2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学试题(含答案解析)

1、2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数 学2021.12注意事项：1 .答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1 .设夏数z满足z+Kli） GR,则的虚部为、A.1B. -1C.iD.一i2 .已知孙是平面a内的两条相交直线,且

2、直线则“Z_L4是U_a”的A,充要条件B,充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3 .根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为。型49%,A型19%,B型25%,AB型 7%,已知同种血型的人可以互相输血,0型血的人可以给任何一种血型的人输血,AB型血 的人可以接受任何一种血型的血,其他不同血型的人不能互相输血.现有一血型为B型的病 人需要输血，若在该地区任选一人,则能为该病人输血的概率为A. 25%B.32%C.74%D,81%4 .已知正数a乃是关于1的方程/一（一+4丘+加=0的两根，则工+4的最小值为 a OA 2B. 272C.4D.4725 .已知 a =

3、 Iog315,6=k）g4 20,2c=L 9,则A. ac6B. cabC, bdcD. a6c6 .当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形 势依然严峻、复杂.某地区安排A,B,C,D,E五名同志到三个地区开展防疫宣传活动,每个地 区至少安排一人，且两人安排在同一个地区,C,D两人不安排在同一个地区，则不同的 分配方法总数为A. 86 种B. 64 种C 42 种D. 30 种7 .庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征,正五角星是一个非常优美的几何图 形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以A,&C,D,E为顶点的多

4、边 形为正五边形,且第=四/，则AA.翦号雄+掾成8 .已知函数/（均是定义在R上的奇函数，当zeO,l时（N）=sin m,且满足当1时, /（工）=2/包一2），若对任意文 一勿，T,f （幻2遍成立,则Tzz的最大值为A.寻B.当C.yD.挈6363二、选择题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.9 .已知集合 A = z | log? x0,则A.AnB=x|0x4）B.AJB=xx2oCMDB=00.( hA)UB=tr|c22021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学 第4页

5、（共4页）】10 .为了普及环保知识，增强环保意识,某学校分别从两个班各抽取7位同学分成甲、乙两组参 加环保知识测试，得分（十分制）如图所示,则下列描述正确的有频数0 3456789 10 得分 甲组A.甲、乙两组成绩的平均分相等B,甲、乙两组成绩的中位数相等C.甲、乙两组成绩的极差相等D.甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差11 .已知函数 /（x） = exe-xsin 2”,若,则A.衣忌B. e*i f 1C. ln|xi |ln |牝 | D.乃 | 阳 | x21 x2112 .已知居,F2分别为椭圆C：+ = l（a50）的左、右焦点,P为椭圆上任意一点（不在工 轴上）,PRFz外接

6、圆的圆心为H,ZPF内切圆的圆心为I,直线P/交忆轴于点M,0 为坐标原点.则A.而拓的最小值为除B.而拓的最小值为C.椭圆C的离心率等于制D.椭圆C的离心率等于留三、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分,把答案填在答题卡中的横线上.13 .已知等比数列4的前项积为T“，若4a6=2。5,则= A14 .已知R,F2分别是双曲线C的左、右焦点，若双曲线C上存在一点M满足|MFJ ： MF2 ： |F】BI=12 ： 13 : 5,则该双曲线的离心率为15 .我国古代数学名著九章算术中记载:“刍矍者，下有袤有广，而上有袤%工无广.刍，草也.薨,屋盖也.”现有一个刍薨如图所示，底面ABCD

7、是边 /c长为4的正方形，上棱EF=2V2,四边形ABFE,CDEF为两个全等的D IX等腰梯形,EF到平面ABC。的距离为2,则该刍烧外接球的表面积为B16 .若函数jy=f（幻的定义域内存在为注2（为使1回2 = 1成立,则称该函数为 “互补函数”.若函数fCr）=cos（x冷）-4仙（0比+粤）（加0）在0,20上为“互补函 数”，则3的取值范围为_A 四、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 . （10 分）在S”=武岁,为+】=2% 一一，S?=4。7 =28，照=组,S3 =6这三个条件中任选 ,一个补充在下面的问题中,并加以解答.问题:设

