数学课程与教学论内容摘要

1、数学课程与教学论内容摘要时代小学 倪国平数学课程与教学论是“新课程学科教学论丛书”之一。“新课程学科教学论丛书”是由钟启泉先生总主编的。该丛书是由钟启泉先生引领一批参加国家课程标准研制的核心人员及投身课程教材实验的一线教师经过辛勤劳动，将他们自己关于国际国内学科课程发展的动态与问题的研究心得整理成书，以唤起大家对新课程改革的更深沉的思考。本书是由徐斌艳教授主编，她是华东师范大学课程与教学研究所教授、博士生导师，现任华东师范大学教育科学学院副院长。本书分六章，其中第一章、第六章由徐斌艳撰写，第二章、第四章由罗新兵撰写，第三章、第五章由范文撰写。第一章是数学学习文化创新，主要阐述了以下三个方面内容

2、：一、为什么要进行数学学习文化的创新？1、来自我国新课程标准的要求新课程意义下的数学课堂教学要保证学生有足够的时间和机会建构性地接触、认识数学，从而理解数学、运用数学。课堂教学文化是能够反映学生主体观，注重反映学生学习数学的过程，应鼓励学生对数学意义的思考，注重以游戏形式、自我负责的活动形式进行了教学。也就是说，让学生有机会走自己的学习这路（甚至是弯路），使尝试性学习合法化；让他们有机会建立现实世界里的数学与课堂上的数学之间的联系，包括体会数学实验的作用，体会归纳与演绎的相互作用，体会实践与理论的想到关系。这种课堂教学模式不会过分强调数学的确定演绎性特征，而是让学生能够认请数学的动态特性，以及

3、作为一门实验科学的特征。2、 来自TIMSS以及PISA项目的启示TIMSS是指1996年启动的“第三次国妹数学与科学研究项目”；PISA是指2000年启动的“学生评价国际项目”。来自这些国际性评价项目的结果，反映出目前数学课堂教学中存在的问题，即在数学教学过程中机械的计算多于理解的学习，老师的解说多于学生的表述，解决结构优良问题多于解决结构不良问题，老师引导探究多于学生自主探究等。由此可能会造成学生学习数学时出现被动局面、盲目及无效的情况。3、 来自现代学习理论的指导建构主义学习理论强调：理解是通过与环境的互动而发生的；认知冲突或困惑是相对于学习面议的一种枣，并决定着学习内容的实质和组织形式

4、；知识是通过社会磋商和对理解发生的评估而展开的。基于建构主义学习理解的各种学习方式主要有：任务驱动式学习、探究定向性学习、情境式的学习、主动合作式的学习、综合性学习、内在驱动式的学习等。二、数学课堂教学中的学习文化有哪些新的要求？1、数学的现实相关性与问题情景的开放性。我们在课堂教学中，应该创造机会，让学生体会数学与现实世界的结合，发扬现实情景背后的数学，以此设计适合学生年龄与学生经历的开放性问题，有助于学生体验数学与现实的相关性。老师应该细心倾听，认真对待学生提出的数学问题以及结果，设法去理解他们的思路；另外 ，千万不要忽视学生的错误，而应帮助学生理解出现错误的原因。2、课堂教学中主动探究的

5、学习数学学习首先应该是理解数学，也就是说通过活动、通过在一定历史条件下的体验、通过尝试错误来获得数学观念。维腾贝格曾指出“数学是人们思想 中构建的真实，它没有人为的特点，而是某种必要性的刻画，允许人们去发掘。在我们的数学思想与我们对自然的体验之间存在着某种一致性。”在数学课堂教学中，主动探究的学习表现为一种作为活动的数学实践，它是获得数学知识的特殊方法，数学实践包括利用具体对象（数、量及图形）的心理实践活动，利用适当的辅助工具，以及对具体过程的认识。三、数学课堂学习文化几种模式1、数学的合作互动学习课堂教学中的学习方式大致呈现为四种类型：一是单向型，二是双向型，三是多向型，四是成员型。实际上，

6、教学不仅仅是老师与学生之间的双边互动的过程，它还涉及单向型互动、多向型互动、成员型互动等多种互动过程，是将多种互动过程有机统一的复合活动。合作互动学习的关键为学生之间的互动。学生互动至少要包括五个要素：一是积极的相互依赖；二是积极的约束；三是直接的互动；四是社会能力；五是评价。2、数学的累积性学习在解决问题的学习过程中，总要先有一个原有知识的激活阶段，然后通过同化或顺应过程重建新知识，并保持与原有知识结构之间的联系，使认知发展从一个平衡状态进入更高的发展平衡状态。我们在学习中针对某一实际领域逐渐建构一个知识网络结构，可称为累积性学习过程。3、数学的探究性学习我们认为探究性学习是一种探索活动、反

