数学解题策略的研究综述

1、数学解题策略的研究综述师学院YANCHENG TEACHERS UNIVERSITY数学科学学院数学与应用数学104班（师）晨鸿 伟伟耿威建文朱伟 凯峰2013年4月19日摘要数学解题策略是指人们在数学活动中为达到预期目的而采取的手段、途径和行为方式中 所包含的可操作的规则或模式。事实上中学数学中蕴涵了丰富的数学思想、方法的容。本文 主要介绍了一些数学思想的分别使用情况，和一些数学解题技巧有关方法的点滴探索，然后 通过介绍如何将这些数学思想融入到数学解题技巧的探讨，来启发学生综合运用所学知识， 善于寻求解题途径，培养学生具有正确迅速的解题运算能力和发散思维能力。关键词：数学解题策略；解题技巧；

2、数学解题策略教学误区。摘要 -1-目 录 -2 -1 .弓 I言 -3-2 .几种常见的数学解题策略 -3-2.1 符号思想 -3-2.2 整体思想 -4-2.3 数形结合思想 -5-2.4 化归思想 -6-2.5 换元思想 -7-2.6 分类思想 -8-3 .数学解题策略的培养及应用 -9-3.1 先化简后代入法 -9-3.2 整体代入法 -9-3.3 巧用配对法 -10-3.4 巧用条件变换法 -10-3.5 巧用方程变形法 -10-3.6 降次法 -11-3.7 配方法 -11-3.8 巧用非负数 -11-3.9 巧用特殊值代入法 -12-3.10 巧构方程式 -12-3.11 巧设元法

3、 -12-3.12 巧凑法 -13-4 .如何将数学解题策略贯穿于解题技巧中 -13-5 .解题策略的误区 -16-5.1 平平淡淡才是真 -16-5.2 解题策略的陷阱 -17-6 .培养解题策略与解题技巧的体会 -18-7 .结束语 -19-参考文献 -19-1 .引言数学课的教学，是使学生获得基础知识和技能，从而形成解决问题的能力的过程。使学 生获得知识技能和一些数学学习的基本思想，从而为接受更高教育的学习做好准备。中学生 的理解和接受能力是比较有限的，所以教学中所涉及到的数学思想也是普遍和易懂的。在数 学思想的培养过程中，几乎没有哪位数学教师单纯为了教授数学思想而刻意单独作文字阐述,

4、而基本上是在一些特定的情境或者以例题、习题为载体，通过解决问题或者解答题目逐步渗 透数学思想。从而通过较长一段时间的教学，使学生能够形成以一定的思想为指导解决问题 的方法。教学中教会学生建立数学思想，掌握思想方法，可以使学生在解题时，寻求出已知 和未知的联系，提高学生分析问题的能力，从而使学习的思维品质和能力有所提高。使他们 能够对很多例题或者习题的容加以分析，进而利用长期锻炼出来的数学思想来解决，这就是 培养数学思想最朴素的目的。2 .几种常见的数学解题策略2.1 符号思想例1、根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是（） =000110010111001101A. 100, 0

5、11 B. 011, 100C. 011, 101D. 101, 1102 2 232 3424525例 2、已知22，3 -34 4 ,5 5 ,3 38815152424b 9 b若10 102 符合符合前面式子的规律，则a b 。a a解析：观察已知的四个等式我们发现：等式的左边是一个整数与分数的和，且整数与分数的分子相同，分数的分母等于整数的平方减1,等式的右边是左边的整数的平方与左边的bb分数的积，从上述规律可以得到式子10 b 102 d中b 10 , a 102 1 99,所以aaa b 109。评注：这种题形式多样，学生感到熟悉又易于理解，具有较强的探索性，求解过程反映了课程标

6、准所倡导的数学活动方式观察、 实验、猜测、推理等.因此既要重视基础知识的学习，又要加强此种题型的训练和研究，切实提高分析问题、解决问题的能力2.2整体思想整体思想方法是指用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.利用整体思想往往能够避 免局部思考带来的困惑。例3、解方程2002x2003x2003y 20012002y 2001 分析：如果选用代入法解答，比如由 得x 2001 2003y ,再代入，2002小2001 2003y得 2003 (y) 2002y 20042002解答起来十分麻烦.如果选用加减法，比如

7、20032002,可以消去x,得形式 也很复杂，不易求解.注意到两个方程的系数正好对调这一特征， 先将两方程相加，+, 得 4005x 4005y 4005化简，得x y 1再将两方程相减，得x y 3,即 x y 3、一 x x y 1广 x 2由、组成方程组，得 ，解这个方程组得x y 3y 1例4、如图，矩形 ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和为86cm , 一条对角线长是 13cm ,那么矩形的面积是多少?分析：如图是一个由四个小三角形组成的矩形，我们要求的是矩形的面积，根据题意我们知道了四个小三角形的周长的和为86 cm , 一条对角线长是13 cm ,

