2020-2021备战中考数学压轴题之圆的综合(备战中考题型整理,突破提升)附详细答案

1、2020-2021备战中考数学压轴题之圆的综合(备战中考题型整理，突破提升)附详细答案一、圆的综合1.如图1,已知扇形MON的半径为 J2 , /MON=90，点B在弧MN上移动，联结BM , 作ODL BM,垂足为点 D, C为线段OD上一点，且 OC=BM,联结BC并延长交半径 OM于 点A,设OA=x, /COM的正切值为 y.(1)如图2,当AB±OM时，求证：AM=AC；(2)求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(3)当4OAC为等腰三角形时，求 x的值.若用图x【答案】证明见解析；(2)y2x【解析】分析：(1)先判断出/ABM=/DOM,进而判断出 OAXBAM,即可

2、得出结论;x 、. 2 )；(3)(2)先判断出BD=DM,进而得出-DM ME,进而得出AE=-1(灰 x),再判断出 BD AE2OA OE (3)OC 2DM -,即可得出结论；OD OD分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论.详解：(1)OD)± BM, AB± OM, . . / ODM=/BAM=90°. / ABM+Z M=Z DOM+Z M, :'人 ABM=Z DOM .Z OAC=Z BAM, OC=BM, OAC BAM,.AC=AM .(2)如图2,过点D作DE/AB,交OM于点E.OB=OM,1. DE/AB,ODXB

3、M,DMBD=DM.1. DE/AB,DMBDOAOEOAOD 2OEME, . AE=EM.AEOC 2DMOD ODy K(0<x. OM = &,AE=1(匹 x).2(3)1(i)当 OA=OC时. DM BM 21 -OC 2OD,OM 2DM 2 y.解得2 T 14,土 /外、,或 X -(舍).22(ii)当 AO=AC时，则 / AOC=/ACO. / ACO> / COB, /CO&/AOC, . / ACO>/ AOC,，此种情况不存在.(iii)当 CO=CA 时，贝U ZCOA=ZCAO=a. / CAO> / M , Z M=

4、90° - a, . .90° a,a>45 :/ BOA=2 A 90 : : / BOAW 90 °，此种情况不存在.即：当4OAC为等腰三角形时，x的值为 E 衣.2点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定 理，等腰三角形的性质，建立 y关于x的函数关系式是解答本题的关键.2.如图，已知 ABC中，AC=BC以BC为直径的。交AB于E,过点E作EG，AC于G,交BC的延长线于F.（1）求证：AE=BE（2）求证：FE是。的切线；（3）若FE=4, FC=2,求。的半径及 CG的长.3【答案】（1）详见解析；（2）详

5、见解析；（3）【解析】（1）证明：连接CE,如图1所示： BC是直径，./BEG90；CE!AB;又. AOBG 1- AE=BE.(2)证明：连接OE,如图2所示：. BE=AE, OB=OC, . OE是4ABC的中位线， . OE/ AC, AC=2OE=6.又EG，AC,.FEI OE,，FE是。的切线.(3)解：EF是。的切线，FE?=FC?FB.设 FC=x,贝U有 2FB=16,FB=8, . BC=FB FC=8- 2=6, . OB=OC=3,即。的半径为 3;.OE=3. OE/ AC,AFCCGAFOE,CG FC CG 2J"：,即'上十"6

6、CG= .点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾 股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识.3.如图，AB为。的直径，点 E在。上，过点E的切线与 AB的延长线交于点 D,连接BE,过点。作BE的平行线，交。于点F,交切线于点 C,连接AC(1)求证：AC是。的切线；(2)连接EF,当/D= 。时，四边形FOBE是菱形.【答案】(1)见解析；(2) 30.【解析】【分析】(1)由等角的转换证明出OCA二OCE ,根据圆的位置关系证得 AC是。的切线.(2)根据四边形 FOBE是菱形，得到 OF=OB=BF=EF得证 OBE为等边三角形，而得出

