差值模型实验课

1、数学模型实验课（四）数学模型实验课（四） 一一. 插值（插值（Interpolation) 1. 一般插值：一般插值： interp1(x,y,xi,linear) 对数据（对数据（xi, yi）使用线性的方法在点）使用线性的方法在点 xi 插值插值. interp2(x,y,z,xi,yi,spline) 对数据（对数据（xi, yi,zi）使用样条在网格）使用样条在网格 X,Y 上插值上插值. 方法：方法：spline, cubic, nearest, linear 例：例： x=1:10;y=sin(x);xi=0:0.25:10; yi=interp1(x,y,xi,linear);p

2、lot(x,y,*,xi,yi) 2. 样条插值样条插值 spline(x,y,xi) 例例 1. x=1:10;y=sin(x);xx=0:0.25:10; yy=spline(x,y,xx);plot(x,y,*,xx,yy) 例例 2. x=-4:4; y=0,.15,1.12,2.36,2.36,1.46,.49,.06,0; cs=spline(x,0,y,0);xx=linspace(-4,4,101); plot(x,y,*,xx,ppval(cs,xx),-)0246810-1-0.500.511.5-4-3-2-101234-0.500.511.522.53例例 3.7 一水

3、库上游河段降暴雨一水库上游河段降暴雨.，根据预报测，根据预报测算上游流入水库的流量为算上游流入水库的流量为Q(t) (102立方米立方米/秒秒) ：t (时时) 8 12 16 24 30 44 48 56 60Q（t) 36 54 78 92 101 35 25 16 13 利用这个预报值估计利用这个预报值估计14：30 和和 20：30 时时上游流入水库的流量。上游流入水库的流量。假设假设: 1 已知数据准确。已知数据准确。 2 相邻两个时刻之间的流量没有突然的变化。相邻两个时刻之间的流量没有突然的变化。 t=8,12,16,24,30,44,48,56,60; q=36,54,78,92

4、,101,35,25,16,13; t1=8:0.5:60; q1=interp1(t,q,t1,linear); plot(t,q,b,t1,q1); hold on; q2=interp1(t,q,t1,spline); plot(t,q,b,t1,q1,t1,q2,r) q1 q2 二二. 三维图形三维图形 plot3: 三维点、线图三维点、线图 contour: 等高线图等高线图 (contour3) mesh: 网格表面图网格表面图 (meshc,meshz) surf: 网格阴影图网格阴影图 (surfc, surfl) 例例 1 t=0:pi/50:10*pi;x=sin(t);

5、y=cos(t); plot3(x,y,t)-1-0.500.51-1-0.500.51010203040 例例2 n=-8:0.5:8;m=n; x=ones(size(m)*n;y=m*ones(size(n); t=sqrt(x.2+y.2)+eps;z=sin(t)./t; mesh(z) (meshc, meshz, surfc, surfl, contour, contour3) mesh(z);hold on; contour(z) 画多个图用画多个图用 figure(1),figure (2)010203040010203040-0.500.51例例3.6 地形模型：平面区域上

6、的海拔高程地形模型：平面区域上的海拔高程 h(x, y) xy 0 400 800 1200 1600 2000 0 370 470 550 600 670 690 400 510 620 730 800 850 870 800 650 760 880 970 1020 1050 1200 740 880 1080 1130 1250 1280 1600 830 980 1180 1320 1450 1420 2000 880 1060 1230 1390 1500 1500 给出这个平面区域内地形的模型。给出这个平面区域内地形的模型。 3. 插值技术插值技术 x=0:4:20;%给出给出X轴

7、的坐标轴的坐标 y=0:4:20; %给出给出Y轴的坐标轴的坐标 z=37 51 65 74 83 88; 47 62 76 88 98 106; ; 69 87 105 128 142 150;%给出（给出（x，y）点的高程）点的高程 X，Y=meshgrid(0:1:20,0:1:20);% 给出新的插值坐标给出新的插值坐标 Z=interp2(x,y,z,X,Y,spline);%在新的坐标上进行样条插在新的坐标上进行样条插值值 clf;%清空图形坐标系中的内容清空图形坐标系中的内容 axis xy;%设置坐标的单位一致设置坐标的单位一致 mesh(X,Y,Z);%用网格画出插值的结果用

