中考数学专项练习-相似

1、热点16相似【命题趋势】相似是初中数学中比较难的一块内容，是中考必考内容，也是压轴题常考内容，所以每年中考，不论 是哪个城市的中考试卷，相似都是一个重头戏。相似在中考数学试卷中所占比例较大，一般难度都是比较 大的，综合性较强，对学生的综合运用知识的能力要求也更高，所以要熟练掌握这部分知识及其常见题型 对在中考中取得优异的成绩至关重要。它往往与图形的三种运动变换或者与二次函数，反比例函数相结合 而形成压轴题。【满分技巧】一、整体把握有关相似的知识结构1 .相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。2 .相似三角形的判定方法：.平行于三角形一边的直线 （或两边的延长线）和其他

2、两边相交，所构成的三角形与原三角形相似;（2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；3 .如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；4 .如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；3.直角三角形相似判定定理：0.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。并且分成的两个直角三角2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似,形也相似。4.相似三角形的性质：d.相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。2）相似三角形周长的比等于相

3、似比。C3 .相似三角形面积的比等于相似比的平方。二.把握中考常考相似模型【限时检测】（建议用时：30分钟）一、选择题1. （2019贵州省黔南州）如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即RHACB中截取一个正方形 CDEF 点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC,若AF： AC= 1: 3,则这块木板截取正方形 CDE后， 剩余部分的面积为（）A. 200cm2B. 170cmC. 150cm2D. 100cm2【答案】D【解析】设AF= x,贝U AO 3x,四边形CDE叨正方形,. EF= CF= 2x, EF/ BC. EF/ BC . AEW ABC, , , BC AC

4、 3.BC= 6x,在 RtAABO, AB=J(3)2+(6n)2=蚯x,3 J5x= 30 ,解得 x= 2/ii,. AC= 6娓,BC= 12 通，.剩余部分的面积= x6x12j- (4jj) 2=100 (cn2).故选：D.2 .(2019 四川省乐山市)把边长分别为1和2的两个正方形按图 3的方式放置.则图中阴影部分的面积为11-11(A)1(B) 1(C)1(D)16354【解析】如图,.ADCG.冏/_ 1即q _ 1 Q或荔一彳.脆一工b心仪弭又丛 GCIIs* GBAS6GBA）一卬 一9sJXSJ互8j(JB*=1 Ml 乂3 = 1 _ 1 / _ 1X3-6故选A

5、Aom3 . （2019四川省凉山州市）如图，在 ABC43, D在AC边上，AD DG= 1： 2, O是BD的中点，连接长交BC于E,贝U BE EC=（）A. 1 : 2B. 1: 3C. 1 : 4D. 2: 3【答案】B【解析】如图，过 O作OG BC,交AC于G,.O是BD的中点，.二G是DC的中点.又 AD DG= 1 ： 2,，AD= DG= GC .AG GC= 2： 1, AO OE 2： 1, &aok Saboe= 2 ,设 & BOE= S, & AO/2S,又 BO ODSaaod= 2S, Saabd= 4S,. AD DC= 1 ： 2, Sa bdc= 2Sa

6、ABD= 8S, S 四边形 cdoa7S,. Sa aec= 9S, Sa abe= 3S,.BE SAaBE 3S 1. .=EC 5aAec 9s 3故选：B.4. （2019 浙江省杭州市）如图，在 ABC4点D, E分别在AB和AC上，DEE/点B, C重合），连接Ag DET点N,则（）BC M为BC边上一点（不与A.AN AENE而【答案】C【解析】DN/ BM， ADNT ABM典3BM AMNE/ MC . ANP AMCAM,NE ANDHBMfllCMC故选：C.5. （2019浙江省绍兴市）正方形ABCD勺边AB上有一动点E,以EC为边作矩形 ECFG且边FG过点D.在

7、点B.先变小后变大D.保持不变E从点A移动到点B的过程中，矩形 ECFG勺面积（）A.先变大后变小C. 一直变大【答案】D【解析】.正方形 ABC加矩形ECF*, /DCB= Z FCE= 90 , / F= / B= 90 , ./ DCF= / ECBBCEo FCD，空必，CB -CE . CF?CEE= CB?CD，矩形ECFGl正方形ABCD勺面积相等.故选：D.6.（2019 浙江省绍兴市）如图1,长、宽均为3,高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6,绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图 2中水面高度为（）A.245D.W