7、BOE 60 ,根据三角形内角和即可求出答案.【详解】(1)证明：.CD与。相切于点E,OE CD ,CEO 90 ,又.OC PBE ,COE OEB, /OBE=/ COA .OE=OB,OEB OBE ,COE COA,y.- oc=oc oa=o匕 OCA0 OCE(SAS , CAO CEO 90 ,又 AB为。O的直径， .AC为。O的切线；(2)解：二四边形FOBE是菱形，OF=OB=BF=EF，OE=OB=BEOBE为等边三角形，BOE 60 ,而OE CD,D 30 .故答案为30.【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关Ir4.

8、如图，在直角坐标系中，已知点 A(-8, 0), B(0, 6),点M在线段AB上。(1)如图1,如果点M是线段AB的中点，且OM的半径等于4,试判断直线 OB与。M 的位置关系，并说明理由；(2)如图2, OM与x轴，y轴都相切，切点分别为 E, F,试求出点 M的坐标；(3)如图3, OM与x轴，y轴，线段AB都相切，切点分别为 E, F, G,试求出点M的 坐标(直接写出答案)2424【答案】(1) OB与。M 相切；(2) M ( 7，/)； ( 3) M ( 2, 2)【解析】分析：(1)设线段OB的中点为D,连结MD,根据三角形的中位线求出MD,根据直线和圆的位置关系得出即可；(2

9、)求出过点A、B的一次函数关系式是 y=-x+6,设M (a, - a),把x=a, y=-a代4入y=3x+6得出关于a的方程，求出即可.4(3)连接 ME、MF、MG、MA、MB、MO,设 ME=MF=MG=r,根据S；Aabc=1AO?ME+1BO?MF + 1AB?MG=1AO?BO求得 r=2,据此可得答案.2222详解：(1)直线OB与。M相切.理由如下：设线段OB的中点为D,如图1,连结MD,点M是线段AB的中点，所以 MD / AO, MD=4,./AOB=/ MDB=90 ； . .MDOB,点 D 在。M 上.又.点D在直线 OB上，直线 OB与。M相切；(2)如图2,连接

10、ME, MF,8kb 0.A (-8, 0) , B (0, 6) , 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b,，解b 6得：k= 3 , b=6,即直线AB的函数关系式是 y=x+6.4OM与x轴、y轴都相切,(a, a)( 一 8v av 0)4点M到x轴、y轴的距离都相等,3x=a, y=-a 代入 y=x+6,得：-4即 ME=MF,a = a+6,彳导:4a=-24,点M的坐标为(-7(3)如图3,连接ME、2424、,)MF、MG、MA、MB、MO,0M 与 x轴，y 轴，线段 AB 都相切，MEXAO. MF±BO> MGXAB,设ME=MF=MG=r,贝U Sa

11、abc= 1 AO?ME+1 BO?MF+1 AB?MG= 1 AO?BO.2222. A (-8, 0) , B (0, 6) ,，AO=8、BO=6, AB= VaO2BO2 =10,，1?8+1？6+厂?10=1*64 8解彳导:r=2,即 ME=MF=2,，点 M 的坐标为(2,2222点睛：本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的 解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意：直线和圆有 三种位置关系：已知 。的半径为r,圆心O到直线l的距离是d,当d=r时，直线l和。O 相切.5.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧Ab1用直尺和圆

12、规作出 Ab所在圆的圆心。；(要求保留作图痕迹，不写作法 ) 2若AB的中点C到弦AB的距离为20m, AB 80m ,求AB所在圆的半径.分析：1连结AC、BC,分另1J作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O,如图1;2连接OA, OC, OC交AB于D,如图2,根据垂径定理的推论，由 C为AB的中点得 _ 1. _到 OC AB , AD BD -AB 40 ,则 CD 20,设 e O 的半径为 r,在 RtVOAD 2中利用勾股定理得到r2 (r 20)2 402,然后解方程即可.详解：1如图1,点O为所求；2连接OA, OC, OC交AB于D,如图2,qc为Ab的中点,O

