对数及对数函数

1、作者:日期:第四讲：对数及对数函数【1】对数与对数运算(1)对数的定义若ax N(a 0,且a 1),则x叫做以a为底N的对数，记作x log a N,其中a叫做底数，N叫做真数.负数和零没有对数.对数式与指数式的互化：x logaN ax N(a 0,a 1,N0).(2)几个重要的对数恒等式loga 1 0 , log a a 1, loga ab b .(3)常用对数与自然对数常用对数：lg N ,即log10 N ；自然对数：lnNYogeN (其中e 2.71828).(4)对数的运算性质如果a 0,a 1,M0,N0,那么 加法：loga Mloga N loga(MN)减法：lo

2、ga M loga N loga N数乘：nlogaM logaM n(n R) alogaNN log b M n nloga M (b 0,n R) ab换底公式：loga N logbN(b 0,且b 1) logb a* 试推导 log a an n； loga M loga N logaM.N证明：(1)设 logaan x,则 an ax ,解得 x n.所以 logaan n .(2)设 logaMp, loga N q,则 ap M , aq N .p因为 M apq,则 logaM p q logaM loga N .N aN所以，logaM loga N loga M .

3、N*试推导出换底公式:log a b 10g c b (a 0,且a 1; c 0,且c 1; b 0). logca证明：设 logc b m, logca n,logab p ,贝U cm b ,cn a, ap b .从而(cn)p b cm,即 np m.由于 n logca logc1 0,则 p m. nlogc b 所以，log a b.logca例题讲解1、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： 71_ a _1 _一(1)2 诟；(2) 327 ；(3) 100.1 ;(4)1og 1 325;2(5) lg0.0013；(6)ln100=4.606 .(2) 1g2 5

4、 +1g 2 1g5 0 +(1g 2 )212、计算：(1 ) 1。g2. 56.25+lg 一+ 1 nVe + 21 g231003、log二 1(3 + 2<2)=4、计算下列各式的值：(1) 1g0.001 ;(2) 1og48;(3)皿石.5、若 2a 5b 10 ,则1 1 a b6、方程 lg x lg(x 3)1的解x=7、化简:log5 7 10g3 7【2】对数函数及其性质(5 )对数函数函数名称对数函数定义函数y log a x(a 0且a 1)叫做对数函数图象a 10 a 1y 'i x 1yy 10g a xy,k x 1y 10g a xO/； (1

5、,0)x/ 1OIKx定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当x 1时，y 0.奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数函数值的 变化情况10gax0(x1)10gax0(x1)10ga x0(0x1)10gax0(x1)10gax0(x1)10ga x0(0x1)a变化对？图 象的影响在A象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高.典例分析、定义域与值域问题1、函数y=，logi(2x 1)的定义域为2一2、函数y 10g(2x 1) 23x 2的定义域是3、函数y 10gl (x2 6x 17)的值域是24、已知函数 f ( x ) = 1g

6、(ax2 + 2 x + 1 ).(1)若函数f ( x )的定义域为R ,求实数a的取值范围;(2)若函数f ( x )的值域为R,求实数a的取值范围.二、对数函数的图像问题三、比较大小问题1、比较下列各组数中两个值的大小：(1) loga5.1,loga5.9(a Qa 1)(2) log6 7,log7 6 ；(3) log 3 ,log20.82、若logm9 logn9 0,那么m,n满足的条件是()A、m n 1B、n m 1 C、0 n m 1 D、0 m n3、三个数60.7,0.76,log0.7 6的大小顺序是()(A) 0.76 log 0.7 6 60.7 (B) 0.

7、76 60.7 log0.76(C) log 0.7 6 60.7 0.76 (D) log 0.7 6 0.76 60.74、设 P log2 3, Q logs 2 , R log2(log32),则()A.RQ P?B.P RQ?C. Q R P?D.R P Q四、定点问题1、函数f xloga(3x 2) 4 (a 0且a 1)的图象恒过定点 。2、若函数y log a (x b)(a 0, a 1)的图象过两点(1,0)和(0,1),则()A. a 2,b 2B, a T2,b 2 C, a 2,b 1D, a T2,b 72五、单调性问题1、若y log2(x2 ax a)在区间(,1 73)上是增函数，则a的取值范围是()A. 2 2,2B. 2 2石 2 ?C. 2 273,2D. 2 273,22、f(x) log3 x ,当 x a,2a2时，函数的最大值比最小值大3,则实数a =3、讨论函数y logo.3( x22x 3)的单调性.六、函数的奇偶性问题1、函数f(x) lg Jx2 1 x是 (奇、偶