8、3417【解析】过点 C作CFL BG于F,如图所示:设 DE= x,则 AD= 8-x,根据题意得： (8-x+8) X3X3=3X3X6,J-J解得：x=4,DE= 4,由勾股定理得：CD=而而篇它二5,./ BCE= / DCa 90 ./ DCE= / BCF. / DEC= / BFC= 90CD团 BCF故选：A.7.（2019 重庆市某江县）下列命题是真命题的是（）A.如果两个三角形相似，相似比为4: 9,那么这两个三角形的周长比为 2: 3B.如果两个三角形相似，相似比为4: 9,那么这两个三角形的周长比为4: 9C.如果两个三角形相似，相似比为4: 9,那么这两个三角形的面积

9、比为2: 3D.如果两个三角形相似，相似比为4: 9,那么这两个三角形的面积比为4: 9【答案】B【解析】A如果两个三角形相似，相似比为4: 9,那么这两个三角形的周长比为4: 9,是假命题;B、如果两个三角形相似，相似比为4: 9,那么这两个三角形的周长比为4: 9,是真命题；C、如果两个三角形相似，相似比为4: 9,那么这两个三角形的面积比为16: 81,是假命题;D如果两个三角形相似，相似比为4: 9,那么这两个三角形的面积比为16: 81,是假命题;故选：B.8.（2019 重庆市）如图， AB6CDQ 若 BO= 6, DO= 3, CD= 2,则 AB的长是（A. 2B.【解析】A

10、B6ACD(O.BO L ABDODCC. 4D. 5. BO= 6, DO 3, CD= 2,解得：AB= 4.故选：C.9.（2019 广西玉林市）如图，AB /EF /DC , AD /BC ,EF与AC交于点G ,则是相似三角形共有A. 3对B. 5对【解析】图中三角形有:CC. 6对D. 8对AEG , ADC , CFG , CBA ,“AB/EF / /DC , AD / /BCAEGs ADCs CFGs CBA共有 6 个组合分别为：AEGs ADC , AEGs CFG , AEGs CBA, ADCs CFG , ADCs CBA,CFGs CBA故选：C.10.（201

11、9内蒙古赤峰市）如图,AC= 4,则AE的长是（C. 3D. 4E 分别是 ABCfe AR AC上的点，/ ADE= /ACB 若 AD= 2, AB= 6,A. 1B. 2【解析】 / ADE= / ACB / A= / A,ADEo ACB解得,AE= 3,故选: 二、填空题11.（2019 江苏省常州市）如图，在矩形 ABC珅，AD= 3AB= 3JU ,点P是AD的中点，点E在BC上，CE = 2BE点M N在线段BD上.若 PM塌等腰三角形且底角与/ DEG目等，则 MN=【答案】6 【解析】作PF，MNF F,如图所示:贝U/ PFM= / PFN= 90 四边形ABC虚矩形，

12、. AB= CD BC= AD= 3AB= 3710，/站 Z C= 90 , -AB= CVlb，BD= ）小+小=肛 点P是AD的中点， .PD=-AD=1 ,22. / PDF= / BDAPDm BDA. PF PD 0n PF 2而即解得：PF=-,2. CE=2BEBC= AD= 3BEBE= CD. CE= 2CD. PMN1等腰三角形且底角与/ DEC等，PFL MN. ME NF, / PNf / DEC . / PFN= / C= 90 ,PNm DEC脾=至=2PF CDNF= 2PF= 3,MN= 2NF= 6;故答案为：6.12.(2019 内蒙古通辽市)已知三个边长

13、分别为 2cm, 3cm, 5cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为【答案】3.75cm2【解析】对角线所分得的三个三角形相似，根据相似的性质可知x ,10 5解得x 2.5 ,即阴影梯形的上底就是 3 2.5 0.5(cm).再根据相似的性质可知 -,5 2.5所以梯形的下底就是3 1 2(cm),所以阴影梯形的面积是(2 0.5) 3 2 3.75(cm2).故答案为：3.75cm：13 . (2019四川省凉山州市)如图，正方形ABC珅，AB= 12, AE= -AB,点P在BC上运动(不与B、C重合)，4过点P作PQL EP,交CD于点Q,则CCW最大值为【答案】4【解析】/ B