8、矩形面积公式S=AB BC,只需求出AB BC即可.解根据题意，有AB BCCD DA 86 2(AC BD)86 4 13 34AB BC 17两边平方，得 AB 2AB BC BC 289,又 AB BC AC 169两式相减，得AB BC 120AB BC 60(cm2)整体思想在数学解题中的应用，不仅仅局限于上述的类型，还涉及到其他的各种题型, 只有通过不断地挖掘、归纳、提炼，才能更好地把握整体思想的本质和规律，从而使问题迎 刃而解。2.3数形结合思想数和形是初中数学中被研究得最多的对象，数形结合是一种极富数学特点的信息转换，它通过形理解数，利用形的直观加深对数量关系的理解；通过数理解

9、形，利用数的抽象性加深对图形位置关系的理解，即图形位置问题的坐标化，数量关系图形化。5 k例5、已知正比例函数 y kx的图象与反比例函数 y (k为常数，k 0)的x图象有一个交点的横坐标是 2.(1)函数图象的交点坐标；5 k(2) A(x,y3 B(x2,y2)是反比例函数y 图象上的两点，且 Xi X2,x试比较y1,y2的大小.y 2k分析与解答：(1)由交点横坐标的含义可得方程组5 k 一 5 k消去字母y ,得2k ，解得k 1 。24-所以正比例函数的表达式为y x ,反比例函数的表达式为y 要求两个函数图象的x4交点坐标，只须在得出的函数解析式基础上回出图象（反比例函数y 的

10、图象分别在第一、x三象限的双曲线，正比例函数y x的图象是经过原点的一条直线）由题知交点的横坐标是2即可求出纵坐标也是2即为（2,2）,由图象的关于原点成中心对称可得另一交点为（2, 2）.所以两函数图象交点的坐标为（2,2）,，"一y 4,一， 一 一一 （2）利用上问中所回图形得反比例函数y 的图象的y的值随x值的增大而减小，所以当 x x2 0时，yi y2；当 0 xi x2时，y y2;一，一,44 一当 x10 x2 时，因为 y10 , y2 一0,所以 yiy.xix2借助“形”的几何直观来阐明“数”之间的某种关系能使问题简单。这类问题常把函数、方程、不等式联系起来.

11、2.4 化归思想所谓化归思想，就是指对于那些数学问题难以求解时，我们可以根据问题的性质、条件 和关系，采取适当的方法把较困难的问题转化为较简单的或早已熟悉的问题来进行解答。例6、如图，“回”字形的道路宽为 1米，整个“回”字形的长为 8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路中央走到终点 B,他共走了 思路和解答假设拖把的宽度是 1米，某服务员拿着拖把沿着小路向前推，那人走遍小路相当于把整块场地拖完了，而拖1m2的场地相当于那人向前走了1米，整块场地面积是7 8 56(m2),所以那人从A走到B共走了 56米，这样我们就把求线段长度问题化归成求面积问题了。例7、如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形

12、色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小一个正方形边长为1,则这个矩形色块图的面积为.思路和解答：设小正方形边长为 x ,则其余正方形的边长依次为1 x, 2 x, 3 x,根据题意得:(2x3 x)(3 x x) (3 x) (2 x) (1 x)2 2x21,解得 x 4.所以矩形色块图的面积为 13 11 143.注：如果对待这个问题时只考虑几何的面积求法，很容易陷入分别求边长的死胡同，从 而一筹莫展，这里采用代数考虑，将问题用一个方程表达出来，进而求出次小正方形的边长，进而求得解。这里又包含了整体思想、方程思想2.5 换元思想例 8、分解因式(x2 3x 2)(x2 3x 4)

13、72分析：注意题目的形式特征，把某一部分(比如x2 3x 2)看作一个整体，运用整体换元，把原方程化为形如的二次三项式，进一步用十字相乘法，最后注意分解要彻底。222设(x 3x 2) =t 则(x 3x 2)( x 3x 4) 722t(t 6) 72 t 6t 72(t 6)(t 12)(x23x2 6)( x2 3x 2 12)(x23x8)(x23x10)2一一一(x3x8)(x5)(x2)如果把 （x2 3x 2）与（x2 3x 4）相乘，将得到一个四次多项式，这时再分解就困 难了。例 9、解方程 3x2 6x 2jx2 2x 4 4 0分析：如果先移项，两边平方，方程变形为一个四次

