麻省理工学院 (2)

1、.麻省理工學院物理系物理8.033 2003年11月21日習題集10提交日期：12月5日，星期五（下午4:30前）相關閱讀：Taylor和Wheeler，探索黑洞，廣義相對論簡介第2，3，4，5章及專題D。只需閱讀與課上講過的內容相對應的材料。對專題E也應有所認識，這個問題將在最後一節課上做簡單介紹。提示：期末考試將於12月18日星期四1:30-4:30舉行。欲知詳情請參看8.033網頁。習題1自由下落的升降艙中的潮汐加速度考慮一個在一品質為M的球對稱星體的引力場中沿徑向自由下落的封閉太空艙。在某一給定時刻，太空艙的中心處在距星體中心為r處，且太空艙的大小與r相比很小。定義一個原點在太空艙中心

2、的笛卡爾坐標系。則y座標即為沿半徑方向（r）到原點的距離，而x座標即為沿垂直於半徑方向距原點的距離。證明對x<<r且y<<r，自由試驗粒子相對於(0,0)處觀察者的加速度由下式給出：考慮處在(0,+y),(0,-y),(x,0)和(-x,0)位置處的4個試驗粒子。計算每個粒子相對於(0,0)的初始運動（粒子尚未移動太遠）並描畫出它們的軌跡。習題2由G10和G11得出g00和g11正如列印稿上所示，對GR的愛因斯坦場方程為：其中G是愛因斯坦張量，T是應力能量張量，G（無腳標）是牛頓引力常量。為得出在球對稱品質分佈（例如中子星或黑洞）外的區域得出時空度規，愛因斯坦張量變為：

3、其中度規具有以下形式：e2和e2為兩個（僅）關於r的未知函數的簡便標記。在品質分佈外區域，令應力-能量張量等於零，並用G10和G11解出e2和e2。令G00方程中的積分常數為2GM/c2，G11方程中的積分常數為0。習題3rshell與r的比較計算並繪出殼半徑rshell與座標半徑r。仿照Taylor & Wheeler 第2-28頁例題2上的積分過程。從2M到r對r積分，從r0到rs對rshell積分，其中r0是任意一個起始值。繪出(rs - r0)與r，從r=2M開始到足夠大的r值，以使能夠發現漸近行為。注意：在該題中運用了G=1且c=1的自然單位制。習題4引力紅移一個鐵射線源發射

4、6keV的X射線束。假設該射線源處在一個品質M=2.8×1030kg，半徑10km的中子星表面。假設產生X射線的原子躍遷不因強引力場或可能存在的強磁場而顯著改變。（1）計算這些X射線由一個距離很遠的觀察者（例如地球上的天文學家）測得的能量。（忽略地球本身的引力勢。）（2）假設另一個靜止觀察者Or處在距中子星中心r>10km處。得出該觀察者測得的X射線束（從表面發出）的能量Er的運算式。（3）為報告觀測結果，觀察者Or將能量為Er的X射線發送回地球，那麼觀察者測得的能量是多少？習題5全球衛星定位系統（GPS）從Taylor & Wheeler 第A-3頁課題A中方程（3）

5、出發，該方程將會在課上得出。繼續回答“Queries”1到9。習題6一個稀薄黑洞Taylor和Wheeler，探索黑洞，廣義相對論簡介第2-46頁習題2-5。習題7繞黑洞的軌道週期考慮兩個黑洞，品質分別為M1=1M且M2=106M（其中M=2×1030kg）。1求出每個黑洞的史瓦西半徑（Rs2GM/c2）。2我們將在課上正式證明，如果運用書架座標r和t ：(2/P)2=GM-3，其中P是軌道週期，那麼開普勒第三定律（至少對圓軌道）仍然對史瓦西度規中軌道成立。對任意品質（以M為單位表示）的星體，求出恰在其史瓦西半徑的r處的圓軌道的軌道週期（以秒為單位）。題中給出的兩個黑洞對應的軌道週期

6、是多少？習題8落向黑洞Taylor和Wheeler，探索黑洞，廣義相對論簡介第3-30頁，第3章，習題7。習題9殼上的引力加速Taylor和Wheeler，探索黑洞，廣義相對論簡介第3-31頁，第3章，習題9。習題10將石塊扔向黑洞Taylor和Wheeler，探索黑洞，廣義相對論簡介第3-25頁，第3章，例題3。仿照得出方程（37）至（42）的步驟。習題11與地球同步的衛星軌道某衛星上時鐘與固定在地球上的時鐘走得一樣快，求此衛星的軌道半徑r。令軌道速度為v=(GM/r)1/2，其中M是地球品質。你為什麼會猜測GPS衛星會處在較高軌道上？其他可能有用的資訊：Rearth=6378km；Mear

7、th=6×1024kg；地球表面的轉速Rearth處軌道速度的6%。習題12殼觀測者測得的能量從史瓦西度規中的普遍運算式出發：並證明仔細觀察所有項，並證明在方括號()中的項實際上就是，則最後，將此關係與守恆的能量E的運算式聯立：得出E與Eshell的關係如下：其中殼觀測者測出的相對論性能量Eshellm0s。習題13史瓦西度規中的光速仿照Taylor和Wheeler探索黑洞，廣義相對論簡介中第5-8頁框中的習題史瓦西幾何中光的運動中方程（14）和（15）的得出。（1）從這兩個方程得出第5-7頁方程5-16。（2）對光子純半徑方向的運動，證明書架系中的光速為：（3）在弱場極限下，得出記

8、錄員測得光子從r=108m到r=1010m的沿半徑（相對於一個品質為1M的中心星體）運動所需時間。光子該過程所需時間比沒有星體所需時間長多少？習題14用黑洞進行時間旅行：穩定的圓形軌道Taylor和Wheeler，探索黑洞，廣義相對論簡介第5-32頁，第4章，習題7。習題15非相對論開普勒軌道我們證明過在非常弱的場的極限下（開普勒問題），守恆的能量的方程為：其中L是與軌道相關的角動量常量，E對於封閉軌道為一個負值，m是軌道粒子的品質。據環繞天體的最近與最遠距離發生在dr/dt=0處。它們為代表常量E的直線與有效勢曲線的交點。解二次方程得出：首項定義為軌道的“半長軸”a，平方根項定義為“軌道離心

9、率”，即rmax=a(1+e)，且rmin=a(1+e)。證明：且注意開普勒軌道的能量僅由半長軸決定，而與軌道離心率無關。物理參量L和E唯一決定了橢圓軌道的形狀。選做題A史瓦西度規的啟發式得出（1）閱讀8.033網頁上Matt Visser的文章前4頁。（2）仿照Visser的不變間隔的簡單推導：其中令c=G=1。（3）為了將這種形式的度規變換到通常的史瓦西形式，運用以下變數替換：其中為r的函數。（4）令dtdr項的係數為零，求出。（5）最後，運用的函數形式得出dr2和dt2項前面的係數，進而證明ds2具有課上用到的史瓦西度規形式。選做題B簡易引力透鏡考慮一個天體S，它足夠遠（DS）以致於O點觀察者看來是一個點。現在引入一個距觀察者DL的點狀引力透鏡。如圖所示，光源與透鏡的無干擾的角分離為。由於引力透鏡的存在，從光源發出的光可以沿圖中的粗線路徑傳播，經具有最短路徑b的路線，然後偏離角以致於隨後能經過O點。透鏡與光源I的像的表觀角距離為（同樣如圖所示）。解此題我們可以用兩個方便的近似。（1）所有角度都很小以致於tanxsinxx。（2）從光源到觀