13、C AB ,1AD BD AB 40, 2设e O的半径为r,则OA r, OD OD CD r 20,在 RtVOAD 中，QOA2 OD2 AD2,r2 （r 20）2 402,解得 r 50,即Ab所在圆的半径是50m.点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于 把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题.6.已知。中，弦AB=AC,点P是/ BAC所对弧上一动点，连接 PA, PB.（1）如图，把4ABP绕点A逆时针旋转到 AACQ连接PC,求证：/ACP+/ ACQ=180 ；°（2）如图，若/BAC=60,试探

14、究PA PR PC之间的关系.（3）若/BAC=120时，（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它 们之间的数量关系，不需证明.【答案】（1）证明见解析；（2） PA=PB+PC理由见解析；（3）若/BAC=120时，（2） 中的结论不成立，、3 PA=PB+PC【解析】试题分析：（1）如图，连接PC.根据 内接四边形的对角互补的性质 ”即可证得结论；（2）如图，通过作辅助线 BG PE CE （连接BC,延长BP至E,使PE=PC连接CEE）构建等边4PCE和全等三角形BE®4APC;然后利用全等三角形的对应边相等和线段间 的和差关系可以求得 PA=PB+PC（3

15、）如图，在线段PC上截取PQ,使PQ=PR过点A作AGLPC于点G.利用全等三 角形ABPAQP （SAS的对应边相等推知 AB=AQ, PB=PG 将PA PR PC的数量关系 转化到4APC中来求即可.试题解析：（1）如图，连接PC.,ACQ是由4ABP绕点A逆时针旋转得到的，/ ABP=Z ACQ由图知，点A、B、P、C四点共圆，丁./ACP+/ ABP=180 （圆内接四边形的对角互补），丁./ACP+/ ACQ=180。（等量代换）；（2） PA=PB+PC理由如下：如图，连接BC,延长BP至E,使PE=PC连接CE.弦 人8=弦人孰 /BAC=60,° .ABC是等边三角

16、形（有一内角为60的等腰三角形是等边三角形）. A、B、P、C四点共圆，Z BAC+Z BPC=180 （圆内接四边形的对角互补）， / BPC+Z EPC=180, ° Z BAC=Z CPE=60,°,. PE=PC .,.PCE是等边三角形，CE=PC / E=/ECP4 EPC=60;°又./BCE=60 + /BCP, Z ACP=60 +/ BCP, . / BCE玄 ACP （等量代换）,CE PC在ABEC和AAPC中，BCE ACP , . BECAPC（SAS , . BE=PAAC BCPA=BE=PB+PC（3）若/ BAC=120时，（2

17、）中的结论不成立，J3 PA=PB+PC理由如下：如图，在线段PC上截取PQ,使PQ=PB,过点A作AG, PC于点G. / BAC=120 ,° / BAC+Z BPC=180，/ BPC=60 ,° 弦人8=弦 AC,/ APB=Z APQ=30 :PB PQ在 4ABP 和 4AQP 中，APB APQ ,AABPAAQP （SAS ,AP AP .AB=AQ, PB=PQ （全等三角形的对应边相等），AQ=AC （等量代换）在等腰4AQC中，QG=CG在 RtAPG 中，/ APG=30 ,贝U AP=2AG, PG=73 AG,PB+PC=PG- QG+PG+CG

18、=PG- QG+PG+QG=2PG=2 3 AG,WpA=2,3aG,即 3 PA=PB+PC【点睛】本题考查了圆的综合题，解题的关键要能掌握和灵活运用圆心角、弧、弦间的关 系，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质等7 .解决问题：1如图，半径为4的e O外有一点P,且PO 7,点A在e O上，则PA的最大值和 最小值分别是 和.2如图，扇形AOB的半径为4, AOB 45°, P为弧AB上一点，分别在 OA边找 点E,在OB边上找一点F,使得VPEF周长的最小，请在图 中确定点E、F的位置并直 接写出VPEF周长的最小值； 拓展应用3如图，正方形ABCD的边长为4J2 ； E

