(完整版)高中数学归纳法大全数列不等式精华版

1、§ 数学归纳法1 .数学归纳法的概念及基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是：(1)验证：n= n°时,命题成立；(2)在假设当n = k(kn0)时命题成立 的前提下，推出当 n= k+ 1时，命题成立.根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数 n都成立.2 .归纳推理与数学归纳法的关系数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明.在学习和使用数学归纳法时， 需要特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与 正整数n有关的命题；(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.3 .用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最

2、小正整数n,注意n不一定是1.4 .当证明从k到k+1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命 题又n = k+ 1成立时，必须运用命题对 n = k成立的归纳假设.步骤二中，在 由k到k+1的递推过程中，突出两个“凑”：一 “凑”假设，二“凑”结论.关键是明确n = k+ 1时证明的目标，充分考虑由 门=卜到门=卜+ 1时命题 形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应 用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n=k+ 1时命题也成立，这也是证题的常用方法.5 .用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可.尽管部分与正整数 有关的命题用其他方法也可以解

3、决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须 依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确.6 .要注意“观察一一归纳一一猜想一一证明”的思维模式，和由特殊到一般的 数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力.7 .数学归纳法与归纳推理不同.(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有 某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性.结果不一定正确，需要进行 严格的证明.(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确.8 .在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n都成立；(2)在用数学归纳法证

4、明中，两个基本步骤缺一不可.数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通 过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤， 是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题 对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两 步各司其职，缺一不可.特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证 明命题是否具有传递性.如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是 假命题.例题 1 证明：22+'+211 + 2n= 1 2n(其中 nW N+).一 .1, -1 1 证明(1)当n=1时，左边=1,右边=

5、12 = 2,等式成立.假设当n=k(k> 1时，等式成立，即2+2+ 宙+ + 2k1 + 2k= 1 一/,那么当n=k+1时，左边=2 +/+ 抖 +211 + 尹211,11. 2-1,1=1-2卜+ 2卜+1 = 1 2卜+1 =12卜+1 =右边.这就是说，当n = k+1时，等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何n C N +都成立.变式舟用，用数学归纳法证明：1 -1+1-1+ 0 1厂J2 3 4 2n - 12n=+而、 一 ，.1 11.证明当n=1时，左边=12=2=k=右边,当n=1时，等式成立.假设n=k时等式成立，即111111,1, 11-2 +

6、3-4+ " + 2k- 1 云=kT7 +k+2 +汞则当n=k+ 1时，11 11111边二 -2 + 3- 4+ "+2k- 1-2k+2k+1-2k+ 2= (S +111k+2+ " +2k) + 2k+112k+2,1 , 1 ,=3+2k+12k+1、一1)+(k+1, 1, _JL-k+2+ +2k+2k+ 1+2k+2一右边.；n=k+1时等式成立.由知等式对任意nCN+都成立.点评在利用归纳假设论证n = k+1等式成立时，注意分析n=k与n = k + 1的两个等式的差别.n=k+1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且 右式的首项由 士变

7、到士.因此在证明中，右式中的 士应与一4y合并，才k+1k+2k+12k+2能得到所证式.因此，在论证之前，把 n=k+1时等式的左右两边的结构先作 一下分析是有效的.证明不等式例超2用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数 门，不等式11 一 1,2n+1-、1+3 1+5 .十指2成上证明当n=2时，左=1 + 1=4,右=者，左>右， 3 32.不等式成立.假设n=k(k>2a k N )时，不等式成立，2k 1 )2那么当n=k+1时，11.11J2k+1 2k+ 21 + 3 1+5 1 + 2kT 1+2 k+1 -1 >2 布2k+ 24k2+8k+4 .4k2+

8、8k+ 32 «2k+ 1 2y2k+ 122k+ 1_N2k+3Y2k+1 _、2 k+1 +12 也k+12，n=k+ 1时，不等式也成立.对一切大于1的自然数n,不等式成立.点评(1)本题证明n=k+ 1命题成立时，利用归纳假设并对照目标式进行了 k1恰当的缩小来实现，也可以用上述归纳假设后，证明不等式丑三>2k+ 1/ k+1 + 1 +、2成立.(2)应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤：?第步p(no)成立是推理的基础；?第步由p(k)? p(k+1)是推理的依据(即no成立，则no+1成立，no + 2 成立，从而断定命题对所有的自然数均成立

9、).?另一方面，第步中，验证 n=n0中的n0未必是1,根据题目要求，有 时可为2,3等；第步中，证明n=k+ 1时命题也成立的过程中，要作适 当的变形，设法用上上述归纳假设.变应用(2013大庆实验中学高二期中)用数学归纳法证明：,111 - 1 , 一、1 + 22+ 32+n2<2-n (nA 2)分析按照数学归纳法的步骤证明，由 n = k到n = k+ 1的推证过程可应用放 缩技巧，使问题简单化.1513证明1当n=2时，1+22=4<22=2,命题成立.2彳贸设n = k时命题成立，即1 + 22+ $+ $<2：1 111当 n= k+ 1 时，1 +72+ ,