7、思活动、建构活动及形成性活动。探究性学习的前提条件是老师不能从一开始就给出组织知识经验的规则，而是应由学生一步一步地去探究，并给予适当的指导。没有老师的引导，学生不会推动探究的方向，但是引导不能变成一种简单的学习准备而应在学习情境中进行。4、 基于开放式问题的数学学习我们鼓励学生面对问题情境时，应该以各种不同的思路和策略进行思考，并着手解决，这是锻炼学生独立识别问题、分析问题与解决问题能力的有效方法。第二章是基于数学建模的课堂教学，主要阐述了两个方面的内容：一、什么是数学建模？1、模型及模型分类模型是指显了某种特定的目的将原型的某一部分信息简化、压缩、提炼而成的原型替代物。按照模型替代原型的方

8、式 ，模型可以简单地分为形象模型各抽象模型两类，前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、版本号模型、数学模型等。思维模型是认知主体反复认识原型并将获取的知识以经验的形式直接贮存在思维中的模型，它往往具有模糊性、版面性、主观性、偶然性等不足。符号模型是在一些约定或规定下借助于特定的符号、标识、线条等，按照一定形式组合描述原型的模型。数学模型一般是指由数字、字母或其他数学符号组成的描述现实对象（原型）数量规律和空间牲的数学结构。2、数学建模的过程（1）一般过程。数学建模的一般过程大致可以分为现实问题数学化、模型求解、数学模型解答、现实问题解答难四阶段。这四个阶段实际上是完成从现实问题到数学

9、模型，再从数学模型回到 现实问题的不断循环、不断完善的过程。（2）具体过程。依据数学建模的一般过程，可将建立数学模型的具体过程分为识模、析模、建模、解模和验模五个步骤。二、如何进行数学建模教学？1、数学建模教学的基本环节（1）创设问题情境，激发求知欲（2）抽象概括，建立模型，导入学习课题（3）研究模型，形成数学知识（4）解决实际应用问题，享受成功喜悦（5）归纳总结，深化目标2、数学建模教学的方式（1）从课本数学问题出发，注重对课本原题的改变（2）从生活中的数学问题出发，强化应用意识（3）从宿舍热点问题出发，介绍建模方法（4）通过实践活动或游戏中的数学，培养学生的应用意识和数学建模应用能力（5）

10、从其他学科中选择应用性问题，培养学生应用数学解决其他学科难题的能力（6）探索数学应用于跨学科的综合应用题，培养学生的综合能力和创新能力，提高学生的综合素质。3、数学建模的教学原则（1）可行性原则（2）渐近性原则（3）发展性原则（4）主动学习与指导学生相结合原则（5）课堂教学与课外活动相结合（6）独立探究与合作探究相结合4、数学建模教学问题的层次性（1）初级层次：指一般而论的应用题或数量关系较明确的实际问题。（2）中级层次：从生活实际中来的，需要经过分析判断，作出适当假设，当去掉非本质的因素之后，数量关系才容易发现。（3）高级层次：来源于现实生活的问题，未经数学抽象和转化，解决它不仅需要有相应的

11、数学知识，还要对许多非数学领域的知识有一定的了解。5、数学建模教学的困难因素及对策（1）困难因素缺乏建立数学模型的信心；不理解实际问题中的一些名词术语；缺乏处理实际问题中庞杂数据的适当方法；缺乏把实际问题数学化的经验。（2）克服策略培养学生的数学阅读能力；培养学生感悟关键信息的能力；培养学生的数学语言能力；培养学生数学建模的信心。6、数学建模的教学意义（1）培养学生合作学习的能力（2）培养学生处理信息的能力（3）有利于学生形成正确的数学观（4）有利于学生体验数学与生活、数学与其他学科的联系（5）激发学生的数学习兴趣（6）发展学生的创新意识第三章是基于数学思想方法的课堂教学。本章主要阐述了四个方

12、面的内容：一、什么是数学思想方法？1、涵义数学思想方法是指人们对数学知识内容的本质认识，对所使用的方法和规律的理性认识。主要包括：化归思想方法、数形结合思想方法、类比思想方法、构造思想方法、公理化思想方法、归纳与猜想、函数与方程思想方法等。2、特点（1）概括性。（2）隶属性。（3）层次性。（4）迁移性。二、为什么要研究数学思想方法？1、数学思想方法有利于数学研究。2、数学思想方法促进数学理论应用于实践。马克思指出：一门科学只有当它达到了能够运用数学时，才算真正发展了。3、数学思想方法有利于培养学生数学创新意识。4、数学思想方法有利于学生完善数学认知结构。5、数学思想方法有得培养学生正确的世界观