19、是CD上一点（不与D、C重合），CF BE于F, P在BE上，且PF CF , M、N分别是AB、AC上动点，求 VPMN周长 的最小值.图图图【答案】（1） 11, 3； （2）图见解析，VPEF周长最小值为4J2； （3） 4，10 4a . 【解析】【分析】1根据圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直 线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为11和3;2作点P关于直线OA的对称点P1 ,作点P关于直线OB的对称点P2,连接P1、P2 ,与 OA、OB分别交于点E、F,点E、F即为所求，此时 VPEF周长最小，然后根据等腰直角 三角形求解即可；3类似2题作

20、对称点，VPMN周长最小 PP2,然后由三角形相似和勾股定理求解.【详解】解：1如图，Q圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在 过圆心的直线OP上，此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离.PA 的最大值 PA2 PO OA2 7 4 11,PA 的最小值 PA1 PO OA1 7 4 3,故答案为11和3；2如图，以。为圆心，OA为半径，画弧 AB和弧BD,作点P关于直线OA的对称点P ,作点P关于直线OB的对称点P2,连接P1、P2,与OA、OB分别交于点E、F,点E、 F即为所求.连接 OP、OP2、OP、PE、PF,由对称知识可知，

21、AOR AOP ,BOP2BOP , PE RE , PF P2FAOPiBOP2AOP BOP AOB 45o,POP245o 45o 90°,VPOP2为等腰直角三角形，PP2 反耳 472 ,VPEF 周长 PE PF EF P1E P2F EF PP24)2 ,此时 VPEF 周长最小.故答案为4 2；3作点P关于直线AB的对称P,连接AR、BP,作点P关于直线AC的对称F2, 连接Pi、P2,与AB、AC分别交于点M、N.如图由对称知识可知， PM PM , PN P2N , VPMN周长PM PN MN PMi P2N MN PP2 ,此时，VPMN周长最小 PP2.由对

22、称性可知， BAR BAP,EAP2EAP, AR AP AP2,BAPEAP2BAP EAP BAC 450PAP2450 45° 90°,VPiAB为等腰直角三角形，VPMN周长最小值PP2 V2AP ,当AP最短时，周长最小.连接DF.QCF BE ,且 PF CF ,PCF 45。，PC 短CFQ ACD 45。，PCF ACD , PCA FCD ,又处反CDAC PC在 VAPC 与 VDFC 中，= PC, PCA FCDCD CFVAPC s VDFC ,空AC 2DF CDAP 2DFQ BFC 90。，取 AB 中点 O.点F在以BC为直径的圆上运动，当

23、 D F、。三点在同一直线上时，DF最短.DF DO FO JOC2 CD2 OC 7(22)2 (42)2 272 2>/10 272，AP最小值为ap J2df此时，VPMN周长最小值pp2忑2ap应T2dfV2V227102V24尺442.【点睛】本题考查圆以及正方形的性质，运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键.8 .如图，在直角坐标系中，OM经过原点0(0, 0),点A(娓,0”T点B(0, J2),点D在劣弧0A上，连结BD交x轴于点C,且/ COD= / CBO.(1)求。M的半径；(2)求证：BD平分/ABO;(3)在线段BD的延长线上找一点 E,使得直线AE恰为

24、。M的切线，求此时点 E的坐标.【解析】试题分析：根据点 A和点B的坐标得出OA和OB的长度，根据 RtAOB的勾股定理得出 AB的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出/ABD=/ COD),然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出4AB瞌4HBE,从而得出BH=BA=2& ,从而求出0H的长度，即点E的纵坐标，根据 RtAOB的三角函数得出/ABO的度数，从而得出 / CBO 的度数，然后根据 RtHBE得出HE的长度，即点E的横坐标.试题解析：(1)二.点 A为(而，0),点 B为(0, J2).OA=V6 OB=V2根据RHA0B的勾股定理可得:AB=272 e M

