概念圆面侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面母线：