八年级数学竞赛专题训练16等腰三角形的性质(附答案)

1、系的证明等问题提供了新的理论依据. 知识方法外，又不能囿于全等三角形, 本图形、基本结论.(1)图 1 中，乙4 = 180°-2/8,八年级数学竞赛专题训练16 等腰三角形的性质阅读与思考等腰三角形是一类特殊三角形，具有特殊的性质，这些性质为角度的“算、线段相等、直线位置关因此，在解与等腰三角形相关的问题时，除了要运用全等三角形 应善于利用等腰三角形的性质探求新的解题途径，应熟悉以下基1 QH° _ / 4ZB = ZC = -_, ZDAC = 2ZB = 2ZC.2（2）图2中，只要下述四个条件：A8 = AC；N1 = N2：CD = DB；AZXL8C中任意两个成

2、立，就可以推出其余两个成 立.例题与求解【例 1】如图，在/IB。中，。在 AC 上，E 在 AB 上，且 A8=AC, BC=BD, AD=DE=BE, 则乙4=.（五城市联赛试题）解题思路：图中有很多相关的角，用NA的代数式表示这些角，建立关于NA的等式.【例2】如图，在/MB。中，己知N8AC=90。，AB=AC.。为AC中点，AE_L5。于E,延长AE交 BC 于 F,求证：NADB=NCDF.（安徽省竞赛试题）解题思路：NAD8与NCQE对应的三角形不全等，因此，需构造全等三角形，而在等腰三角形中, 作顶角的平分线或底边上的高（中线）是一条常用的辅助线.【例3】如图，在A3C中，AC

3、=BC, ZACB=90。是AC上一点，且AE垂直8。的延长线于£ 又AE=BD,求证：B。是NA8C的角平分线.2（北京市竞赛试题）解题思路：NA8C的角平分线与AE边上的高重合，故应作辅助线补全图形，构造全等三角形、等 腰三角形.【例 4】如图，在/XABC 中，N3AC=NBCA=44。，M 为ABC 内一点，使NMCA=300, ZMAC=16°, 求N8MC度数.（北京市竞赛试题）解题思路：作等腰ABC的对称轴（如图1）,通过计算，证明全等三角形，又44。+16、60。；可以 A3为一边，向点C所在的一侧作等边ABN,连结CM MM如图2）；或以AC为一边，向点3

4、所在的 一侧作等边A4CM连结BM（如图3）.【例5】如图，AA8C是边长为1的等边三角形，3DC是顶角N8OC=120°的等腰三角形，以。 为顶点作一个60°角，角的两边分别交A8于M,交AC于N,连结MM形成一个三角形.求证：AMN 的周长等于2.（天津市竞赛试题）解题思路：欲证AMN的周长等于2,只需证明MN=8M+CM 考虑用补短法证明.【例 6】如图，/XABC 中，ZABC=46。是 5c 边上一点，OC=AB, ND4B=21。，试确定NCA。 的度数.（北京市竞赛试题）解题思路：解本题的关键是利用OC=AB这一条件.能力训练A级1 .如果等腰三角形一腰上的高

5、另一腰的夹角为45°,那么这个等腰三角形的底角为.2 .如图，己知NA=15°, AB=BC=CD=DE=EF,贝ijNFEM=.3 .如图，在等边ABC的AC, 5c边上各取一点P、Q,使AP=C。，A。，8尸相交于点O,则 /BOQ=.4 .如图，在ABC 中，N8CA=90°, NBAC=60。, BC=4,在 CA 的延长线取点。，使 AO=AB,则 。，8两点之间的距离是.B. 900-ZA5 .如图，在中，AB=AC,。为 BC 上一点，BF=CD, CE=BD,那么NEOE 等于（）A. 90°- ZA 2C. 180°-ZAD.