8、网格画出插值的结果 hold on%打开在同一坐标系中画图的功能打开在同一坐标系中画图的功能 contour(X,Y,Z);%画平面等高线画平面等高线 contour3(X,Y,Z);%画三维等高线画三维等高线 1994年建模年建模 A 题题 逢山开路逢山开路要在一山区修建公路，首先测得一地点的高程，数据见表要在一山区修建公路，首先测得一地点的高程，数据见表1（平（平面区域面区域0 x5600, 0y4800，表中数据为坐标点的高程，单位：米）。数据显示：，表中数据为坐标点的高程，单位：米）。数据显示：在在y = 3200 处有一东西走处有一东西走向的山峰向的山峰 ；从坐标（；从坐标（2400

9、，2400）到（）到（4800，0）有一西）有一西北北 东南走向的山谷；在（东南走向的山谷；在（2000，2800）附近有一山口湖，）附近有一山口湖，其最高水位略高于其最高水位略高于1350 米，雨季在山谷中形成一溪流。经调查米，雨季在山谷中形成一溪流。经调查知，雨量最大时溪流水面宽度知，雨量最大时溪流水面宽度W 与（与（ 溪流最深处的）溪流最深处的） x 坐标坐标的关系可近似表示为的关系可近似表示为W( x)= (x/21200) 3/ 4 + 5 (2400 x 4000)。公路从山脚（公路从山脚（0，800）处开始，经居民点（）处开始，经居民点（4000，2000）至）至矿区（矿区（20

10、00，4000）。已知路段工程成本及对路段坡度）。已知路段工程成本及对路段坡度（上（上升高程与水平距离之比）的限制如表升高程与水平距离之比）的限制如表2。1） 试给出一种线路设计方案，包括原理、方法及比较精确的线试给出一种线路设计方案，包括原理、方法及比较精确的线路位置（含桥梁、隧道），并估算该方案的总成本。路位置（含桥梁、隧道），并估算该方案的总成本。2） 如果居民点改为如果居民点改为3600 x 4000, 2000 y 2400 的的居民区，公路只须经过民区即可，那么你的方案有什么改变。居民区，公路只须经过民区即可，那么你的方案有什么改变。4800 1350 1370 1390 1400

11、 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 1504800 1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 1504400 1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 210 4400 1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 210 4000 1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280

12、1200 1080 940 780 620 460 370 3504000 1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 3503600 1420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 5003600 1420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 5003200 1430 1450 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1

13、600 1600 1550 1500 1500 1550 15503200 1430 1450 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500 1550 15502800 950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050 1150 12002800 950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050 1150 12002400 910 1090 1270 1500 1200 1100

14、1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 11002400 910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 11002000 880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900 930 9502000 880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900 930 9501600 830 980 1180 1320 1450 1420 140

15、0 1300 700 900 850 840 380 780 7501600 830 980 1180 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 840 380 780 7501200 740 880 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780 750 650 5501200 740 880 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780 750 650 550800 650 760 880 970 1020 1050 1020 830 800 700 300 500 5

16、50 480 350800 650 760 880 970 1020 1050 1020 830 800 700 300 500 550 480 350400 510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 320400 510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 3200 370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 2500 370 470 550 600 670 690 670 620 580

17、 450 400 300 100 150 250Y/X 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 5600Y/X 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 5600山区地形高程表山区地形高程表工程种类工程种类 一般路段一般路段 桥梁桥梁 隧道隧道工程成本（元工程成本（元/米）米） 300 2000 1500（长度（长度300 米）；米）；3000（长度（长度300 米）米）对坡度对坡度的限制的限制 0.125 = 0 0.100 作业作业 1. 生物学家认为，正在休息的温血动物体生物学家认为，正在休息的温血动物体内的能量就是为了保持其体温，内的能量就是为了保持其体温， 体内的能量与通过心脏的血流量成正比，体内的能量与通过心脏的血流量成正比， 建立一个数学模型将通过心脏的血流量与体建立一个数学模型将通过心脏的血流量与体重联系起来。重联系起来。 进一步建立心搏率与体重的关系，