25、 的半径 r=1 AB= 72 .(2)根据同弧所对的圆周角相等可得：/ ABD=/ COD / COD=/ CBO，/ ABD=/ CBOBD 平分 / ABO(3)如图，由(2)中的角平分线可得 ABEHBE，BH=BA=2j2，OH=2j2 OA 大在 RtA AOB 中, J3/ ABO=60，/ CBO=30OB在 RtHBE 中,H嚼缗点E的坐标为誉s考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数9 .如图，线段BC所在的直线 是以AB为直径的圆的切线，点 D为圆上一点，满足 BD=BC,且点C、D位于直径AB的两侧，连接 CD交圆于点E点F是BD上一点，连接EF,分 别交

26、AB、BD于点G、H,且EF= BD.(1)求证：EF/ BC;(2)若 EH= 4, HF= 2,求？E 的长.2 -【答案】见解析；(2) - 33【解析】【分析】(1)根据EF= BD可得 EF = ?D， 进而得到 Be = Df， 根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.(2)连接DF,根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长，根据 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 ”及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出ZBHG,进而 求出/BDE的度数，确定 BE所对的圆心角的度数，根据 /DFH= 90。确定DE为直径，代入 弧长公式即可求解.【

27、详解】(1)EF= BD,- Ef= BDBe = Df/ D= / DEF又 BD= BC,/ D= / C,/ DEF=/CEF/ BC(2) .AB是直径，BC为切线，ABXBC又 EF/ BC,.ABEF,弧 BF哪 BE,1GF= GE= (HF+EHE HG=1DB 平分 / EDF,又 BF/ CD,/ FBD= / FDB= / BDE= / BFH ,-.HB=HF= 2HG 1cos/ BHG= = , / BHG= 60 .HB 2/ FDB= / BDE= 30 °，/DFH= 90； DE为直径，DE= 4石，且弧BE所对圆心角=60：:弧 BE= - X

28、4>/3 = - J3 63【点睛】本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键10.如图，4ABC中，ZACB= 90°, /A=30： AB=6. D是线段AC上一个动点（不与点A重合），OD与AB相切，切点为 E, OD交射线DC于点F,过F作FG± EF交直线.BC于点G,设OD的半径为r.(1)求证 AE= EF；(2)当。D与直线BC相切时，求r的值；(3)当点G落在。D内部时，直接写出r的取值范围.【答案】(1)见解析，(2)r= 3,(3) 3 r 6-5【解析】【

29、分析】(1)连接 DE,贝U / ADE=60 =/DEF+/ DFE,而 / DEF=Z DFEE 贝(J / DEF=Z DFE=30 = /A, 即可求解；(2)如图2所示，连接DE,当圆与BC相切时，切点为 F, /A=30。，AB=6,则BF=3,AD=2r,由勾股定理，即可求解；(3)分点F在线段AC上、点F在线段AC的延长线上两种情况，分别求解即可.【详解】解：设圆的半径为r；而 / DEF=/ DFE,贝U / DEF=/ DFE=30 = Z A,，AE=EF(2)如图2所示，连接DE,当圆与BC相切时，切点为 F/A=30 ； AB=6,则 BF=3, AD=2r, 由勾股

30、定理得：（3r） 2+9=36, 解得：r=芯;连接DE、DG,当点F在线段AC的延长线上时，如图 4所示，连接DE、DG,国4FC 3.3 3r, GC . 3FC 3、3r 9两种情况下GC符号相反，GC2相同, 由勾股定理得：DG2=CD2+C片, 点G在圆的内部，故： DG2vr2,即：（3.3 2r）2 （3、. 3r 9）2整理得：5r2 11,Sr 18解得：3 r【点睛】6、35本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长.11.如图，四边形 ABCD内接于。O, /BAD=90°, AD、BC的延长线交于点 F,点E在CF 上，且/ D