10、 +;-2+;2<2 3 k k+12 1+12<2 ：+1=2_Hk k+1 2 k k k+1 k k k+11 一一=2 一命题成立.k+ 1由1°、2°知原不等式在n2时均成立.证明整除问题例第3用数学归纳法证明下列问题：(1)求证：3X52n+1 + 231 是 17的倍数；(2)证明:(3n+1) 7n 1能被9整除.分析(2)先考察：f(k+ 1) f(k)=18k7k+ 27 7k,因此，当 n = k+1 时，(3k+ 4)7k1 = (21k+ 28) 7k1 = (3k+1) 7k-1+ 18k 7k+27 7k.证明(1)当 n=1 时，

11、3X 53 + 24=391= 17X23是 17的倍数.假设 3 x 52k+1 + 23k+1 = 17m(m 是整数)，则 3X52(k+1)+1 + 23(k+1)+1 = 3X52k+1+2 + 23k+1+3=3X 52k+1X25+23k+1X8=(3X 52k+1 + 23k+1) X8+17X 3X 52k+1=8X 17m+3X 17X 52k 1= 17(8m+3X52k1), . m k都是整数，17(8m+3X52k+1)能被17整除， 即n=k+ 1时,3x 52n+23m是17的倍数.(2)令 f(n)=(3n+1) 7n 1f(1)=4X 71 = 27能被9整

12、除.假设f(k)能被9整除(kC N ), vf(k+1)-f(k) = (3k+4) 7k+1 (3k+ 1) 7k= 7k (18k+ 27) = 9 x 7k(2k+ 3)能 被9整除， f(k+ 1)能被9整除.由可知，对任意正整数n, f(n)都能被9整除.点评用数学归纳法证明整除问题，当 n=k+ 1时，应先构造出归纳假设的条 件，再进行插项、补项等变形整理，即可得证.蛮冗应用 (2014南京一模)已知数列a满足ai = 0, a2=1,当n 6 N+时，an+2= an+i +an.求证：数列an的第 4m+1 项(mW N+)能被 3整除.证明(1)当 m= 1 时，a4m+i

13、 = a5 = a4+a3= (a3+a2)+(a2+a1)= (a2+ai) + 2a2+ai = 3a2 + 2ai = 3+0 = 3.即当m=i时，第4m+1项能被3整除.故命题成立.(2)假设当m=k时，a4k+1能被3整除，则当m=k+1时，a4(k+ 1)+1= a4k+ 5= a4k+4+ a4k+ 3= 2a4k+3 + a4k+2二2(a4k+ 2+ a4k+1) + a4k+2= 3a4k+2+ 2a4k+1.显然，3a4k+ 2能被3整除，又由假设知a4k+1能被3整除. - 3a4k+2 + 2a4k+1 能被 3 整除.即当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整

14、除.命题也成立.由(1)和(2)知，对于nCN+,数列an中的第4m+1项能被3整除.百.函靛k几何问题倒商4平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆 都不相交于同一点.求证：这 n个圆把平面分成n2 n + 2个部分.分析用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n=k+1时比n = k时，分点增加了多少，区域增加了几块.本题中第 k+1个圆被原来的k个圆分成 2k条弧，而每一条弧把它所在的部分分成了两部分，此时共增加了2k个部分,问题就容易得到解决.解析当n=1时，一个圆把平面分成两部分，12-1 + 2 = 2,命题 成立.假设当n=k时命题成立(kC N*), k个圆把平面分

15、成k2k+2个部 分.当n=k+ 1时，这k+ 1个圆中的k个圆把平面分成k2-k+ 2个部分, 第k+ 1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在部分分成了两个 部分，这时共增加了 2k个部分，即k+ 1个圆把平面分成(k2-k+ 2) + 2k = (k+1)2(k+1) + 2个部分，即命题也成立.由、可知，对任意 n N命题都成立.点评利用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述准确清楚，一定要 讲清从口=卜到口 =卜+1时，新增加量是多少.一般地，证明第二步时，常用的 方法是加一法.即在原来k的基础上，再增加1个，也可以从k+ 1个中分出1 个来，剩下的k个利用假设.支式应用* I

16、平面内有n(nCN+, nA2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数 f(n)= n n2 1 .分析找到从口 =卜到n=k+ 1增加的交点的个数是解决本题的关键.证明(1)当n = 2时，两条直线的交点只有一个. 1又 f(2) = 2>2X21)=1,。当n = 2时，命题成立.(2)假设n = k(k>2)t命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个1数 f(k) = 'k(k 1),那么，当n = k+1时，1任取一条直线1,除l以外其他k条直线父点个数为f(k) = -k(k-1),1与其他k条直线交点个数为k.从而k+ 1条直线共有