14、方程，题目就难解了注意到Jx2 2x 4 , 3（x2 2x）,设为y,原方程变形为3y2 2y 8 0,再从中解得y回代得 x。2.6分类思想分类思想是根据所研究的对象相同点和不同点区分不同类型的数学思想方法例10、甲、乙两人分别从相距 30km的A、B两地同时相向而行， 经过3h后相距3 km, 再经过2h,甲到B地所剩的路程是乙到 A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度。解：（1）3h后甲、乙两人未相遇时，设甲的速度为xkm/h,乙的速度为ykm/h,3x 3y 30 3x 4则 ，解得：30 5x 2（30 5y）y 5甲的速度为4Km/h,乙的速度为 5Km/h。答：甲的速度为4Km

15、/h,乙的速度为5Km/h或甲的速度为16/3Km/h ,乙的速度为17/3Km/h。这是一个比较简单的分类讨论的题目，在分类中做到细心缜密，考虑周全，才能够不遗 漏两外一种情况。以上是简单列举中学数学所涉及的几个基本思想，因此在教学过积极引导学生，能够尽量让学生在多次的训练中找到相同的思想，事实上，这也是一种数学学习的思想，归纳和类 比的思想.数学思想方法与数学知识的共存性、数学思想对数学活动的指导作用只有在反复的运用 中才能被真正掌握，成功的思想方法（特别是有广泛应用性的数学思想）需要有意识地贯通 在平时的教学中。数学思想方法的渗透、展现是借助于数学知识、技能这些载体的，离开了 具体容，是

16、无法向学生渗透、 传授数学思想方法的。“思想”要融入到容和应用中才能成为思 想，否则，就思想方法讲思想方法会使学生感到空洞、玄虚，并不能真正掌握数学思想方法 .3.数学解题策略的培养及应用数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。在现实生活和实践中有着广泛的应用 领域，中学数学的重要目的之一是使学生学好从事社会主义现代代建设和进一步学习现代科 学技术所必须的数学基础知识的基本技能，培养学生具有正确迅的解题运算能力，掌握解题 的合理技巧是取得正确迅速解题运算的保证，也是现在教育力提倡的素质教育的宗旨。中学数学解题除了常规方法之外，还要研究解题技巧，特别是一些数学竞赛题，大部分 题目各有各的特色

17、，而且有一定的窍门，要有一定的技巧才能解决得了。下面我们一起看看 在实际教学中培养学生掌握解题的合理技巧及有关方法的点滴探索。3.1 先化简后代入法例1、已知x，求：代数式Jx2 8x 16的值。2 ,3解：: x 1厂 2 8 4 2 ,3原式J(x 4)2 x 42 73 4 2 V33.2 整体代入法例2、已知115 ,求：2 y3xy2x的值。xyy2xyx2y 3xy 2xxyy 2xy xxy112() 3x y11( )2x y3.3巧用配对法例 3、已知 JX1 &_3 1,求 &1 JX3。解： ( . xn 、x)( /n.F) (x 1) (x 3) 4又

18、，x 1 、. x 3 1. x 1、x 3 43.4 巧用条件变换法例4、已知x 1 而，求:x3 2x2 4x 3的值。解：x 1 V5, . x 1 J5 22 (x 1)5 即 x2 2x 4 0.原式x(x2 2x 4) 3 33.5 巧用方程变形法2 11例5、已知x1，x2是方程x 5x 1 0的两根，求：(x1 )(x2 )的值。x1x21解：观察方程可知 x 0,将原方程的两边同除以 x,并移项可得：x - 5 x2, x1, x2是原万程x 5x 1 0的两根。，r1 一，1 x1, x2也是万程x 一 5的两根。x即有(x1 -) 5 , (x2 工)5 ，原式 5 5

19、253.6降次法2-3_一例6、已知：x x 1 0 ,求：x 2x 1的值。解：由 x2 x 1 0 得 x2 x 1，原式 x x2 2x 1x(x 1) 2x 12x x 1 x 1 x 123.7配方法ac的值。例 7、设a b 2 Q, b c 2 73,求：a2 b2 c2 ab bc解：由 ab2s/3,b c 2 73得 ac41999原式-(2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac)2 (a b)2 (b c)2 (a c)21 (2.3)2 (2、.3)2 42153.8巧用非负数例8、已知：a,b为实数，且 J2a 1 b 10,求：2ab 1的值。解：. J2a1

