2015届高考数学二轮专题检测：13以函数为背景的创新题型

1、13以函数为背景的创新题型1设D(x，y)|(xy)(xy)0，记“平面区域D夹在直线y1与yt(t1,1)之间的部分的面积”为S，则函数Sf(t)的图象的大致形状为_答案解析如图，平面区域D为阴影部分，当t1时，S0，排除；当t时，S>Smax，排除.2设函数f(x)与g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若对任意的xa，b，都有|f(x)g(x)|k(k>0)，则称f(x)与g(x)在a，b上是“k度和谐函数”，a，b称为“k度密切区间”设函数f(x)ln x与g(x)在，e上是“e度和谐函数”，则m的取值范围是_答案1，e1解析设h(x)f(x)g(x)ln xmln

2、x，h(x)，故当x，1)时，h(x)<0，函数h(x)单调递减；当x1，e时，h(x)0，函数h(x)单调递增所以函数h(x)的最小值为h(1)m1，而h()me1，h(e)m1，显然e1>1，所以h()>h(e)，故函数h(x)的最大值为h()me1.故函数h(x)在，e上的值域为m1，me1由题意，得|h(x)|e，即eh(x)e，所以解得1m1e.3(2014·苏州模拟)对于函数f(x)，若任意的a，b，cR，f(a)，f(b)，f(c)为某一三角形的三边长，则称f(x)为“可构造三角形函数”已知函数f(x)是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是_答案

3、，2解析因为对任意的实数x1，x2，x3R，都存在以f(x1)，f(x2)，f(x3)为三边长的三角形，故f(x1)f(x2)>f(x3)对任意的x1，x2，x3R恒成立由f(x)1，设ex1m(m>1)，则原函数可化为f(m)1(m>1)，当t>1时，函数f(m)在(1，)上单调递减，所以f(m)(1，t)，此时2<f(x1)f(x2)<2t,1<f(x3)<t，要使f(x1)f(x2)>f(x3)对任意的x1，x2，x3R恒成立，需t2，所以1<t2；当t1时，f(x)1，显然满足题意；当t<1时，函数f(m)在(1，)上单

4、调递增，所以y(t,1)，此时2t<f(x1)f(x2)<2，t<f(x3)<1，要使f(x1)f(x2)>f(x3)对任意的x1，x2，x3R恒成立，需满足2t1，所以t<1.综上t，24若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：P，Q都在函数yf(x)的图象上；P，Q关于原点对称则称点对P，Q是函数yf(x)的一对“友好点对”(点对P，Q与Q，P看作同一对“友好点对”)已知函数f(x)则此函数的“友好点对”有_对答案2解析函数f(x)的图象及函数f(x)x24x(x0)的图象关于原点对称的图象如图所示，则A，B两点关于原点的对称点一定在函数f(x)x24x(

5、x0)的图象上，故函数f(x)的“友好点对”有2对5已知x表示不超过实数x的最大整数，如1.81，1.22.x0是函数f(x)lg x的零点，则x0_.答案2解析函数f(x)的定义域为(0，)，函数f(x)>0，即函数f(x)在(0，)上单调递增由f(2)ln 21<0，f(e)ln e>0，知x0(2，e)，x02.6(2014·辽宁改编)已知定义在0,1上的函数f(x)满足：f(0)f(1)0；对所有x，y0,1，且xy，有|f(x)f(y)|<|xy|.若对所有x，y0,1，|f(x)f(y)|<k恒成立，则k的最小值为_答案解析取y0，则|f(x

6、)f(0)|<|x0|，即|f(x)|<x，取y1，则|f(x)f(1)|<|x1|，即|f(x)|<(1x)|f(x)|f(x)|<xx，|f(x)|<.不妨取f(x)0，则0f(x)<，0f(y)<，|f(x)f(y)|<0，要使|f(x)f(y)|<k恒成立，只需k.k的最小值为.7设集合M(x，y)|yf(x)，若对于任意(x1，y1)M，存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，则称集合M为“垂直双点集”给出下列四个集合：M(x，y)|y；M(x，y)|ysin x1；M(x，y)|ylog2x；M(x，y)|yex