17、f(k)+ k个交点，1111即 f(k+ 1) = f(k) + k = 2k(k1) + k=2k(k1 + 2) = 2k(k+1) = (k+1)(k+ 1)-1,当n=k+ 1时，命题成立.由(1)(2)可知，对nC N+(n领题都成立.点评关于几何题的证明，应分清 k到k+1的变化情况，建立k的递推关系.探索延拓创新囱工烟犯/>归纳一猜想一证明例.5 (2014湖南常德4月，19)设a>0, f(x) = ax,令 a1=1, an+1 = f(an), n6N + . a x(1)写出a2, a3, a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论.

18、a - a 一解析(1)a1=1, . a2= f(a1)= f(1) = 1qa; a3 = f(a2)= 2+ a； a4 = f(a3) =3+a-猜想 an =a(n N+).n-1 +a'证明:(ii )假设即ak=(i)易知，n=1时，猜想正确.n = k时猜想正确，ak 1 +a则ak + 1 = f(ak)a aka+ akaa . k-1 + aaa+ ;'k 1 +ak- 1a+a+1 ;k+1 -1 + a这说明，n = k+ 1时猜想正确.由(i )(五)知,对于任何nCN+,都有a an=.n 1 +a变式应用1已知数列Xn满足XL, Xn+1 =n

19、N+.猜想数列X2n的单调性，并证明你的结论;1证明：|Xn+1 Xn|061-解析(1)解：由xi=2及125Xn+1 = ,彳寸 X2=1, X4 = K，1 + Xn3813刈=折由X2>X4>X6,猜想数列X2n是单调递减数列.下面用数学归纳法证明：当n=1时，已证明X2>X4,命题成立.假设当n=k时,命题成立，即X2k>X2k+2.易知Xn>0,那么，当n = k+1时,11X2k+3 X2k+1X2k+ 2 X2k+ 4= =一""X2kX2k+21 +x2k+11+x2k+31+x2k+11 + X2k + 3=/ ,>

20、,> ,> ,>0，1 + X2k1 + X2k+11 + X2k+21 + X2k+3即X2(k+1)>X2(k+1)+2.也就是说，当n=k+1时命题也成立.综合和知，命题成立.一. 一1(2)证明：当 n=1 时，|Xn + 1 Xn|= |X2X1|=6，结论成乂.当n12时，易知0<xn1<1.11Xn - -1> q .1+Xn-1 2(1 + Xn)(1+Xn 1)=1 + 1+Xn-1 (1 + Xn 1)=2+Xn 1411|Xn 一 Xn 11必+1*| 1+Xn1+Xn-1 -1 + Xn1+Xn-12. 22l一一妄|Xn Xn

21、 1| 专 |Xn 1 Xn 2| 2n 1,_1 25X2-X1|-6 5易错辨误警示判断2+4+2n=n2 + n+1对大于0的自然数n是否都成立？若成立请给出证明.误解假设n=k时，结论成立，即2+4+-+2k= k2+k+1,那2+4 + + 2k+2(k+ 1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2 + (k+1)+1.即当n=k+1时，等式也成立.因此，对大于0的自然数n,2 + 4+-+2n=n2+n+1都成立.误解假设n=k时，结论成立，即2+4+2k= k2+k+1,那2+4 + + 2k+2(k+ 1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2 + (k+1)+1.即当

22、n=k+1时，等式也成立.因此，对大于0的自然数n,2 + 4+-+2n=n2+n+1都成立.?正解不成立.当n=1时，左边=2,右边=12+1 +1 = 3,左边w右 边，所以不成立.点评用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的.特别是步骤 (1),往往十分简单，但却是不可忽视的步骤.本题中，虽然已经证明了： 如果n=k时等式成立，那么n=k+1时等式也成立.但是如果仅根据这 一步就得出等式对任何nC N+都成立的结论，那就错了.事实上，当n=1时，上式左边=2,右边=12+1 + 1 = 3,左边w右边.而且等式对任 何n都不成立.这说明如果缺少步骤(1)这个基础，步骤(2)就没有意义了.劭鹿7用数学归纳法证明1,1,1,.1+ + + +2X 4 4X6 6X8 丁 2n 2n+ 2n4 n+ 1(nW N ).误解略.(2)假设当n = k(k>l k N+)时等式成立，那么当n=k+ 1时，直接使用裂 项相减法求得1111+ +2M 十 44 6>82k 2k+ 212k+2 2k+ 411,11 , 1 ，,，2 4 + 4 6 + 2k 2k+ 2 + 2k+2 2k+ 41 112 22k+4k+1=4 k+1 +1,即n = k+1时而就成立一一 1 一 .一 11，-1 正解(1)当n=1时，