20、0,|b10J2a10,b10广1得a b 12,1原式 2 ( 一) ( 1) 1 223.9巧用特殊值代入法254例 9、右(2x 1)a5x a4x3a3x2a2xa1x a0求：a。a1a?a3a4 a5解：令x 1得（_52 1)5a。aia2a3a4a5a2 a3a4a52433.10巧构方程式例10、设a, b是相异两实根，且满足24a 3, b2 4b2 b23求三b-的值。解：由已知条件，设a, b是方程4x 3 0的两个根4,ab 3b3 (a b) (a2b)2 3ababab4 42 3 ( 3)3.11巧设元法1333例11、若x,y,z都是实数,222(y z) (

21、z x) (x y)(y z2x)2_2(z x 2y) (x_2,2z),求:1)(x2 1)的值(y(zx 1)(y2 1)1)。分别代入已知等式得:2,2a b2222c (b c) (c a) (a b)222即：a b c 2ab 2bc2ca 0 (T由假设知a b c 0。两边平方得222a b c 2ab 2ca 0由+得：a2 b2 c2 0,a b c即 x y z原式 13.12巧凑法例12、化简1(x 1)(x 2)1(x 2)(x 3)1(x 2001)(x 2002)解：原式1111(x-7j (x 2) (x 2) (x 3)11(x 2001) (x 2002)

22、11(x 1) (x 2002)(x 2002) (x 1)(x 1)(x 2002)(x 2001)(x 1)(x 2002)从上述的例子中可以看到，解题运算中基础和技能越是灵活，运算也就越快，越准。在 某种意义上来说，解题运算能力的提高，往往是在运算的技巧上表现出来，我们看一个学生 解题能力的高低，往往是看他是否能受用灵活和简捷的方法，因而灵活的解题运算技巧在运 算能力的提高中具有重要作用，合理的解题技巧要以简化解题运算程序，提高解题运算速度, 经常注意解题的合理技巧的培养及训练，还可以锻炼学生的观察分析能力，使思维敏捷而深 刻，长期的训练学生合理的解题运算技巧，就会为学生在将来的学习和工

23、作中善于独立思考, 富有创新的精神打下坚实的基础。4.如何将数学解题策略贯穿于解题技巧中例：解不等式 V2x5 x 12x 5 0x 1 02x 5 x 1解得：x 1 x 2x 2解法一：分类讨论的思想（在解答某些数学问题时，当遇到多种情况时，就需要对各种 情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论的思想。它体现了化整为零、 积零为整与归类整理的思想）分析：从分类讨论角度看：分类讨论是本题的基本解法，也是学生最常采用的解题策略。解：原不等式可变形为以下两个不等式组： ,中0 x 1 0一 5 解得：x - x 12 5 所以原不等式的解集为： x -2解法二：数形结合的思想（就是

24、根据数学问题的条件和结论之间的在联系，既分析其代分析:从数形结合角度看：把V2x5 x 1的两边可以看作在52,的图象yJ2x 5在函数的上方x的取值围就是不等式的解。解:从图中可知:所以不等式的解集为:数含义又揭示其几何意义，使问题的数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，通过数与 形的相互转化来解决数学问题的思想。其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来， 关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。）解法三：转化与化归的思想（是指在解决问题时，把那些待解决或难解决的问题，通过某种转化过程（包括等价转化和非等价转化。），归结为一类已经解决或比较容易解决的

25、问题，最终求得原问题的解答。）分析：从转化与化归角度看：把无理不等式通过换元化为有理不等式，可以起到事半功 倍的效果。(xt2 5 1),则 x t一52原不等式变形为: 解得：0 t 3,|x2t2 5 一一 代入x ,可得原不等式的解集为:2解法四：函数与方程的思想(函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为 数学模型(方程、或方程组)，然后通过解方程(组)来使问题获解。有时，还实现函数与方 程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。)分析：从函数思想角度看，只需考虑函数 f(x) J2x 5 (x 1)

26、,使f(x) 0的x的 取值围就是不等式的解。5解：设 f(x) J2x 5 (x 1), x 5,2, j1则：f (x) 1.2x 55 _.'_x -, 2 时，f (x) 0 ；2一一 '一一 一x 2,时，f (x) 0一 .5一又f(x)在x 一，上连续，2f(x)在a 2x 0上是增函数，在(2,)上是减函数。53 -又因为 f( 一) 0, f (0) 2225 x 2 时，f(x) 02 5所以原不等式的解集为：x x 22当然，本题还有其它的解法，就不再一一列举了。数学思想是数学知识在更高层次上的 抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。因此，