8、数列对的前项和为S.,，若b产需，求数列伉的前项和.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.（12 分）全球变暖已经是近在眼前的国际性问题，冰川融化、极端气候的出现、生物多样性减少等等 都会给人类的生存环境带来巨大灾难.某大学以对于全球变暖及其后果的看法为内容制作 一份知识问卷，并邀请40名同学（男女各占一半）参与问卷的答题比赛，将同学随机分成20 组,每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个问题，答对一题得一分,答错或不答得男同学女同学总计该次比赛得满分该次比赛未得满分总计（2）随机变量X表示每组男生分数与女生分数的差，求X的分布列与数学期望. 参考公式和数据：昭=研研畸笛

9、砺万,，=a+b+c+.P(K2k)0.100.050. 010k2.7063. 8416. 63519. （12 分）在ABC中，角八,B,C所对的边分别为a,b,c,A吓,cos B=,a+b=7j2.（1）求a”的值；（2）已知D,E分别在边BA ,BC上，且AD+CE=49，求3OE面积的最大值.20. (12 分)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形,ZVIDE为等边三角形，且平面ADE 平面和平面ABCD所成的角为45,且点F在平面ABCD上的射影落在四边形 ABCD的中心，且AD=AR(D证明:EF 平面ABCD.(2)求平面AED与平面BCF所成角(锐角)的余弦值

10、.21. (12 分)已知抛物线Ce=2(Q0),F为其焦点,P(l,y)3O),A,B三点都在抛物线C上,且 IFP | = 2,设直线AB, PA, PB的斜率分别为3瓦及2.求抛物线C的方程，并证明*+*=卷+ 1;已知且A,B,M三点共线，若PAJ_PB出人求直线P八的方程.22. (12 分)已知函数 /(x)=xIn x(aGR).(1)讨论八幻的单调性；若f (工)在(1,+8)上恒成立，求a的取值范围.【2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学 第4页(共4页)】2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学参考答案1.B【解析】本题考查直数的四则运算,考查运算求

11、解能力.i(l-i) = l+i，又 2+i(l i)eR,所以 Z 的虚部为一L2 . A【解析】本题考查线与面的位置关系，考查空间想象能力.当/_b时，因为，“，”是平面a内的两条相交直线,LL”，所以Za;当/_La时，因为?Ua,所以lA,m.综上是”_La”的充耍条件.3 .C【解析】本题考查概率的运算，考查运算求解能力.由题意可知.能为B型血病人输血的有O型和3型.因此，在该地区任选一人，能为病人输血的概率为49%+25% = 74%.4 .C【解析】本题考查基本不等式，考查运算求解能力.a+=?/十4,2=心0,则十十年=膏=,十当且仅当m=2时等号成立，经检验知当利=2时, 方

12、程x2-(nr +4反+2二0有两个正实数解.5 . D【解析】本题考查指数、对数的比较大小,考查运算求解能力.a = logJ5 = 1+logs5,b= logi20 = 1 + log：5, c = logs L 96a6D【解析】本题考查排列组合的应用，考查逻辑推理能力.当两个地区各分2人另一个地区分1人时，总数有Q & = 12种；当两个地区冬分1人另一个地区分3人时,总数有C - Al = 18种.故满足条件的分法共有12+18=30种.7 . A【解析】本题考查平面向呈的运算,考查逻辑推理能力.弟/-小+容上=/ 铲球+雷为庄=呼出+辱近.75 + 175 4-175+1 75+

