2020年九年级数学中考压轴专题：折叠问题与动点问题(含答案)

1、2020年九年级数学中考压轴专题：折叠问题与动点问1 .如图，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为 EF.如图，展开后再折叠一次，使点 C与点E重合，折痕为 GH,点B的对应点为点M, EM交AB于N.若AD=2,则 MN=.第1题图第2题图2 .边长为4的菱形纸片ABCD中，/A=60°,折叠菱形纸片 ABCD,使点C落在DP（P为AB中点）所在直线上的 C 处，得到经过点D的折痕DE,则CE =.4m 43 .如图，在矩形 ABCD中，点E是AD的中点，连接BE,将/ABE 沿着BE翻折得到/FBE, EF交BC于点H,延长BF、DC相交于 点 G,若 DG=16,

2、 BC = 24,则 BH =.第3题图7584 .如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将/ABE沿BE折叠L1第4题图后得到/GBE,延长BG交CD于点F,若CF=1, FD = 2,则BC 的长为.第4题解图5 .如图，在/ABCD中，AC与BD相交于点O, /AOB= 75°, BD =4,将/ABC沿AC所在直线翻折，若点B的落点记为E,连接BE 与OA交于点F,则OF的长度为.BC第5题图6 . 如图，已知 AD/BC, AB/CD, / B= / C.(1)求证：四边形 ABCD为矩形；(2)如图，M为AD的中点，在 AB上取一点 N,使/BNC= 2/DCM .若

3、N为AB中点，BN= 2,求CN的长；若CM = 3, CN = 4,求BC的长.第题图(1)证明：-. AD / BC, AB / CD,四边形ABCD是平行四边形，1. AB/ CD,.B+ /C=180°, . / B= / C,.Z B= /C= 90°,四边形ABCD是矩形.(2)解：如解图 中，延长 CM、BA交于点E.第6题解图 AN= BN = 2,AB= CD = 4, AE/ DC,. E= / MCD ,在GAEM和4DCM中,/ E= ZMCDZAME = Z DMCAM= DMAMEA DMC ,AE=CD = 4, . / BNC=2/ DCM

4、= / NCD , ./ NCE= / ECD= / E,-.CN=EN = AE+AN= 4+2= 6.如解图中，延长CM、BA交于点E.第6题解图由可知，ZXEAMACDM , EN=CN,EM= CM = 3, EN = CN= 4,设 BN= x,贝U BC2= CN2-BN2= CE2-EB2, .42-x2= 62-(x+4)2,1 x 2，BC= JcN2- BN2 = 4Ia2- (p 2 = 327.7.已知那BC为等边三角形，点 D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作等边 那DE (顶点A、D、E按逆时针方向排列)，连接CE.(1)如图，当点D在边BC上

5、时，求证： BD=CE,AC = CE + CD;第7题图(2)如图，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC = CE+CD是否成立？若不成立，请写出 AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系.(1)证明：. ABC和 3DE都是等边三角形，AB=AC=BC, AD = AE,/BAC= /DAE= 60°, / BAC- / CAD = / DAE / CAD ,即 / BAD = / CAE,在GABD和GACE中，AB = AC/ BAD = /

6、CAEAD = AEABDA ACE(SAS),BD=CE;BC= BD+CD, AC=BC, BD = CE, . AC=CE+CD;(2)解：AC=CE+CD 不成立，AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC=CE- CD.理由：ABC和AADE都是等边三角形，.AB=AC=BC, ad = ae,/ BAC= / DAE = 60°, ./ BAC+/ CAD= /DAE+/CAD,即/BAD= /CAE,在GABD和GACE中，AB = ACZBAD=ZCAE,AD = AEABDA ACE(SAS),BD=CE, .BC=BD-CD,BC=CE-CD, AC= BC, .

