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文档简介

1、精选优质文档-倾情为你奉上11.5效益的合理分配在经济或社会活动中若干实体(如个人、公司、党派、国家等)相互合作结成联盟或集团,常能比他们单独行动获得更多的经济或社会效益。确定合理地分配这些效益的方案是促成合作的前提。先看一个简单例子。甲乙丙三人经商。若单干,每人仅能获利1元;甲乙合作可获利7元;甲丙合作可获利5元;乙丙合作可获利4元;三人合作则可获利11元。问三人合作是怎样合理地分配11元的收入。人们自然会想到的一种分配方法是:设甲乙丙三人各得元,满足 (1), (2)(2)式表示这种分配必须不小于单干或二人合作时的收入,但是容易看出(1),(2)有许多组解,如()=(5,3,3),(4,4

2、,3),(4,3.5,3.5)等。于是应该寻求一种圆满的分配方法。上例提出的这类问题称为n人合作对策(Cooperative n-person Game)。L.S.Shapley1953年给出了解决该问题的一种方法,称Shapley值。n人合作对策和Shapley值 n个人从事某项经济活动,对于他们之中若干人组合的每一种合作(特别,单人也视为一种合作)。都会得到一定的效益,当人们之间的利益是非对抗性时,合作中人数的增加不会引起效益的减少。这样,全体n个人的合作将带来最大效益。n个人的集合及各种合作的效益就构成n人合作对策,Shapley值是分配这个最大效益的一种方案。正式的定义如下。设集合,如

3、果对于I的任一子集s都对应一个实值函数,满足 (3) (4)称 I,v为n人合作对策,v为对策的特征函数。在上面所述经济活动中,I定义为n人集合,s为n人集合中的人一种合作,为合作s的效益。用表示I的成员i从合作的最大效益中应得到的一份收入。叫做合作对策的分配(Imputation),满足 (5) (6)请读者解释(6)式的含义。显然,(3),(4)定义的n人合作对策 I,v通常有无穷多个分配。Shapley值由特征函数v确定,记作。对于任意的子集s,记,即s中各成员的分配。对一切,满足的x组成的集合称 I,v的核心(Core)。当核心存在时,及所有s的分配都不小于s的效益,可以将Shaple

4、y值作为一种特定的分配,即。Shapley首先提出看来毫无疑义的几条公理,然后用逻辑推理的方法证明,存在唯一的满足这些公理的分配,并把它构造出来,这里只给出的结果,Shapley公理可参看11,83。Shapley值为 (7) (8)其中是I中包含i的所有子集,是子集s中的元素数目(人数),是加权因子,表示s去掉i后的集合。我们用这组公式计算本节开始给出的三人经商问题的分配,一次解释公式的用法和意义。甲乙丙三人记为I=1,2,3,经商获利定义为I上的特征函数,即。容易验证v满足(3),(4)。为计算首先找出I中包含1的所有子集:1,1,2,1,3,I,然后令s跑遍,将计算结果计入表1.然后将表

5、中末行相加得。同法可计算出。它们可作为按照Shapley值方法计算的甲乙丙三人应得的分配。让我们通过此例对(7)式做些解释。对表1中的s,比如1,2,是有甲(即1)参加时合作s的获利,是无甲参加合作s(只剩下乙)的获利,所以可视为甲对这一合作的“贡献”。用Shapley值计算的甲的分配是,甲对他所参加的所有合作()的贡献的加权平均值,加权因子取决于这个合作s的人数。通俗地说就是按照贡献取得报酬。表1 三人经商中甲的分配的计算Shapley值方法可以有效地处理经济和社会合作活动中的利益分配问题。请看下面的例子。污水处理费用的合理分担 沿河有三城镇1,2和3,地理位置如图1所示。污水需处理后才能排

6、入河中。三城镇既可以单独建立污水处理厂,也可以联合建厂,用管道将污水集中处理(污水应由河流的上游城镇向下游城镇输送)。用Q表示污水量(单位:t/s),L表示管道长度(单位:km),按照经验公式已知三城镇污水量为,L的数值如图1所示。试从节约总投资的角度为三城镇制定污水处理方案。如果联合建厂,各城镇如何分担费用。三城镇污水处理共有以下5种方案,计算出投资费用以作比较。1) 分别建厂。投资分别为,总投资2)1,2合作,在城2建厂,投资为,总投资3)2,3合作,在城3建厂,投资为,总投资4)1,3合作,在城3建厂,投资为,这个费用超过了1,3分别建厂的费用,合作没有效益,不可能实现。5)三城合作,在

