(精简版)高中数学学业水平考试知识点知识讲解

1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除2019 年高中数学学业水平测试知识点（精简版）【必修一】一、集合与函数概念并集：记作： A B交集：记作： A B补集：记作： CU A1、集合 a1 , a2 ,., an 的子集个数共有2n 个；真子集与非空子集各有2n 1 个；非空的真子集有2n 2 个 .2、求 yf (x) 的反函数 ：解出 xf1 ( y) ， x, y 互换，写出 yf 1 ( x) 的定义域；函数图象关于y=x 对称。Eg:y=logax 与 y=ax 互为反函数3、（ 1）函数定义域：分母不为0；开偶次方被开方数0；对数的真数0 . x0 要求 x0 log ax 中

2、x>04、函数的单调性判断： 求定义域（单调区间定义域内找） 任取 x1<x, 计算 f(x )-f(x2) 与 0的关系21 若 f(x 1 )-f(x2)<0 则 f （ x）在区间上单增；否则单减。5、奇函数：是 f (- x ) =- f (x ) ，函数图象关于原点对称（若x 0在其定义域内，则 f (0) 0 ）；偶函数：是 f (- x ) =f (x ) ，函数图象关于 y 轴对称。* 注意奇偶函数判断前提：定义域关于原点对称奇偶性判断步骤： 求定义域（定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数） 计算 f(-x) 判断 f(-x)与 f(x)的关系： f (-

3、x) = -f (x ) 则为奇函数； f (- x ) = f (x ) 则为偶函数6、指数幂的含义及其运算性质：（ 1）函数 ya x (a 0且 a1) 叫做指数函数。（ 2）指数函数ya x ( a 0, a1) 当 0 a1 为减函数，当a 1 为增函数； ar asars ； ( ar )sars ； (ab)rar br ( a0, b0, r , s Q ) 。（ 3）指数函数的图象和性质a 10a1图象11-4-2-4-200-1-1(1) 定义域： R（ 2）值域：（ 0， +）（ 3）过定点（ 0， 1），即 x=0 时， y=1性（ 4）在 R 上是减函数（ 4）在 R

4、 上是增函数质0, ax1;(5) x0,0ax1;(5) xx0, 0 axx0, ax117、对数函数的含义及其运算性质：（ 1）函数 y log a x(a 0, a1) 叫对数函数。（ 2）对数函数 y log a x(a0, a1)当 0 a1 为减函数，当a 1为增函数；负数和零没有对数；1的对数等于 0： log a 10 ；底真相同的对数等于1： log a a1 ，（ 3）对数的运算性质：如果a >0 ,a 1 ,M>0,N> 0 ，那么：word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 log a MNlog a M log a N ； log aM

5、log a M log a N ； log a M nn log a M (n R) 。N alog a NN ( 对数恒等式 )（ 4）换底公式： log a blog c b (a 0且 a 1, c0且 c 1, b 0)log c a（ 5）指对互化： ax=t 则 x=log at(5) 对数函数的图象和性质a 10 a 12.52.51.51.511图象0.50.5-11-110-0.50-0.5-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5(1) 定义域：（ 0， +）（ 2）值域： R性（ 3）过定点（ 1，0），即 x=1 时， y=0（ 4）在 （0， +）上是增函数（

6、4）在（ 0， +）上是减函数质(5) x1,log a x0 ；(5) x1, log a x0 ；0x 1, log a x00x 1, log a x08、幂函数： 函数 y x 叫做幂函数（注意系数为1）。9、方程的根与函数的零点： 如果函数 yf (x) 在区间 a , b上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有 f (a)f (b) 0 ，那么，函数 yf (x) 在区间 ( a , b)内有零点，即存在c(a, b) ，使得 f (c) 0 这个 c 就是方程 f ( x)0 的根。会考中常会遇见判断根所在区间：利用f (a) f (b)0 计算即可【必修二】一、直线平面 简单的几

7、何体1、长方体的对角线长l 2a 2b 2c 2 ；正方体的对角线长l3a （正方体与长方体的外接球的直径为体对角线）2、球的体积公式：v4R3 ； 球的表面积公式： S4R233、柱体、锥体、台体的体积公式：V柱体 = S h ( S 为底面积， h 为柱体高 )； V锥体 =1 Sh( S 为底面积， h 为柱体高 )3台体= ( S + S'S + S ) h ( S , S分别为上、下底面积，h为台体高)V131 ×2r×l= rl(l 母线长， r 底面半径 )圆锥侧面积 ：（类比三角形面积公式）2word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除圆台