7、 AC=CE CD;(3)解：补全图形如解图，第7题解图AC、CE、CD之间存在的数量关系是： AC=CD CE.8.如图，四边形 ABCD是边长为1的正方形，点 E在AD边上运动，且不与点 A和点D 重合，连接 CE,过点C作CF XCE交AB的延长线于点 F, EF交BC于点G.求证：ACDEACBF; ,1(2)当DE=万时，求CG的长；(3)连接AG,在点E运动过程中，四边形 CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由.第8题图(1)证明：如解图，在正方形 ABCD 中，DC = BC, /D= Z CBA= Z CBF = Z DCB =90 °,第

8、8题解图.1+ Z 2= 90°,.CFXCE,.2+ / 3= 90°,Z 1 = Z 3,在ACDE和ACBF中，/ D= / CBFDC=BC ,/ 1= / 3CDEA CBF(ASA);(2)解：在正方形 ABCD中，AD/BC,GBFA EAF ,- BG= BF AE- AF'由(1)知，ACDEACBF,1 BF= DE= 2,;正方形的边长为1 ,3 .AF = AB+BF=- 2,1AE=AD DE= 2，1,BG 2* 1 3'2 2bg=6.一 一 一 5.CG=BC-BG= 56'(3)解:不能.理由：若四边形 CEAG是平

9、行四边形，则必须满足 AE/CG, AE= CG,AD-AE= BC CG,DE= BG,由(1)知，ACDEACBF, .DE=BF, CE=CF,AGBF和AECF是等腰直角三角形，/GFB= 45°, /CFE= 45°,，/CFA= /GFB+/CFE= 90°,此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符，点E在运动过程中，四边形 CEAG不能是平行四边形.9. 如图，已知 那BC中，AB= 10 cm, AC= 8 cm, BC=6 cm.如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动，同时点 Q由A出发沿AC向点C匀速运动，它们的速度均为 2 cm/s.

10、连接PQ,设运动的时间为t(单位：s)(0 t44)第9题图当t为何值时，PQ/ BC;并求出最大值；求出此时t的值;(2)设"QP的面积为S(单位：cm2),当t为何值时，S取得最大值,(3)是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把AABC的面积平分？若存在,若不存在，请说明理由.解：（1）由题意知 BP=2t, AP= 10-2t, AQ=2t, PQ / BC,APQA ABC,AP AQ二.=AB AC， 102t 2t .口 20即=一=£,解得 t=20, 1089即当t为20 S时，PQ/ BC；9 AB= 10 cm, AC=8 cm, BC=6 cm,AB2=

11、AC2 + BC2,.ABC为直角三角形, ./ C=90°,如解图，过点 P作PD，AC于点D,第9题解图贝U PD / BC,APDA ABC,AP PDAB BC'102t PD _ _ 106 '3 - PD=-(l0-2t), 5c 113" c、6 26,52S= 2AQPD = 2 - t 5(10 2t)=- 5t2+6t= 5(t 3)2+ 7.5,6 .一£<0,抛物线开口向下，有最大值， 5时秒5- 2=S有最大值，最大值是 7.5 cm2;(3)不存在.理由如下:1假设存在某时刻t,使线段PQ恰好把那BC的面积平分，则

12、 Szaqp = -Smbc,即-32+6t=Tx8X，6整理得 t2-5t+ 10=0,.b2-4ac=(-5)2-4X 1415<0,，此方程无解，即不存在某时刻t,使线段PQ恰好把那BC的面积平分.10.已知：如图，在矩形 ABCD中，AB= 6 cm, BC= 8 cm,对角线 AC, BD交于点。.点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为 1 cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为 1 cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接 PO并延长，交 BC于点巳过点Q作QF/AC,交BD于点F.设运动时间为t(s)(0<t<6), 解答下

13、列问题：(1)当t为何值时，AP= PO;(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2),试确定S与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使OD平分/ COP?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.第10题图解：(1) :在矩形ABCD 中，AB=6 cm, BC= 8 cm, Z ABC =90 °,1 一 .AC=10 cm, AO=QAC=5 cm,如解图，过点P作PM LAO,第11题解图 AP= PO = t, 1- 5 AM = AO = 2 cm,. / PMA= / ADC = 90°,/ RAM = / CAD ,APMA ACD,5.