14、EF+Z BPE= 90 , Q QPC/ BPE= 90 , ./ BEP= / CPQ又 / B= / C= 90 ,BPa CQP设 CQ= V，BP= x,则 CP= 12-x.9 二工,化简得 y=-g (x2- 12x),12-x y9整理得 y= （x - 6） 2+4,9所以当x = 6时，y有最大值为4.故答案为4.F, G在BC边FPG= 90 ,14 .（2019 浙江省杭州市）如图，把某矩形纸片 ABCD& EF, GHBf叠（点E, H在ADi上, 上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为 A点，D点的对称点为 D点, A EP的面积为4,PH的面积为

15、1,则矩形 ABCD勺面积等于.【答案】2 （ 5+3、）【解析】四边形 ABK矩形,AB= CD AD= BC,设 AB= CD= x,由翻折可知：PA =AB= x, PD =CD= x,A EP的面积为4, D PH的面积为1, .A E= 4D H,设 D H= a,贝U A E= 4a, A EW D PH.D II_T，x=2a或-2a （舍弃），PA = PD = 2a, a = 1). x= 2)AB CD= 2, P-J/z四 PHJF + M，-. AD= 4+2 /+J+1 = 5+3七后，矩形ABCD勺面积=2 (5+3诉).故答案为2 (5+3后)三、解答题：15.

16、(2019 安徽省)如图，Rt ABC 中， ACB 90 , AC BC , P为 ABC内部一点，且 APB BPC 135 .(1)求证：PABs PBC ;(2)求证：PA 2PC ;(3)若点P到三角形的边AB , BC , CA的距离分别为h , h2,b，求证h： hz .【解析】(1) ACB 90 , AB BC ,ABC 45PBA PBC又 APB 135 ,PAB PBA 45PBC PAB又APB BPC 135 , *PABs PBC(2) : PABs pbcPA PB ABPB PC BC在 Rt ABC 中，AB AC ,AB 2 BCPB 2PC,PA 2P

17、BPA 2PC(3)如图，过点P作PDBC , PE AC 交 BC、AC 于点 D ,PF hi , PD h2 , PE h3 ,4 I CPBAPB 135 135 270APC 90 ,EAPACP 90 ,II -又 ACBACPPCD 90EAP PCD ,Rt AEPsRt CDP ,PEDPAPPC2M 2,h3 2h2PABs pbc , ABh2 BC2,h1, 2h2hl22h222h2卜2h2h3 .即：hl2h2 |h3.16.（2019 福建省龙岩市）已知 ABCF口点A ,如图.（1）以点A为一个顶点作 A B C ,使 A B C ABC且 A B C的面积等于

18、 ABO积的4倍；（要 求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设口 E、F分别是 ABC三边AR BC AC的中点，D、E、F分别是你所作的 ABC三边AB、B C、C A 的中点，求证： DEM ADE F .【解析】（1）作线段 AC=2AC AB =2AB BC =2BC得 ABC即可所求.cr证明：= A C = 2AC A B = 2AB B C = 2BC. .ABB C,（2）证明:.D E、F分别是 ABCE边AB BC AC的中点,，D& 二BC, D?-AC, EF=yAB,DEm ABC同理： D E Fa B C ,由（1）可知： ABR AA B C,.DEm DEF.17. （2019宁夏回族自治区）如图，在 ABC中， A 90 , AB 3, AC 4,点M , Q分别是边 AB, BCBC ,过点M作BC的平行线 MN ,交AC于点N ,连接NQ ,上的动点（点M不与A , B重合），且MQ(1)试说明不论x为何值时，总有 QBMs ABC；(2)是否存在一点 Q,使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由;(3)当x为何值时，四边形 BMNQ的面积最大，并求出最大值.【解析】(1) .MQL BCMQB 90 ,MQB CAB ,又 QBM