31、EG=Z BAC.(1)求证：DE是。的切线；(2)当 AB=AC时，若 CE=2, EF=3,求。的半径.【答案】(1)证明见解析；(2)述.4【解析】【分析】(1)先判断出BD是圆O的直径，再判断出 BD± DE,即可得出结论；(2)根据余角的性质和等腰三角形的性质得到ZF=Z EDF,根据等腰三角形的判定得到DE=EF=3,根据勾股定理得到 CD JDE2 CE2 J5,证明CD上DBE,根据相似三 角形的性质即可得到结论.【详解】(1)如图，连接BD. ./BAD=90； .点 O 必在 BD 上，即：BD 是直径，. / BCD=90 ；/ DEG/CDE=90 ： / D

32、EC=Z BAC, / BAG / CDE=90 : / BAO/ BDC,/ BDG / CDE=90 ； . . / BDE=90 ；即：BD± DE. 点D在。O上，DE是。的切线；(2) Z BAF=Z BDE=90°,Z F+Z ABC=Z FDEZ ADB=90°. .AB=AC,，/ABC=/ACB / ADB=Z ACB,/ F=Z FDE, . DE=EF=3.,. CE=2, /BCD=90；Z DCE=90 ； . . CD 7DE2CE2 & / BDE=90 ； CD± BE, . / DCE=Z BDE=90 :,一C

33、D BD5 3 3、. 5、 Z DEC=Z BED,ACDE ADBE, ， , . BD , . .OO 的半CE DE本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理， 求出DE=EF是解答本题的关键.12.如图，AB是e O的直径，弦CD AB于点E,过点C的切线交AB的延长线于点 F ,连接DF .（1）求证：DF是e O的切线；（2）连接 BC,若 BCF 30 , BF 2,求 CD 的长.【答案】（1）见解析；（2） 2J3【解析】【分析】（1）连接OD,由垂径定理证 OF为CD的垂直平分线，得 CF=DF / CDF=/ DCF,由 /CDO=/O

34、CD,再证 ZCDO +/CDB=/OCD+/DCF=90,° 可得 ODDF,结论成立.（2）由/OCF=90°, /BCF=30°,得/OCB=60°,再证 A OC的等边三角形，得 /COB=60°,可 得/CFO=30,所以FO=2OC=2OB FB=OB= OC =2在直角三角形 OCE中，解直角三角形可 得CE再推出CD=2CE.【详解】（1）证明：连接OD.CF是。O的切线/ OCF=90 ° / OCD+Z DCF=90 ° 直径ABL弦CD .CE=ED即OF为CD的垂直平分线.CF=DF/ CDF=Z D

35、CF,.OC=OD,/ CDO=Z OCD / CDO +/ CDB之 OCD+Z DCF=90 °ODXDF.DF是。O的切线(2)解：连接OD / OCF=90, / BCF=30 °/ OCB=60 ° .OC=OBA OC囱等边三角形，/ COB=60 °/ CFO=30 ° . FO=2OC=2OB . FB=OB= OC =2在直角三角形 OCE中，/ CEO=90 / COE=60CE 3sin COE OC 2 CF ,3.CD=2 CF 2,3【点睛】本题考核知识点：垂径定理，切线，解直角三角形 .解题关键点：熟记切线的判定

36、定理，灵活运用含有 30。角的直角三角形性质，巧解直角三角形.13.如图，AB是半圆。的直径，点 C是半圆。上的点，连接 AC, BC,点E是AC的中 点，点F是射线OE上一点.(1)如图 1,连接 FA, FG 若 /AFC= 2/BAC 求证：FAIAB；(2)如图2,过点C作CD,AB于点D,点G是线段CD上一点(不与点 C重合)，连接FA, FG, FG与AC相交于点P,且AF= FG.试猜想/ AFG和/ B的数量关系，并证明； 连接OG,若OE= BD, /GOE= 90 °,。的半径为2,求EP的长.PE=【答案】(1)见解析；(2) 结论：/GFA= 2Z ABC.理