14、AR AM Q t 2"AC-AD?即 10-8，.一 25解得t=管，825即 t=W s 时，AP=PO;1 一 1 _(2)如解图，过点O作OHLBC交BC于点H,则OH = 2CD=2AB=3 cm.由矩形的性质可知 / RDO= / EBO, DO = BO,在ADOP和ABOE中,/ PDO = / EBOOD=OB,D DOP = / BOE . DOPA BOE(ASA),BE=PD = (8-t)cm,11、- 3贝USzboe=2BE OH=X (8t) X至 12 t. FQ / AC,第10题解图 . DFQs DOC,相似比为 碧=£DC 6Sa

15、dfq t2 z=-Sa doc 36' - S4OC= 1S 矩形 ABCD =1 X 6圮§ 12 cm2, 44t2SzlDFQ = 12 >36t23'13,、tf1,2 , 3 . _一S五边形 oecqf = Sadbc Saboe Sdfq = 2X 6X-8 (12 2t) 3 = 3t +2t+12)，S与t的函数关系式为S= - 1t2+3t+ 12;32(3)存在.如解图，过点D作DMPE于点M,作DNLAC于点N,易证 GADNsACD,DN AD 口. DN 8CD=AC,即"6-=10， 24 " dn =5，第1

16、0题解图 ,/ pod= / cod ,DM= DN = 25，,-.on=om = 4od2dn2=5,1 Szipod = 2oP DM , Sapod = 1$PD DC ,2 .OP DM =3PD,一 5-OP=5-5t,8.PM = 18-5t,PD2= pm2+ dm2,即(8 t)2=(£8t)2+ (24)2,112解得ti = 16(不合题意，舍去)，t2=W7，39-112,一.当 t=/s 时，OD 平分/COP.3911.已知四边形 ABCD是菱形，AB= 4, /ABC= 60°, / EAF的两边分别与射线 CB, DC 相交于点E, F ,且

17、/ EAF = 60 ° .(1)如图，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段 AE, EF, AF之间的数量关系；(2)如图，当点E是线段CB上任意一点时(点E不与点B、C重合)，求证：BE= CF ;(3)如图，当点E在线段CB的延长线上，且 /EAB= 15°时，直接写出点 F至U BC的 距离.第11题图解：AE= EF= AF;【解法提示】如解图，连接AC,第12题解图.四边形ABCD是菱形，/ABC= 60°,，/BCD= 120°,，/ACE= /ACF= 60°,AB= BC= AC,即那BC为等边三角形，又. / BAC= Z

18、1+ Z2= 60 °,/ EAF= / 2+ / 3= 60°,Z 1 = Z 3,在GABE和祥CF中，/ 1= / 3AB= AC ,/ABE= ZACFABEAACF(ASA),AE= AF,又. / EAF= 60 °,.AEF为等边三角形,，AE= EF= AF;(2)证明：如解图 ，连接AC,由(1)知，AB= AC, /ACF= 60°,第11题解图. / BAC= Z4+Z5= 60°,/ EAF= / 5+ / 6= 60°,/ 4= / 6,在GABE和9CF中，/ 4= / 6AB= AC,/ABE= ZACF

19、ABEAACF(ASA),BE= CF;F到BC的距离为3-73.【解法提示】 由(2)知，BE= CF,如解图，过点 A作AGLCE于点G,过点F作FHLCE于点H,第12题图. / EAB = 15°, / ABC= 60°,，/BAG= 90°-Z ABC = 30°, ./ EAG= 15 + 30° = 45°,AEG为等腰直角三角形，X / AB= 4,3_ -AG = AB , coS BAG = 4X 2 = 2yj3,BG= AB2 AG2 = /42- ( 273) 2 = 2,EG= AG = 2 3, BE=

20、EG-BG= 2 /2,.CF = 273-2, FHXCE,，/FCH= 180° /BCD = 60°,FH= CF - s访 FCH= 化也2) ¥= 3-3,点F至ij BC的距离为3-412.在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点 E在直线CD上(与点C, D不重合)，连接AE,平移那DE,使点D移动到点C,得到ABCF,过点F作FG ± BD于点G,连接AG, EG.(1)问题猜想：如图 ，若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系和位置关 系；(2)类比探究：如图，若点E在线段CD的延长线上，其余条件不变，小明猜想(1)中的结论仍然成立，请你给出证明；(3)解决问题：若点 E在线段DC的延长线上，且 /AGF= 120°,正方形ABCD的边长为2,请在图中画出图形，并直接写出DE的长度.解：(1)由平移得 EF= CD= AD, BD是正方形ABCD的对角线，/ADB= /CDB= 45°, FGXBD, ./