7、2其中是“垂直双点集”的序号是_答案解析对于，y是以x轴，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，在同一支上，任意(x1，y1)M，不存在(x2，y2)M，满足“垂直双点集”的定义；对任意(x1，y1)M，在另一支上也不存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，所以不满足“垂直双点集”的定义，不是“垂直双点集”对于，M(x，y)|ysin x1，如图1所示，在曲线ysin x1上，对任意的点B(x1，y1)M，总存在点C(x2，y2)M，使得OBOC，即x1x2y1y20成立，故M(x，y)|ysin x1是“垂直双点集”对于，M(x，y)|ylog2x，如图2所示，在曲

8、线ylog2x上，取点(1,0)，则曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直双点集”对于，M(x，y)|yex2，如图3所示，在曲线yex2上，对任意(x1，y1)M，总存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，例如取(0，1)，(ln 2,0)，满足“垂直双点集”的定义8如图展示了由区间(0,4)到实数集R的一个映射过程：区间(0,4)中的实数m对应数轴上的点M(如图1)，将线段AB围成一个正方形，使两端点A，B恰好重合(如图2)，再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y轴上(如图3)，点A的坐标为(0,4)，若图3中直线AM与x轴交于点N(n

9、,0)，则m的象就是n，记作f(m)n.现给出以下命题：f(2)0；f(x)的图象关于点(2,0)对称；f(x)在区间(3,4)上为常数函数；f(x)为偶函数其中真命题为_(写出所有真命题的序号)答案解析如图所示由定义可知2的象为0.即f(2)0；由图象可知关于点(2,0)对称的两点的象互为相反数，即其图象关于点(2,0)对称；结合图形可知m(3,4)时其象为定值，即函数在此区间上为常数函数；因为函数的定义域为0,4，不关于原点对称，故函数不是偶函数综上可知命题是正确的9对于函数f(x)，若存在区间Ma，b(其中a<b)，使得y|yf(x)，xMM，则称区间M为函数f(x)的一个“稳定区

10、间”给出下列4个函数：f(x)(x1)2；f(x)|2x1|；f(x)cos x；f(x)ex.其中存在“稳定区间”的函数有_(填出所有满足条件的函数序号)答案解析据已知定义所谓的“稳定区间”即函数在区间a，b内的定义域与值域相等问题可转化为已知函数yf(x)的图象与直线yx是否相交，若相交则两交点所在区间即为函数的“稳定区间”，数形结合依次判断均符合条件，而对于易知由于f(x)ex，故f(x)ex在原点处的切线方程即为yx，故不符合条件综上可知均为存在“稳定区间”的函数10(2014·山东)已知函数yf(x)(xR)对函数yg(x)(xI)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为

11、函数yh(x)(xI)，yh(x)满足：对任意xI，两个点(x，h(x)，(x，g(x)关于点(x，f(x)对称若h(x)是g(x)关于f(x)3xb的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是_答案(2，)解析由已知得3xb，所以h(x)6x2b.h(x)>g(x)恒成立，即6x2b>，3xb>恒成立在同一坐标系内，画出直线y3xb及半圆y(如图所示)，可得>2，即b>2，故答案为(2，)11若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)2log2 x，f2(x)log2 (x2)，f3

12、(x)(log2 x)2，f4(x)log2(2x)则“同形”函数是_答案f2(x)与f4(x)解析f4(x)log2(2x)1log2x，将其向下平移1个单位得到f(x)log2x，再向左平移2个单位，即得到f2(x)log2(x2)的图象故根据新定义得，f2(x)log2 (x2)与f4(x)log2 (2x)为“同形”函数12已知集合A1,2,3，2n(nN*)对于A的一个子集S，若S满足性质P：“存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1s2|m”，则称S为理想集对于下列命题：当n10时，集合BxA|x>9是理想集；当n10时，集合CxA|x3k1，

13、kN*是一个理想集；当n1 000时，集合S是理想集，那么集合T2 001x|xS也是理想集其中的真命题是_(写出所有真命题的序号)答案解析根据元素与集合的关系，根据理想集的定义逐一验证，集合的元素是否具有性质P，并恰当构造反例，进行否定(1)当n10时，A1,2,3，19,20，BxA|x>910,11,12，19,20因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到该集合中两个元素b110与b210m，使得|b1b2|m成立因而B不具有性质P，不是理想集，故为假命题(2)对于CxA|x3k1，kN*，因为可取m1<10，对于该集合中任意一对元素c13k11，c23k21，k1，k2N*，都有|c1c2|3|k1k2|1.故C具有性质P，为真命题；(3)当n1 000时，则A1,2,3，1 999,2 000，因为T2 001x|xS，任取t2 00