8、侧面积 ：（类比梯形面积公式）1 （ 2r1+2r2）×l (l 母线长， r1 上底面半径， r2 为下底面半径 )24、点、线、面的位置关系及相关公理及定理：（了解即可）（ 1）四公理三推论:公理 1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内。公理 2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。公理 3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。公理 4

9、：平行于同一条直线的两条直线平行.（ 2）空间线线，线面，面面的位置关系：空间两条直线的位置关系：相交直线有且仅有一个公共点；平行直线在同一平面内，没有公共点；异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。空间直线和平面的位置关系：（ 1）直线在平面内（无数个公共点）；（ 2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（ 3）直线和平面平行 （没有公共点） 它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a，aA ，a /。空间平面和平面的位置关系：（ 1）两个平面平行没有公共点；（ 2）两个平面相交有一条公共直线。* 5、直线与平面平行的判定定理 ：如果平面外一条直线与

10、平面内一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。 a符号表示：ba /。图形表示：a / b* 6、两个平面平行的判定定理 ：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。 ab符号表示：abP/。图形表示：a /b /7、 . 直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么交线与这条直线平行。a /符号表示： aa / b 。 图形表示：b8、两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线的平行。符号表示：/ / ,a,b a / /b9、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交

11、直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。ab符号表示 ： abpll a l b10、 .两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除l符号表示：l11、直线与平面垂直的性质： 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。符号表示： aa / b 。b12、平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。符号表示 ： l,m, lml.P13、异面直线所成角：平移到一起求平移后的夹角。l直线与平面所成角：直线和它在平面内的射影所成的角。（射影是斜足与垂足间的

12、连线如右图）14、异面直线所成角的取值范围是0 ,90；H直线与平面所成角的取值范围是0,90 ；二面角的取值范围是0,180；两个向量所成角的取值范围是0 ,180二、直线和圆的方程k1、斜率： ktan， k (,) ；直线上两点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ，则斜率为2、直线的五种方程：（ 1）点斜式yy1k( xx1 ) (直线 l 过点 P1( x1 , y1) ，且斜率为 k ) （ 2）斜截式y kxb (b为直线 l 在 y 轴上的截距 ). 化简的最终形式了解（ 3）两点式yy1xx1( ( P1 (x1, y1 ) 、 P2 ( x2 ,

13、y2 ) ； (x1x2 ) 、 ( y1y2 ).y2y1x2x1了解 (4) 截距式xyab分别为直线的横、纵截距，ab0)1( 、a b（ 5）一般式 Ax By C 0 ( 其中 A、 B不同时为 0). 化简的最终形式3、两条直线的平行、重合和垂直：(1)若 l1: yk1x b1 ， l 2 : y k2 x b2 l1 l 2k1k 2 且 b1 b2 ; l1与 l 2 重合时k1k 2且 bb2 ； l1l2k1k21.(2)若 l1: A1xB1 yC10 , l 2 : A2xB 2 yC20 , 且 A1、 A2、B1、 B2 都不为零 , l1|l 2A1B1C1 ；

14、 l1l 2A1 A2B1B2 0A2B2C24、两点 P1（ x1， y1）、 P2（ x2， y2）的距离公式P1P2 = ( x2x1 ) 2( y2 y1 )25、两点 P1（ x1， y1）、 P2（ x2， y2）的中点坐标公式M（ x1 x2， y1y2 ）226、点 P（ x0， y0）到直线 （直线方程必须化为一般式 ）Ax+By+C=0的距离公式 d= Ax0 By0y2y1x2x1CA2B27、平行直线 Ax+By+C =0、Ax+By+C=0 的距离公式C2C1（注意两直线中A,B 必须化为一样的）d=12A2B 28、圆的方程：标准方程xa 2yb 2r 2 ，圆心a

15、,b，半径为 r；一般方程 x2y2DxEyF 0 ，（配方： ( xD ) 2( yE ) 2D 2E 24 F）DE224D2E24F0时，表示一个以为圆心，半径为12E24F 的圆；(,)2D9、点与圆的位置关系：22点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( xa) 2( yb) 2r 2的位置关系有三种：word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除若圆心到定点 P 的距离：d(ax0 )2(by0 )2 ，当dr点P在圆外 ;dr点 P 在圆上 ; dr点 P在圆内 .10、直线与圆的位置关系：直线 AxByC 0与圆 ( xa)2( yb) 2r 2的位置关系有三种 :dr相