37、由见解析;(1)证明 /OFA=/BAC,由 /EAO+/EOA= 90°,推出 Z OFA+Z AOE= 90°,推出 Z FAQ90。即可解决问题.(2) 结论：/GFA= 2/ABC.连接FC.由FC= FG= FA,以F为圆心FC为半径作OF.因为 Ag Ag , 推出 ZGFA= 2/ACG,再证明 /ACG=/ABC.图2T 中，连接 AG,彳Fhl± AG于H.想办法证明 Z GFA= 120 °,求出EF, OF, OG即 可解决问题.【详解】Ei(1)证明：连接OC.1. OA=OC, EC= EA, OFXAC,FC= FA,/ OF

38、A= / OFC, / CFA= 2/BAC,/ OFA= / BAC, / OEA= 90 ； / EAO+Z EOA= 90 °, / OFA+Z AOE= 90 °,/ FAO= 90 ；AFXAB.(2) 解：结论：/GFA= 2/ABC. 理由：连接FC.02.OF垂直平分线段 AC, . FG= FA, , FG= FA,FC= FG= FA,以F为圆心FC为半径作OF.Ag Ag ,/ GFA= 2/ACG,.AB是。的直径，/ ACB= 90 °, .CD± AB, / ABO / BCA= 90 °, / BCD+Z ACD=

39、 90 ;/ ABC= / ACG/ GFA= 2/ABC.如图2 - 1中，连接 AG,彳Fhl±AG于H.图2 -1 BD= OE, / CDB= / AEO= 90 ； / B= / AOE, . .CD®MEO (AAS), .CD= AE, EC= EA, .AC= 2CD./ BAC= 30 ； / ABC= 60 °,/ GFA= 120 ； ，OA=OB= 2,.OE= 1, AE=/3, BA=4, BD= OD= 1, / GOE= / AEO= 90 ° .OG/ AC,32.3DG ,OG AGDG2 AD2 FG= FA, FH

40、XAG,.AH=HG=回，/AFH= 60。， 3AH2,7 .AF= ,sin 603在 RtAEF中，EF= JAF2 AE21 ,3八 八4 .OF=OE+EF=,3. PE/ OG,.PE EF, , ，OG 0F1PE 32.34'亍 3【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三 角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决 问题.14.如图，BD为4ABC外接圆。的直径，且 /BAE=/C.(1)求证：AE与。相切于点A;(2)若 AE/ BC, BC= 2J3, AC= 2,求 AD 的长.【答

41、案】(1)证明见解析；(2) 2>/3【解析】【分析】(1)根据题目中已出现切点可确定用连半径，证垂直”的方法证明切线，连接 AO并延长交。于点F,连接BF,则AF为直径，/ABF= 90°,根据同弧所对的圆周角相等，则可得 到/BAE=/F,既而得到 AE与。相切于点A.(2)连接 OC,先由平行和已知可得 /ACB=/ABC,所以AC= AB,则/ AOC= / AOB, 从而利用垂径定理可得 AH=1,在RtOBH中，设OB= r,利用勾股定理解得 r=2,在 RtA ABD中，即可求得 AD的长为2后.【详解】解：(1)连接AO并延长交OO于点F,连接BF,则AF为直径，/ ABF= 90°,Ab Ab ,/ ACB= / F, / BAE / ACB, / BA邑 / F, / FABZ F= 90 ； / FABZ BAE= 90 °, OAXAE, .AE与。相切于点A.(2)连接OC,AE/ BC,/ BAE= / ABC, / BAE= / ACB,/ ACB= / ABC,.AC= AB=2,/ AOC= / AOB,.OC= OB,OAXBC,.CH= BH= 1 BC=百,2在 RtABH 中，AH= Jab2 BH2=1,在 RtOBH 中，设 O