6、 45°- - ZA26 .如图，在aABC 中，NAC8=90°, AC=AE. BC=BF,则NECF=()（安徽省竞赛试题）第5题图第6题图7 . 4ABC的一个内角的大小是40。，且NA=N&那么NC的外角的大小是（）A. 140° B. 80°或 100° C. 100°或 140。 D. 80。或 1400（“希望杯”邀请赛试题）8 .三角形三边长。，b, c满足！ + 1 = !一，则三角形一定是（）a b c a-b + cA.等边三角形B.以。为底边的等腰三角形C.以c为底边的等腰三角形D.等腰三角形（北京市

7、竞赛试题）9 .如图，在aABC中，AB=AC, D, E分别是腰A8, AC延长线上的点，且8D=CE,连结。七交 BC 于 G,求证：DG=EG.（湖北省竞赛试题）10 .如图，在A3C 中，N8AC=900, AB=AC. BE 平分NABC, CELBE,求证：CE=-BD. 2（江苏省竞赛试题）BC11 .己知 RtAABC 中，AC=BC, NC=90。，D 为 AB 边中点、,ZEDF=90 将NEDF 绕 D 点、旋转, 它的两边分别交AC, 8c（或它们的延长线）于E、F,当NEQE绕。点旋转到QE_LAC于E时（如图1）,易证：当NEOF绕。点旋转到。石和AC不垂直时，在图

8、2和图3这两种情况 2下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明：若不成立，S.3M，Sawc又有怎样的数量关系？ 请写出你的猜想，不需证明.（牡丹江市中考试题）12 .如图，在A8C 中，AB=AC, N8AC=80°,。为ABC 内一点，且NO8C=10°, ZOCA=20 求N8AO的度数.（天津市竞赛试题）B级1 .如图，在ABC 中，ZABC=100( AM=AN, CN=CP,则NMNP=2 .如图，在ABC中，AB=AC, ZBAC=90°,直角NEPE的顶点P是3C的中点，两边PE, PF分别交AB, AC于点E, F,给出以下4个结论：AE=C尸:

9、4EPF是等腰直角三角形：S崛彬的p/= - S 2abc：EF=AP,、当/EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A, 8重合）.上述结论正确的是（苏州市中考试题）3 .如图，在ABC中，AB=BC, N为BC边上两点，并且NB4M=NCAN, MN=AN,则NMAC 的度数是.4 .如图，在aABC中，AB=AC. NBAC与/ACB的平分线相交于O, NAOC=130。，那么NCA8 的大小是（）A. 80° B. 50°C. 40° D. 20°A5 .如图，在A3C 中，N8AC=120°,从。_1_8（7于。，且 A8+8AOC,

10、则NC 的大小是（）A. 20°B. 25°C. 30°D. 45°6 .如图，在ABC 中，AC=BC, ZACB=90°, AE 平分NBAC 交 BC 于 E, BDLAE 于 D, DMLAC交AC的延长线于M,连CD,下列四个结论：NAOC=45。： ®BD=-AE,AC+CE=A8； 2A5dC=2MC.其中正确结论的个数为（）A.1个B. 2个C.3个 D. 4个7 .如图，已知AABC为等边三角形，延长3。至D,延长胡至£并且使AE=8Q,连结CE、DE, 求证：CE=DE.8 .如图，ABC 中，已知NC=

11、60。，AOBC,又ABC'、ABC、ABC 都是ABC 外的等边 三角形，而点。在AC上，且8C=QC.（1）证明：AC'BD乌AB'DC；（2）证明：ACOg。&A：对ABC、ABC、AA'BC. ABC,从而积大小关系上，你能得出什么结论？（江苏省竞赛试题）9 .在AABC中，已知A8=AC,且过aABC某一顶点的直线可将aABC分成两个等腰三角形，试求 A3C各内角的度数.（江苏省扬州中学测试题）10 .如图，在A3C 中，ZC=90°, NCAO=3()U, AC=BC=AD,求证：CD=BD.11 .已知ABC中，NB为锐角，从顶点

12、A向边8c或8。的延长线引垂线交5c于H点，又从顶 点。向边AB或A5的延长线引垂线交A8于K,试问：当竺乜，巫是整数时，ABC是怎样的三 BC AB角形？并证明你的结论.（“智能杯”通讯赛试题）专题16等腰三角形的性质例 1 45°例2 提示：过点A作NA的平分线BD交于G,先证明ABGgAACF,再证明AGDgACFFD例3提示：延长BC, AE交于一点.、例 4 提示：如图，作 BD_LAC 于 D,则NOCD=NOAD=30° , A ZBA0=44° -30° =14° ,Z MAO= ZOAC - ZMAC= 14 ° ,