16、离0 ;dr相切0 ;dr相交0 . 其中 dAaBbCA2（圆心到定直线的距离） .11、弦长公式：B 2若直线 Ax ByC0 与圆 ( xa) 2( yb)2r2相交于 A，B 两点，则由 |AB|=2r 2d2（ r 为圆半径， d 为圆心到直线的距离）【必修三】算法初步与统计：一三种常用抽样方法：1、简单随机抽样； 2系统抽样； 3分层抽样。 4统计图表：包括条形图，折线图，饼图，茎叶图。二、频率分布直方图 ：具体做法如下： （ 1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（ 2）决定组距与组数；（ 3）将数据分组； （ 4）列频率分布表； （ 5）画频率分布直方图。注：频率分布直

17、方图中小正方形的面积=组距×频率 。2、频率分布直方图：频率 =小矩形面积 （注意：不是小矩形的高度）频数频数 =样本容量频率 = 小矩形面积 =组距频率计算公式：频率 =频率组距样本容量各组频数之和 =样本容量，各组面积 ( 频率 )之和 =13、茎叶图：茎表示高位，叶表示低位。( 叶上只有个位数字 )折线图 ：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。4、刻画一组数据集中趋势的统计量：平均数，中位数，众数。在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数 ；将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的

18、 中位数 ；5、刻画一组数据离散程度的统计量：极差，极准差，方差。（ 1）极差一定程度上表明数据的分散程度，对极端数据非常敏感。（ 2）方差，标准差越大，离散程度越大。方差，标准差越小，离散程度越小，聚集于平均数的程度越高。（ 3）计算公式：标准差： s1 ( x1 x )2( x2 x) 2( xn x) 2 n方差：s 21( x 1x ) 2( x 2x ) 2( x nx ) 2 n?，即回归方程为?（此直线必过点（，）。填空会遇见（4）直线回归方程的斜率为b ，截距为y? = b x+?xyaa6、频率分布直方图：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，方长方形的高与

19、频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。五、随机事件： 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母A,B, C 表示 .随机事件的 概率 ：在大量重复进行同一试验时, 事件 A 发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率 , 记作 P（ A）。由定义可知0 P（ A） 1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是 0。1、事件间的关系：（ 1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；（从集合角度AB=）（ 2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件（从集合角度AB=且 AB=U ）；（ 3）包含：事件A 发

20、生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B （或事件 B 包含事件A ）；（ 4）对立一定互斥，互斥不一定对立。2、概率的加法公式 ：（ 1）当 A 和 B 互斥时，事件 A+B的概率满足加法公式： P（A+B）=P（ A） +P（ B）（ A、B 互斥）（ 2）若事件 A 与 B 为对立事件，则AB 为必然事件，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1 P(B) word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除3、古典概型：（ 1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；（ 2）掌握古典概型的概率

21、计算公式：P( A)事件 A包含的基本事件个数m实验中基本事件的总数n4、几何概型：（ 1）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等事件 A构成的区域的长度（面积或体积）（ 2）几何概型的概率公式：P( A)实验的全部结果构成的区域的长度（面积或体积）【必修四】一、 三角函数1、弧度制：（ 1）、 180弧度， 1 弧度(180)57 18 ' ；弧长公式： l| r （ l 为所对的弧长， r 为半径，正负号的确定：逆时针为正，顺时针为负）。2、三角函数：（ 1）、定义：yxycotxrx2y2sincostanyrrx3、

22、特殊角的三角函数值：的角度030456090120135150的弧度02356432346sin01233212221222cos32112312022222031313tan无3334、同角三角函数基本关系式：sin2cos21tansincos5、诱导公式： （众变横不变，符号看象限）一全正；二正弦；三正切；四余弦1、 诱导公式一 ：2、 诱导公式二 ：sin2ksin,sinsin,cos2kcos,coscos,tan2ktan .tantan .4、诱导公式四 ：5、诱导公式五 ：6sinsin ,sincos ,coscos,2tantan .cossin .26、两角和与差的正弦

23、、余弦、正切：1802703603220011010无03、诱导公式三 ：sinsin,coscos,tantan .、诱导公式六 ：sin2cos ,cos2sin .S() ： sin()sincoscossinS() ： sin()sincoscossinC () ： cos(a)coscossinsinC () ： cos(a)coscossinsinT() ： tan()tantanT() ： tan(tantan1 tan tan)tantan1word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除tan+tan = tan(+)( 1 tantan)tan-tan= tan( -