13、375 4-175+375 + 1228 .B【解析】本迤考查函数的性质，考查数形结合的数学思想.函数/Cr)是定义在R上的奇函数当409 时J(=sin 则/l 时JQ) = 2/(12),可画出函数图象如图所示.由图知当时./(.r) = 4/(.r4) = 4sin(7rj4n) = 4sin n上.则当一5 一3 时.y(jr) = /(jr)=4sin 7W.当一3时,令4sin解得才i =一学小=一日(舍去).若对任意16一人门，J5八外26成立.所以7的最大值为学.9 . AB【解析】本题考查集合的运算，考查运算求解能力.4=川喝71 = 2|02.8=川4-30 = 川父,所以

14、八（18=川04）/8=#j2,故选 AR010 .BCD【解析】本题考查统计，考查数据分析能力.因为“1 7 . 7.1.8/ 25号i力8 片所以甲组成绩的平均分小于乙组成绩的平均分,甲、乙 两组成绩的中位数都为6.甲、乙两组成绩的极差都为4,甲组的成绩比乙组更加稳定，所以甲组成绩的方差 小于乙组成绩的方差故选BCD11. BD【解析】本题考查导数与函数的单调性，考查化归与转化的数学思想和推理论证能力.因为f（一/） = c “一炉+sin 21=一/（工）,所以/（才）为奇函数.乂 /（#=/ +e - 2cos 22-2cos 2r20所以 /（）在 R 上单调递增.由）/5）可得了Q

15、，所以由,B正确，又因为函数a=川I1在R上单调递增，所以力1力|/ 1由I ,D正确.12. AD【解析】本题考查椭圆的定义以及几何性质，考查运算求解能力.过点H做HGJ_PR （图略）.垂足为G.则G为PR的中点所以丽 耐=号,同理丽巩=号./U所以as 仍=二耐*n*朋=孑（席 12+1讯12）-1. （Jri.ti.rffi产=4，Zi*44CC当且仅当I耐I = iM I时取等号.连接IBJFz，则m，IF?分别为NPFiB，NPBB的角平分线，由角平分线定理可知.愣=高 =IfM 则 UM|FM + lBAdM2c 故冼 ad13. 512【解析】本题考查等比数列，考查运算求解能力

16、.因为小。$ =2s 所以恁=2则八=2 =512.14 . 5【解析】本题考查双曲线的定义，考查推理论证能力和运算求解能力.双曲线的离心率?=五%=5.15 . 33k【解析】本题考查空间几何体的外接球，考查空间想象能力和运算求解能力.连接AC.BD相交于点G,取EF的中点H,连接GH,易得HG_L平面ABCD,则该 /刍骁外接球的球心。在直线HG上.设该刍凭外接球的半径为= 则玄您我/、=2+/,s曜A8厂解得尸蔡=限所以该刍亮外接球的表面积为4次代=（2女/+（2彳产24=337t.16 .号,表U孕+8）【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力./(工)=* cos(o

17、m) H-y sin(3) = cos(w.rT-) = sin 於乙.乙0令-，则函数y=sin /在区间.，2加上存在两个极大值点,则红得322.当2T=2久时.即显然符合题意；当听萼,即告时,为兀）学,即,所以年告；当4底37t苧,即3弓时,为即3） 所以午Ws4.综上山的取值范闱为许，仔1）乎一 8）. 仆 乙Q17 .解:选当 =1 时ai=S】=l,1分2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学参考答案 第2页（共6页）】当。2 时,%=S“一S,i=9 3 分乂=1满足以 所以匾 二7八 5分/L老=次=（+尸，6分则数列他的前项和T. = 1X（J+2X（不2+3X（）

18、3 +尸， 4乙乙乙!T,r = lX（J）2+2X（4）3+（一）（得）,叶.（得产,8 分所以,%=+6）2+（卷）3+（_!尸一.弓尸/1（a）”11=-Y.（粉小=1一3+2）.（专产1-T故 八=25:2）（4尸. 10分选 因为4叶1=2右一41，所以数列值, 是等2分设数列4的公差为,则 S?=7ai+21=28a?=ai+6d=7. 4 分解得ai=l,d=l,所以斯=2 5分4=*=氏=借）7 6分则数列儿 的前项和T = lX（：+2X（p+3X（皆/+ 乙乙乙4得= 1乂（3）2+2+q）2+（q）H（十尸一.（1_）一方1一（十）4=-p，-（号尸” = 1一储+2）

