线性代数—解线性方程组的消元法学习教案

1、线性代数线性代数(xin xn di sh)解线性方程解线性方程组的消元法组的消元法第一页，共26页。本章讨论关于(guny)线性方程组的两个问题： 一、探讨(tnto)n个未知数m个方程的线性方程组的解法（即下面介绍的高斯消元法）。 二、从理论上探讨线性方程组解的情况：何时有解，何时无解。若有解，则有多少组解；若有无穷(wqing)多解，如何表示。 运用n维向量的理论可全面地解决第二个方面的问题。第1页/共26页第二页，共26页。例1)1(用高斯消元法解线性方程组 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342解)1(2

2、312 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342第2页/共26页第三页，共26页。32 2 133 14 ,424321xxxx1342 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342, 0222432 xxx, 6355432 xxx, 3433432 xxx第3页/共26页第四页，共26页。 , 3433 , 6355 , 0222 , 424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342221 5 323 42 ,424321xxxx134

3、2, 0432 xxx, 624 x, 34 x第4页/共26页第五页，共26页。 , 0 , 424324321xxxxxxx1342342 43用“回代”的方法(fngf)求出解： , 3 , 62 , 0 , 42444324321xxxxxxxxx1342, 34 x,00 .3为任意取值为任意取值其中其中x34 x332 xx431 xx第5页/共26页第六页，共26页。小结(xioji)：1上述解方程组的方法(fngf)称为高斯消元法。 2始终把方程组看作一个整体变形(bin xng)，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的

4、 k 倍ij（与相互替换）（以替换）ik ij（以替换）ik i第6页/共26页第七页，共26页。3上述(shngsh)三种变换都是可逆的由于(yuy)三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换ji)(A若若),(B)(B则则);(Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bik )(B则则);(Aik )(B则则).(Ak ji第7页/共26页第八页，共26页。因为在上述变换过程中，仅仅(jnjn)只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记 97963422644121121112)(bAA称为(chn wi)方程组(1)的增广矩阵

5、对方程组的变换(binhun)完全可以转换为对增广矩阵的行变换(binhun)第8页/共26页第九页，共26页。用矩阵的初等(chdng)行变换解方程组(1)： 97963422644121121112B 9796321132211124121121rr 23 r第9页/共26页第十页，共26页。32rr 97963211322111241211132rr 143rr 4 1 21 1 02220 635 50 34 33 0 22 r243rr 235rr 0004 1 21 10 1 11 62 0 0 31 0 0 第10页/共26页第十一页，共26页。 3100062000011104

6、121143rr 342rr 00000310000111041211,304244324321 xxxxxxxx对应(duyng)的方程组为.3为任意取值为任意取值，其中，其中x由下到上逐个(zhg)解得 34 x332 xx431 xx第11页/共26页第十二页，共26页。例2解线性方程组.2875342622321321321 xxxxxxxxx解 2817534216122),(bA 3 4 21 0 9 6 0 31 91 17 0 3 4 21 0 32 0 31 8 10 3 4 21 31 8 10 62 13 0 0 解得唯一(wi y)解.23 x,32 x,11 x第12

7、页/共26页第十三页，共26页。例3解线性方程组解 322122351311321),(bA . 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx 1 13 21 20000104501132110 45 0 1 0 45 0 最后一个为矛盾方程组,20 故方程组无解(w ji).第13页/共26页第十四页，共26页。 .,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa,212222111211 mnmmnnaaaaaaaaaA系数(xsh)矩阵增广(zn un)矩阵, ),(21222221111211 m

8、mnmmnnbaaabaaabaaabAA第14页/共26页第十五页，共26页。利利用用矩矩阵阵的的初初等等行行变变换换将将A化化为为阶阶梯梯形形, , 000000000000000001222221111211rrrnrrnrnrddccdcccdccccA其其中中0 iic ( (ri, 1 ) ), , 方程组有解的充分必要条件是.01 rd第15页/共26页第十六页，共26页。实实际际上上r即即为为系系数数矩矩阵阵A的的秩秩, , )(Arr , , 若若01 rd, ,则则 rArAr )()(, , 若若01 rd, ,则则 1)()( ArAr, , 线性方程组解的判定(pnd

9、ng)定理线线性性方方程程组组bAx 有有解解的的充充分分必必要要条条件件是是 . )()(ArAr 在有解的情况(qngkung)下，当当nAr )(时时有有唯唯一一解解； 当当nAr )(时时有有无无穷穷多多解解； 这这时时自自由由未未知知量量个个数数为为)(Arn . . 第16页/共26页第十七页，共26页。例4t 为何(wih)值时线性方程组 解 324622432132131txxxtxxxtxx有解? 并求解(qi ji). 324162214101tttA,100023210101 ttt 3421023210101ttt当当1 t时时，2)()( ArAr, , 方程组有无穷

10、(wqing)多解。第17页/共26页第十八页，共26页。称下面(xi mian)形式的线性方程组为齐次线性方程组 .0,0,0221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa显然(xinrn)零向量必为它的解, 称为零解.若若nAr )(, ,则只有零解；则只有零解； 若若nAr )(, ,则则有有非非零零解解. . 若若nm , ,则则必必有有非非零零解解, , 因因为为此此时时必必有有nmAr )(. . 第18页/共26页第十九页，共26页。例5解线性方程组 解.033450622032305432154325432154321 xxxxxxx

11、xxxxxxxxxxxx这是一个(y )齐次线性方程组，且方程个数小于未知个数，故必有非零解。只需对系数(xsh)矩阵施以初等行变换。 13345622103112311111A 143253rrrr 62210622106221011111第19页/共26页第二十页，共26页。 62210622106221011111,00000000006221011111 2332rrrr24rr .321为任意取值为任意取值、，其中，其中ccc求得全部(qunb)解为 35cx 3212622cccx 24cx 13cx 32115cccx 第20页/共26页第二十一页，共26页。例6下面(xi mi

12、an)的线性方程组当a、b为何值时有解？在有解解的情况(qngkung)下，求出全部解。 bxxxxaxxxxxxxxxxxx4321432143214321574227212 baA511742272111111112 1426601439903133021111ba第21页/共26页第二十二页，共26页。 1426601439903133021111ba,800005000013111021111 ba当当8, 5 ba时时，有有解解。 此时(c sh)一般解为 241321221311321cxcxccxcx.21任任意意、，其其中中cc第22页/共26页第二十三页，共26页。例7当a、b为何(wih)值时，线性方程组解 4234321321321xbxxxbxxxxax无解?有唯一解?有无穷(wqing)多解?有无穷(wqing)多解时求出全部解。 1211111bbaA , )1( ab12010111bba 当当1 a且且0 b时时，方方程程组组有有唯唯一一解解； 当当0 b时时， 41013101411aA,10003101411 a无解;第23页/共26页第二十四页，共26页。当当