24、)( 1 tantan)7、辅助角公式 ： a sin xb cos xa 2b2ab 2sin xbcos xa2a 2b2a2b2 (sin x coscos x sin)a2b2sin(x)8、二倍角公式 ：（ 1）、 S2 ： sin 22 sincosC 2： cos 2cos2sin 212 sin 22 cos21T2 ： tan 22 tan1 tan29、在 ysin , ycos, y tanycos三个三角函数中只有是偶函数，其它两个是奇函数。10、在三角函数中求最值（最大值、最小值）；求最小正周期；求单调性（单调第增区间、单调第减区间）；求对称轴；求对称中心点都要将原函

25、数化成标准型；yAsin( x)b如： yA cos( x)b 再求解。yA tan( x)b11、三角函数的图象与性质：函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RR x | x k, k Z 1,11,12值域R奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性22在 2 k,2 k ( k Z ) 增在 2k,2k ( kZ )增单调性22Z ) 增3 (k Z ) 减在2 k,2 k ( kZ )在 (k在 2 k,2k减22当 x2k, kZ 时， ymax1最值2Z 时 , ymin1当 x2k, k2当 x2 k, kZ 时， ymax1Z 时， ymin无当 x (2k1), k1对称中心

26、 ( k ,0) ，kZ对称中心 ( k,0) ， kZ对称中心 (k ,0) ， k Z对称性对称轴： x k( kZ )2对称轴：无2对称轴： xk (kZ )12函数 yAsin x的图象：（ 1）用“图象变换法”作图由函数 ysin x 的图象通过变换得到yA sin( x) 的图象，有两种主要途径 “先平移后伸缩” 与“先伸缩后平移” 。法一：先平移后伸缩y sin x y sin x向左 (0) 或向右 (0)平移 |个单位向左 (0) 或向右 (0)平移 |个单位ysin( x)纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变ysin( x)横坐标变为原来的1 倍，纵坐标不变yA sin(x)y

27、sin（x）法二：先伸缩后平移1y s i nx横坐标变为原来倍的向左( 0)或向右 ( 0)y sin( x )纵坐标不变y sin x平移 |个单位word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除纵坐标变为原来的 A 倍y A sin(x)横坐标不变当函数 y A sin( x) （A>0 ，0 ， x 0，) ）表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡2位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间T，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数12x叫做相位，叫做初相（即当x 0 时的相位）。f，它叫做振动的频率；T二、平面向量1、平面向量的概念

28、：12在平面内，具有大小和方向的量称为平面向量向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向3向量的大小称为向量的模（或长度），记作4模（或长度）为 0 的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量5与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作 a 6 方向相同且模相等的向量称为相等向量2、实数与向量的积的运算律：设 、 为实数，那么(1) 结合律： ( a )=( ) a ;(2)第一分配律： ( +) a = a + a ; (3) 第二分配律： ( ab )= a + b .3、向量的数量积的运算律：(1) a · b = b

29、 · a （交换律） ;(2) （a ）· b =（ a · b ） =a · b = a ·（ b ） ;(3) （ a b ）· c = a · c + b · c .4、平面向量基本定理：如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 1、 2，使得a = 1 e1 + 2 e2 不共线的向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 5、坐标运算 ：（ 1）设 ax1 , y1 , bx 2 , y 2，则 abx1x 2 , y1y 2数与向

30、量的积： ax1 , y1x1 , y1，数量积： a bx1x2y1 y2（ 2）、设 A、 B 两点的坐标分别为（ x， y ），（ x ， y ），则 ABx2x1 , y2 y1. （终点减起点）11226、平面两点间的距离公式：（ 1） dA,B =| AB |ABAB( x2x1 )2( y2y1 )2（ 2）向量 a 的模 |a | ： | a |2a ax2y 2 ；（ 3）、平面向量的数量积：a bab cos， 注意： 0 a0 ， 0a0 ， a( a)0cosx1x2y1 y2（ 4）、向量 ax1 , y1 , bx2 , y2的夹角，则，2222x1y1x2y27、重要结论：（ 1）、两个向量平行：a/ bab (R) ， a/ bx1 y2x2 y10（ 2）、两个非零向量垂直abx1 x2y1 y2 0（ 3）、 P 分有向线段P1P2 的：设 P（x， y）则