数学建模——传染病模型

1、传染病模型摘要当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。然后，通过借助M

2、atlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。关键词：传染病模型，简单模型，SI,SIS,SIR,微分方程，Matlab一、问题重述有一种传染病（如SARS甲型H1N1正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必

3、要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t时刻的感染人数。2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。二、问题分析1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间

4、的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。三、模型假设模型二和模型三的假设条件：假设一：在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类(取两个词的第一个字母，称之为SI模型)，以下简称健康者和病人

5、。时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。假设二：每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率。当病人与健康者接触时，使健康者受感染变为病人。假设三：模型三在假设一和假设二的基础上进行考虑，然后设病人每天治愈的比例为称为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康者，显然1/N是这种传染病的平均传染期。模型四的假设条件：假设四：总人数N不变。人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed三类，称SIR模型。三类人在总数N中占的比例分别记作s(t),i(t)和r(t)。假设五：病人的日接触率为K,日治愈率为N(与SI模型相同)，传染期接触为。二大/2四、符号说明t某

6、一具体时刻x(t)病人人数九每天每个病人有效接触的人数N总人数s(t)健康者总人数i(t)病人总人数i0初始时刻病人的比例tm病人的最大值口、日治愈率1/平均传染率二接触率r(t)移出者So初始时刻健康者的比例五、模型的建立与求解模型1在这个最简单的模型中，设时刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数，并且每天每个病人有效接触(足以使人致病的接触)的人数为常数人，考察t至产十位病人人数的增加，就有x(tt)x(t)-,x(t)t再设t=0时有xo有个病人，即得微分方程dx='x,x(0)=x0(1)dt方程(1)的解为x(t)=xoe,t(2)结果表明，随着t的增加，病人人数x(t)无限

7、增长，这显然是不符合实际的。建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别这两种人。模型2(SI模型)根据假设，每个病人每天可使Xs(t)个健康者变为病人，因为病人数为Ni(t),所以每天共有，由5代)4)个健康者被感染，于是儿Nsi就是病人数Ni的增加率，即diNNsi(3)dt又因为s(t)i(t)=1(4)再记初始时刻(t=0)病人的比例为i0,则dii(1-i),i(0)=iodt(6)方程(5)是Logistic模型。它的解为1.t-1e-io由(5),(6)式及图1可知，第一，当i=1/2时d到达最大值：

8、，这个时刻为dtdtmtm=Tn一-1io这时病人增加的最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。tm与，成反比，因为日接触率，表示该地区的卫生水平,九越小卫生水平越高。所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。第二，当tT8时iT1,即所有人终将被传染，全变为病人，这显然不符合实际情况。其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。模型3(SIS模型)有些传染病如伤风、痢疾等愈合后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以这个模型成为SIS

9、模型。考虑到这一模型的假设条件，于是有Ni(t+&)-i】=KNsi&-NNi(8)可得微分方程di=Zj(1-i)-内i(0)=i0(9)dt定义昨%(10)其中仃是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数。得到(11)didt=-"-(1-1/二)'模型4(SIR模型)大多数传染者如天花流感肝炎麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者(易感染者)，也非病人(已感染者)，因此他们将被移除传染系统，我们称之为移除者，记为R类。SIR模型是指易感染者被传染后变为感染住，感病者可以被治愈，并会产生免疫力，变为移除者。人员流动图为：S-I-R。

10、1.模型构成：(12)在假设1中显然有:s(t)+i(t)+r(t)=1(13)对于病愈免疫的移出者的数量应为N=Nidt不妨设初始时刻的易感染者、染病者、恢复者的比例分别为s0(so>0),i0(i0>0),r0=0,则SIR基础模型用微分方程组表示如下:di.it.=九Si一出dt(14)ds.一二一Sidtdr=Nidts(t),i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s(t),i(t)的一般变化规律。2,数值计算在方程(3)中设入=1,仙=0,3,i(0)=0.02,s(0)=0.98,用MATLAB软件编程：functiony=ill(t,x)a=1;b=0.