7、城3建厂,总投资为。比较结果以千元最小,所以应选择联合建厂方案。下面的问题是如何分担费用。总费用中有3部分:联合建厂费;城1至2的管道费;城2至3的管道费。城3提出,由三城按污水量比例5:3:5分担,是为城1,2铺设的管道费,应由他们担负;城2同意,并提出由城1,2按污水量之比5:3分担,则应由城1自己担负;城1提不出反对意见,但他们计算了一下按上述办法各城应分担的费用:城3分担费用为; 城2分担费用为; 城1分担费用为;结果表明城2,3分担的费用均比他们单独建厂费用C(2),C(3)小,而城1 分担的费用却比C(1)大。显然,城1不能同意这种分担总费用的方法。为了促成三城联合建厂以节约总投资

8、,应该寻求合理分担总费用的方案。三城的合作节约了投资,产生了效益,是一个n人合作对策问题,可以用Shapley值方法圆满地分配这个效益。把分担费用转换为分配效益,就不会出现城1联合建厂分担的总费用反比单独建厂费用高的情况。将三城镇记为,联合建厂比单独建厂节约的投资定义为特征函数。于是有 三城联合建厂的效益为64千元,用Shapley值作为这个效益的分配,城1应分得的份额的计算结果列入表2,得到。类似地算出,。可以验证。看来。城2从总效益64千元中分配的份额最大,你能从城2的地理位置与合作对策的角度解释这个结果吗。表2 污水处理问题中的计算最后,在联合建厂方案总投资额556千元中各城的分担费用为

9、:城1是;城2是;城3是。Shapley值方法的缺点及其他解决办法 Shapley值方法以严格的公理为基础,在处理合作对策的分配问题时具有公正、合理等优点,但是它需要知道所有合作的获利,即要定义的所有子集(共个)的特征函数,这在实际上常常做不到,如n个单位合作治理污染,第i方单独治理的投资和n方合作治理的投资Y通常是已知的。为了度量第i方在合作中的“贡献”,还通常设法知道第i方不参加合作时其余n-1方所需的投资。特征函数应定义为合作的获利,即节约的投资,有 ,显然除此之外还有许多不知道,无法利用Shapley值方法求解。下面仍以本节开始提出的三人经商问题为例,介绍几种其他解决办法。我们只知道全

10、体合作的获利,记作,及无i参加时其余n-1方合作的获利,记作,且记。试确定各方对全体合作获利的分配,记作。在三人经商问题中。1. 协商解分配按以下两步进行,先从n个n-1方合作的获利得出各方分配的下限,即求解 (9)得到 , (10)再计算按下限分配后集体合作获利的剩余为,它通常是较小的部分,经协商将其平均分配,于是最终的分配结果为 (11)剩余,它等价于,请读者考察这个假定的含义。对三人江上问题,。2. 均衡解设各方能够接受的现状点为,可看做谈判时的威慑点,在此基础上均衡的分配全体合作的获利B。根据n个数的和一定,当他们相等时乘积最大的原理,该模型为 (12)得到 (13)时,相当于各方平均

11、分配B;时,均衡解等价于协商解。3. 最小距离解设存在一个各方理想的分配上限,记作,追求分配结果与这个上限的距离最小,模型为 (14) 得到 (15) i方的理想上限若取为,看作i方对全体合作的“贡献”或i方的边际效益,将其代入(15)式可得,与(11)式相同,及最小距离解等价于协商解,对三人经商问题,。4. 满意解i方分配的满意度定义为,其中是现状点,是理想点。为追求各方的满意度都高,用最小最大模型 (16)得到 (17)可以验证,当时,满意解等价于协商解,当时,即按照各方理想上限的比例进行分配。5. Raiffa解Howard Raiffa提出的解决办法按以下步骤进行:1)按照n个n-1方

12、合作的获利得到各方分配的下限,即协商解中(见(10)式),作为分配的基础;2)当j方加入(原来无j的)n-1方合作时计算获利的增加,即j方的边际效益,是最小距离解中的上限;3)按两部分配:先由j方和无j的n-1方平分,然后n-1方再等分,即 (18)其中n-1方是在的基础上分配;4)j取1,2,n,重复第3步,然后求和、平均,得到最终分配为 (19)将,代入,(19)式又可表为 , (20)对三人经商问题,。几种方法的比较 上面介绍的方法中,协商解、均衡解、最小距离解和满意解比较简单、容易理解,并且在许多情况下是等价的,不妨并为一类,这样,连同Shapley值方法我们讨论了3类方法:Shapley值方法;协商解等;Raiffa解。下面结合一个较为极端的例子说明它们的特点。例 有一资方(甲)和二资方(乙、丙),当且仅当资方与至少一劳防合作时才获利10元,应如何分配该获利?解 甲、乙、丙三方记作1,2,3,1)Shapley值方法 特征函数定义为获利,则子集1,2,1,3,1,2,3的特征函数为10,其余均为0,容易算出Shapley值,将其作为一种分配,即得。2)协商解等 由得到=,于是。3)Raiffa解 将=代

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