13、 A ZBAO=ZMAO,又；NAOD=NCOD=90° 30° =60° ,，NAOB=ZAOM=120Q ,，OB=OM,又AO=AO, /.AAOBAAOM又NBOM=120° ,，NOMB=30° ,故NBMC=180° -ZOMB=150° .例 5 如图，在 AC 延长线上截取 CM尸BM,由 RtABDMRtACDM,得 MD=MiD, ZMDB= ZMiDC. AZMDMl=1200 -ZMDB+ZM1DC=12O° ,又NMDN=60° , A ZNDM1=6O° , VMD=

14、MDL Z MDN= Z NDM1=6O ° , DN=DN , A AMDNAMIDN,得 MN=NMI ,故 AMN 周长： AM+MN+AN=AM+AN+NM 1=AM+AM 1=AB+AC=2.CE,可证CDEg/kABDdAED, OCA= ZOAC, ZCOE=2 Z ACO, DAE+ZEAC=67° .例6 解法1如图a,作AABD关于AD的轴对称图形ADC 则NEAD=21° , AE=AB,，DE=BD, 又NADC=210 +46° =67° ,故NADE=NADB=180° 67° =113°

15、; , ZCDE=113° -67° =56° ,连ZODE=ZOED=46° ,得 OD=OE,又 DC=AE, 则 AO=CO, ZZCOE=2X46° =92° =2/人（20.从而/庆0）=46。=NOAC, /. Z解法2如图b,过A点作AEBC.过D作DEAB,连接EC V ZEDC=ZABC=46° , DE=AB=CD,AZDCE=ZCED=- X (180° -46° ) =67° 2V ZADC=ZABC+ZBAD=460 +21° =67°/. NADC

16、=NDCE, :. AD=EC.梯形ADCE为等腰梯形.,.AC=DE (等腰梯形对角线相等)，AB=AC=CD, AZDAC=ZADC=67° .A级1. 67.5° 或 22.5°2.75°3.60°4.8 5.A 6.B 7.B8 .D 提示：由已知得(bc)(ab)(a+c)=0,故 b=c 或 a=b.9 .提示：过D作DFAC交BC于F,证明DFGgZkECG10 .提示：延长CE交BA的延长线于F,证明BECgABEF,再证明AFCZADB.11 .提示：图2成立，联系图1,可证明ECDZFBD,SEF + S、cef = S立+

17、 S、cdF = 1FBD + SCDF ="乙图3不成立，此时S、def- S、cef= IS*咏12 .作NBAC的角平分线与CO的延长线交于D,连BD.则4ABD附ZkACD,则NABD=NACD=30° , ZOBD=ZABC-ZOBC-ZABD=20° =NABD, ZDOB=ZOBC+ ZOCB=40° =NDAB,从而AABDgOBD, AB=OB,即AABO 为等腰三角形，WZBAO=- (180° -40° ) =70°2B级13 40° 2® 提示：连 AP.3. 60° 提

18、示：设NC4N=N8AM=a, /MAN邛,贝ljNC=/8AC=2a+£, 4AMN=B4. D 5.A6.D7 .提示：延长BQ到凡 使DF=BC,则3EF为等边三角形，再证明BCEgZXFDE8 .证明略：由得 C 'Q=AC=A8',由得 O8'=A4=C'A,又 AO=A。，：.AAC DADB A； (3)Sa AB C>S.MBC >S/MBC>Szvl BC, S. 381+ Sa48c = SAC Sx BC9 .满足题意的图形有以下四种情形：10 .提示：在AC。内以CD为边作等边ECD,连AE,则从。：丝/人。£，/。4七=N。4>=15° , 2又,； NDCB=900 -ZACD=90° -75° =15° , ：. ZCAE=ZBCD=ZECA. XVAC=BC, CE=CD, ：.lACEBCD,:/DBC=/EAC=15Q . ：.NDC