19、（今尸31-T故r=2一（+2） （4）w. 10 分选由g=l,则笔=丛,所以纭=平,即出尸叫,2分aM n 十 1 n n 153=9+2+3=6/=6,所以勺=1, 3分所以乐=.5分,=券=合=（4尸6分则数列几的前项和0 = 1X（得+2X（：）2+3x +尸+（得儿 乙乙乙OyTir=lX（-）2+2X（y）3+-+凸）2 +（4）3 + （不一 （）-1 乙乙/匕L乙故 T.=2-(n+2) (v)w- 10分1&解：(D2X2列联表如下：男同学女同学总计该次比赛得满分81119该次比赛未得满分12921总计2。20403分所以= 4：修：晨中)二0, 902V2. 706, 5

20、 分1 y A 4 1八乙U八乙U所以没有90%的把握认为“该次大赛是否得满分”与“性别”有关.(2)X的可能取值为-2. 1,0.1,2 6分P(X - 2) = *,P(X=T)=强P(X=0)=和P(X=1)=曰，尸(X=2) =吉，9 分则X的分布列为X-2-1012P1203107201511010分所以 E(X) = (-2)X表+ (- l)X+0X看+ 1X+2义左=0. 12 分19.解：(1)因为003=4,所以品113=零1分O0由正弦定理m+6=7笈可化为2R(sin A+sin B)=7氏 3分解得2R=6. 4分a=2Rsin A=6X = 3疙，5 分=2Rsin

21、B=6X零=4笈.6 分(2)sin C=sin(A+B)=sin Acos B4-cos Asin B= 7 分b会=忘解得=+ 9分因为 AD+CE=4&,所以 BD+BE=4+9+3疙-4乃=4. 10 分BDE的面积S&we=bDBEsin B=-BD 坨/=竽.当且仅当BD=BE=2时,取得最大值. 12分20 . (1)证明：连接BD,取AD.BD的中点分别为O.G连接EO,OG,GF,易得G为四边形A5CD的中心， 所以FG_L平面ABCD. 1分设AD=2,因为BF和平面ABCD所成的角为45二所以NFBCA45:因为BG=&，所以FG=73.2分 又因为平面ADE_L平面八B

22、CD,平面ADED平面ABCD=AD.EOAD.所以 ECLL平面 ABCD,EO=yi，则 EO=FG,EOFG, 4 分所以四边形E(X；尸是平行四边形，所以EFOG.5分因为EFD平面A8CD.OGC：平面ABCD.所以EF平而ABCD. 6分(2)解:在平面ABCD中，作OyAD.如图，以O为坐标原点,QA,Oy,OE所在直线分别为轴建系， 则 A(1.0.0),D( 1.0.0)，B(1.24,0),E(0.0,Q),F(0,.yi).7分 又因为平面ADEJ_平面A8CD.所以加=(0,1.0)是平面ADE的一个法向 量.8分设平面3CF的法向垃为=(才之). 因为跻=(一1,一夜.6),次=(一2,0,0),2x=0t-k岛+崔=。解得l0.所以y=B,10分12分所以平面BCF的法向量为 =(0,抬，女. 记平面AED与平面BCF所成的角为0,所以 | COS 01 =施. _-/3 _ /lTmn 一底一5所以平面AED与平面BCF所成角(锐角)的余弦值为卒.o21 ,解MD|FP|=l+=2,所以P=2,所以抛物线C的方程为y2=4i,点P(l,2). 2分设点A(为，y ),8(4，T)，则跖=叫4=全产=/扁,同理扁=/扁决=导五，4分4 -1-所以+十=吟土,卷+1 =旧七，则十+=+1. 6分k Ki4 k