11、3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2);ts=0:50;x0=0.20,0.98;t,x=ode45('ill',ts,x0);plot(t,x(:,1),t,x(:,2)pauseplot(x(:,2),x(:,1)输出的简明计算结果列入表1。i(t),s(t)的图形以下两个图形，is图形称为相轨线，初值i(0)=0.02,s(0)=0.98相当于图2中的P0点，随着t的增,(s,i)沿轨线自右向左运动.由表1、图1、图2可以看出,i(t)由初值增长至约t=7时达到最大值,然后减少,t一oo,i-o,s(t)则单调减少,t一oo,s-0.039

12、8.并分析i(t),s(t)的一般变化规律.表1i(t),s(t)的数值计算结果t012345678i(t)10.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t910152025130354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398107

13、,63.相轨线分析我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解(t),s(t)的性质。(s,i)|s>0,i>0,s+i<1(15)在方程（14）中消去dt并注意到（T的定义，可得所以:dds|s=50=io(16)di1-1dsIsb)iidii0s1丁r-1d(T利用积分特性容易求出方程（5）的解为:(17)1si=(s°i°)-s=-ln在定义域D内,(17)式表示的曲线即为相轨线，如图3所示.其中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向卜面根据(14),(17)式和图3分析s(t),i(t)和r的变化情况(t一丽它们的极限值分别

14、记作Sg,/和.1 .不论初始条件s0,i0如何，病人将消失，即：tTs,i-02 .最终未被感染的健康者的比例是，在式中令i=0得到，是方soi0-s-1ln=0一二s在(0,1/b)内的根.在图形上是相轨线与s轴在(0,1/6)内交点的横坐标3 .若%>1/*则开始有5=工-11ao,i(t)先增加，令5=21=0,可dsl.s(TJdsIs(T)得当s=1/o-时,i(t)达到最大值：1im=%-i0-(1.ln二So)a然后s<1/(T时，有d_J工_il<o,所以i(t)减小且趋于零,s(t)则单调减小dsIS(T)至S®,如图3中由P1(So,i0)出发

15、的轨线4 .若%<1/，则恒有5=211<0,i(t)单调减小至零,s(t)单调减小至s*dsIs)如图3中由P2(s0,i0)出发的轨线可以看出，如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么1/(7是一个阈值，当生>1/(即(T>1/s0)时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数(T,即提高阈值1/6使得s0W1/(T(即(T&1/、)，传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值s。是一定的，通常可认为生接近1)。并且，即使s0>1/，减小时，本增加(通过作图分析)，im降低，也控制了蔓延的程度.我们注意到在6=人a中，人们的卫生水平越高，日接

16、触率入越小；医疗水平越高，日治愈率N越大，于是(7越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延.从另一方面看，os=九s.1/N是传染期内一个病人传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义是一病人被仃s个健康者交换.所以当s0<1/即仃s0M1时必有.既然交换数不超过1,病人比例i(t)绝不会增加，传染病不会蔓延。5 .群体免疫和预防：根据对SIR模型的分析，当生M1/。时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水平，使阈值1/(7变大以外，另一个途径是降低s,这可以通过比如预防接种使群体免疫的办法做到。忽略病人比例的初始值i0有s°=1-r0,于是传染病不会

17、蔓延的条件s0<1/仃可以表为1ro-1-a这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例(即免疫比例)就可以制止传染病的蔓延。这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的。据估计当时印度等国天花传染病的接触数(7=5,至少要有80%勺人接受免疫才行。据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高ro,也因很难做到免疫者的均匀分布，使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些传染病的(7更高，根除就更加困难。6 .模型验证:支的实际数据,dt上世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，即有了Ke

18、rmack等人用这组数据对SIR模型作了验证。首先，由方程(12),(14)可以得到包-si-si-sd1dtdt1一.一一.一上式两边同时乘以dt可=-ds=ydr,两边积分行sr。r°Kr=lns|；=-二=所以:再一加=idts(t)(8)=N(1-r-s)=口(1-r-生力)(9)当rwl/仃时，取（13）式右端eTaylor展开式的前3项得:22-=J(1-r-S00s0r-So)(10)dt2在初始值ro=0下解高阶常微分方程得r（t）=j（包二一1）：thg一）（11）S0：L2其中口2=（%。1）2+2号i。2,th中=包从而容易由（10）式得出:Ctdr_12dt2so二2ch2。；-)然后取定参数S0,6