27、对于数学思想的研究必 然要与数学知识结合进行，通过数学知识的学习，不断反馈出学生对数学思想理解和掌握的 程度。从而有利于从数学学科整体意义和思想含义上立意，注重通性通法，提高解题技巧， 有效地检测学生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想的掌握程度。更加有利于学生对数学知 识的学习和掌握。5.解题策略的误区数学解题技巧是数学的灵魂， 它既体现了数学的灵活多变， 又培养了学生思维的创造性, 然而，技巧有时却是一把双刃剑，许多同学使用不当，反而落入技巧的陷阱，下面通过结合 几个案例来谈谈使用技巧的误区。5.1 平平淡淡才是真,视常规解法为“下里巴许多同学在解题时重技巧轻计算，奉奇思妙解为“阳春白雪” 人

28、”，结果往往在“阳春白雪”前碰壁，欲速则不达。例1、(07全国卷)设函数 f (x) ex ex。若对所有x 0都有f (x) ax,求a的取值围。分析：不等式恒成立问题主要有两种方法：构造新函数或分离参数法，构造法往往要对 参数分类讨论，计算量大，所以大多数同学喜欢简洁明了运算少的分离参数法。解：由题意得:当x 0时,不等式成立;当x 0时,x x一e e可不于a,即x minx e 设 g(x)1)ex (x 1)ex令g (x) 0 ,无法求出方程的根，故极值也无法求出，做极值也无法求出，做到此处，只能“突然死亡”，功亏一簧。正解:令 g (x) f (x) ax,则 g (x)f (x

29、) a ex e x a ,(i)若a 2,当 x 0 时，g'(x) ex e x a 2 a 0,故 g(x)在(0,)上为增函数，所以 x 0时，g(x) g(0),即 f(x) ax。 a a2 4(ii )若a 2,方程g'(x) 0的正根为xiln 2,此时，若x (0, xi),则g (x) 0 ,故g(x)在该区间为减函数，所以，x (0,x1)时，g(x) g(0) 0,即 f (x) ax,与题设 f (x) ax 相矛盾，综上，满足条件的a的取值围是(,2。评注：在技巧碰壁时，蓦然回首，才发现被忽视的却是最有效的，繁琐的往往是最简单5.2 解题策略的陷阱灵

30、活多变的解题技巧有时也会转化为定势，对任何一种乖巧的强化，必然会加深解题时固定的思维倾向，使我们不假思索地进入它所庙宇的路径，一条道直到黑而浑然不觉。例2、 x 0, y 0, x y 1 xy ,求2x y的最小值。错解：由 x y 1 xy 2jxy 1,得 Jxy 1 V2所以 2x y 2 必y 272 4。这是作业多数同学的答案，我觉得很奇怪,因为在基本不等式的运用中多次强调“相等"的重要性，按道理不可能犯这样低级的错误,问过好多同学都说： 我们也知道这方法不对,本来也不会这样做的，因为看到条件中的x y 1 xy ,很容易想起逆代法，对等式两边同除于 xy,得 1 1(x

31、 1), x y xyc J11 小 、y2x212xy ()(2 xy)3上x y xyx y y x结果发现无法进行下去。迫于无奈才用了第一种方法。原来如此，许多同学看到等式中有x y, xy很容易联想到逆代法，却发现式中多了常数1。正是不起眼的“ 1”使同学们原来顺畅的思维阻塞，束手无策。, 一 x 1 , 一正解：由 X y 1 xy ,得 y (x 0)x 1x 122x y 2x 2(x 1)3 7x 1x 1评注：世易时移，变法宜矣，在解题时经常会遇到一此形似而质异的问题，若仍然生搬硬套则解题技巧反而会转化为思维定势，使解题者落入技巧的陷阱。总之，任何事物都有其两面性，解题技巧也

32、不例外，它有时是一座桥，可以让我们顺利渡过问题之河，有时却象一堵墙，阻挡我们前进的步伐，因此，我们在重视它的同时应保持清醒的认识，以免步入技巧的误区6.培养解题策略与解题技巧的体会在教学中培养学生的解题运算的合理技巧，提高学生的解题能力，教师须有目的，有计 划的在加强数学双基的教学中对学生进行长期训练，逐步培养学生形成观察分析具体问题所 具特征的良好习惯，提高学生灵活运用基础知识的能力。第一，要加强数学基础知识的教学和基本技能的训练。我们看到，有些不能进行合理的 解题运算，其原因大多数是基础知识掌握不牢，基本技能不熟，不能根据命题的题设与结论 的关系，联想有基本概念、定理和公式，对比已证过的命题或常用数学方法，而找到合理巧 妙的解题途径。因此，只有基本功扎实才有巧解题的基础，俗话