13、。三、如何进行数学思想方法的教学？1、学习数学史，了解数学发展过程“个体发育是系统发育的简短而迅速的重演”德国动物学家、进化认者海克尔。波利亚：“在教授一门学科（或一个理论、一个概念）时，我们应该让儿童重走人类在大脑进货过程中走过的重要几步”。了解与数学教学内容相关的数学发展史和数学家传遍是老师掌握数学思想方法的重要途径之一。学习数学史，老师可以掌握数学知识的形成发展过程。“没有什么比看到数学发明源泉（与过程）更重要了，它比发明本身更重要”莱布尼兹。2、认真分析教材，挖掘教材中的数学思想方法3、重视数学教学过程设计，渗透数学思想方法数学教学过程包括知识形成和运用两个阶段，前者指提示和建立新旧知

14、识的内在联系，使学生得到新知识的过程，它包括概念的概括与形成，结论的发现与推导、数学方法的探求与思考过程。后者指在巩固和应用中进一步理解的过程。弗罗登塔尔认为：数学是现实世界的抽象反映和人类经验的总结，数学教育应该源于现实，用于现实，应该通过具体的问题来教抽象的数学内容，应该从学习者的经历所接触的客观实际中提出问题，然后升华归结为数学概念，运算法则或数学思想。数学知识的发生过程也就是数学思想方法的发生过程。四、几种典型数学思想方法介绍（一）化归思想方法1、化归匈牙利数学家路莎.彼得指出：数学家们往往不是对问题进行下面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经得到解决的问题。化归是指导问题之

15、间的相互转化。想要解决问题A，可将它转化为解决问题B，再利用解决问题B的解答去完成问题A的解答。化归也就是把复杂问题化为简单问题；把陌生问题转化为熟悉问题；将一个问题转化为另一个问题；将问题的一种形式转化为另一种形式。解题就是把题归结为已经解过的问题。2、数学方法的化归数学家笛卡尔在更好地指导推理和寻求科学趔的方法论著作中给出了一个解决问题的“万能方法”模式：第一步，将任何问题都化归为数学问题；第二步，将任何数学问题都化归为代数问题；第三步，将任何代数问题都化归为方程式的求解。3、如何进行数学问题的化归？（1）模式识别在学习数学的过程中，所积累的知识经验经过加工，会得出有长久保存价值或基本重要

16、性的典型结构与重要类型模式，将其有意识地记忆下来，并作有目的的简单编码。当遇到新问题时，我们可以辨认它发球哪一类基本模式，联想起一个已经解决的问题，以此为索引，在记忆贮存中提取出相应的方法来加以解决，这就是模式识别的解题策略。这一策略华丽了化归的思想。（2）映射化归（等价化归）映射化归是把一个新问题转化为一个等价的会解的问题。（3）不等价化归我们研究数学问题时，有时是将一个问题转化为与它等价的问题，有时新的问题与原来的问题并不等价。4、化归的负面影响及教学对策“以局部研究代替整体”“以旧方法处理新事物”的化归在方法上的局限性和观念上的保守性掩盖了化归的消极方面。如果我们在研究数学问题时一味地寻

17、找旧的模式和解题经验，容易阻碍新方法和工具的产生，对发展学生的数学创新意识产生消极影响。这如同“教育”一样，学会生存一书中指出，教育具有培养创造精神和压抑创造精神的双重力量。“化归”在数学理论研究以及数学教学中也是集保守与创新与一体。（二）数形结合思想方法数学上总是用数量的抽象性质来说明形象的事实，同时又用图形的性质来说明数量的抽象性质。著名数学家拉格朗日指出：代数与几何在各自的道路上前进时，它们的进展是缓慢的，应用也很有限，但当这两门学科结合起来后，它们各自从对方汲取新鲜的活力，从此，便于工作以很快的速度向着完美的境地飞跑。数形结合是一个重要的数学思想和一柄双刃的解题利剑。数学家华罗庚指出：

18、数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数流一体，永远联系切莫分离。1、用解析几何的思想解决平面几何问题（初等数学举例）2、用代数方法解决平面几何问题（初等数学举例）3、用向量方法解决问题（高等数学举例）4、用几何方法解决代数问题。（初等数学举例）（三）类比思想方法1、类比思想方法的意义类比是指根据两个（或两类）对象之间具有（或不具有）某些相同或相似的性质，而且书籍其中一个（或另一类）还具有（或不具有）另一性质，由此推出另一个（或另一类）对象也具有（或不具有）这一性质。拉普拉斯说：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”2、关于几何问题的案例分析。（无盖几何体）3、关于代数问题的案例分析。（黄金分割）波利亚在怎样解题中指出：“类比是一个伟大的引路人”。在提出猜想的过程中，“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能引导我们前进。”（四）构造思想方法1、构造思想方