2016年高考总复习高中数学高考总复习双曲线习题及详解

1、高中数学圆锥曲线双曲线一、选择题1(文)(2016·山东潍坊)已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y±4x，则该双曲线的离心率是 ()A. B.C. D.答案C解析设双曲线方程为1，则由题意得，4，16，e.(理)(2016·河北唐山)过双曲线1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为()A2 B.C. D.答案C解析如图，FMl，垂足为M，M在OF的中垂线上，OFM为等腰直角三角形，MOF45°，即1，e.2(2010·全国文)已知F1、F2为双曲线Cx2y21的左、右焦点，点P在C上

2、，F1PF260°，则|PF1|·|PF2|()A2B4C6D8答案B解析在F1PF2中，由余弦定理cos60°11，b1，|PF1|·|PF2|4.3(文)(2016·合肥市)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x2)2y21都相切，则双曲线C的离心率是()A.或2 B2或C.或 D.或答案A解析焦点在x轴上时，由条件知，e，同理，焦点在y轴上时，此时e2.(理)已知F1、F2是双曲线1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为()A42 B.1

3、C. D.1答案D解析设线段MF1的中点为P，由已知F1PF2为有一锐角为60°的直角三角形，|PF1|、|PF2|的长度分别为c和c.由双曲线的定义知：(1)c2a，e1.4已知椭圆1和双曲线1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为()Ax±y By±xCx±y Dy±x答案D解析由题意c23m25n22m23n2，m28n2，双曲线渐近线的斜率k±±.方程为y±x.5(文)(2016·湖南师大附中模拟)已知双曲线1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|4，F2为双曲线的右焦点，A

4、BF2的周长为20，则m的值为()A8 B9C16 D20答案B解析由已知，|AB|AF2|BF2|20，又|AB|4，则|AF2|BF2|16.据双曲线定义，2a|AF2|AF1|BF2|BF1|，所以4a|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)16412，即a3，所以ma29，故选B.(理)(2016·辽宁锦州)ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C(其中m>0，且m为常数)，且满足条件sinCsinBsinA，则动点A的轨迹方程为()A.1 B.1C.1(x>) D.1答案C解析依据正弦定理得：|AB|AC|BC|<|BC|点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线

5、的右支，且a，c，b2c2a2双曲线方程为1(x>)6设双曲线1(a>0，b>0)的两焦点为F1、F2，点Q为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F1作F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是()A椭圆的一部分 B双曲线的一部分C抛物线的一部分 D圆的一部分答案D解析延长F1P交QF2于R，则|QF1|QR|.|QF2|QF1|2a，|QF2|QR|2a|RF2|，又|OP|RF2|，|OP|a.7(文)(2016·温州市十校)已知点F是双曲线1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若AB

6、E是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1,2)C(1,1) D(2,1)答案B解析由题意易知点F的坐标为(c,0)，A，B，E(a,0)，因为ABE是锐角三角形，所以·>0，即··>0，整理得3e22e>e4，e(e33e31)<0，e(e1)2(e2)<0，解得e(0,2)，又e>1，e(1,2)，故选B.(理)(2016·浙江杭州质检)过双曲线1(a>0，b>0)的一个焦点F引它的渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若FMME，则该双曲线的离心率为()A3 B2C.

7、 D.答案D解析由条件知l：yx是线段FE的垂直平分线，|OE|OF|c，又|FM|b，在RtOEF中，2c24b24(c2a2)，e>1，e.8若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析直线与双曲线右支相切时，k，直线ykx2过定点(0,2)，当k1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线yx2时，直线与双曲线右支有两个交点，<k<1.9(文)(2010·福建理)若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为()A32，

8、) B32，)C，) D，)答案B解析由条件知a21224，a23，双曲线方程为y21.设P点坐标为(x，y)，则(x，y)，(x2，y)，y21，·x22xy2x22x1x22x1(x)2.又x(P为右支上任意一点)·32.故选B.(理)(2010·新课标全国理)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析设双曲线的方程为1(a>0，b>0)，由题意知c3，a2b29，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：，两式作差得：，

9、kAB，且kAB1，所以4b25a2代入a2b29得a24，b25，所以双曲线标准方程是1，故选B.10(文)过椭圆1(a>b>0)的焦点垂直于x轴的弦长为a，则双曲线1的离心率e的值是()A. B.C. D.答案B解析将xc代入椭圆方程得，1，y2×b2×b2×b2，y±.a，b2a2，e2，e，故选B.(理)(2016·福建宁德一中)已知抛物线x22py(p>0)的焦点F恰好是双曲线1的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为()A. B1±C1 D无法确定答案C解析由题意知c，根据圆锥曲线图象

10、的对称性，两条曲线交点的连线垂直于y轴，对双曲线来说，这两个交点连线的长度是，对抛物线来说，这两个交点连线的长度是2p，p2c，4c，b22ac，c2a22ac，e22e10，解得e1±，e>1，e1.二、填空题11(文)(2016·广东实验中学)已知P是双曲线1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3xy0.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点若|PF2|3，则|PF1|_.答案5解析由双曲线的一条渐近线的方程为3xy0且b3可得：a1，由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a，|PF1|32，|PF1|5.(理)(2010·东营质检)已知双曲线1的右焦点

11、为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为_答案y±x解析由题意知9a13，a4，故双曲线的实半轴长为a3，虚半轴长b2，从而渐近线方程为y±x.12(2016·惠州市模考)已知双曲线y21(a>0)的右焦点与抛物线y28x焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是_答案y±x解析y28x焦点是(2,0)，双曲线y21的半焦距c2，又虚半轴b1，又a>0，a，双曲线渐近线的方程是y±x.13(2016·北京东城区)若双曲线1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|3|PF2|，则该双曲线离心率

12、的取值范围是_答案1<e2解析由题意，|PF1|AF1|，3aac，e2，1<e2.14下列有四个命题：若m是集合1,2,3,4,5中任取的一个值，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为mxy0，则双曲线的离心率小于4的概率为.若双曲线1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为yx，且其一个焦点与抛物线y28x的焦点重合，则双曲线的离心率为2；将函数ycos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数ysin的图象；在RtABC中，ACBC，ACa，BCb，则ABC的外接圆半径r；类比到空间，若三棱锥SABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、

13、c，则三棱锥SABC的外接球的半径R.其中真命题的序号为_(把你认为是真命题的序号都填上)答案解析设双曲线方程为m2x2y21，a2，b21，c2a2b2e<4，m<m取值1、2、3故所求概率为，故正确根据双曲线1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为yx，可得，因此离心率e2，正确；函数ycos2x的图象向右平移个单位得ycos2(x)cos(2x)sin(2x)sin(2x)的图象，错误；将三棱锥SABC补成如图的长方体，可知三棱锥SABC外接球的直径就等于该长方体的体对角线的长，则R，正确三、解答题15(文)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(2,0)(

14、1)求双曲线方程；(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若|2|，求直线l的方程解析(1)由题意可设所求的双曲线方程为1(a>0，b>0)则有e2，c2，a1，则b所求的双曲线方程为x21.(2)直线l与y轴相交于M且过焦点F(2,0)l的斜率k一定存在，设为k，则l：yk(x2)令x0得M(0,2k)|2|且M、Q、F共线于l2或2当2时，xQ，yQkQ，Q在双曲线x21上，1，k±，当2时，同理求得Q(4，2k)代入双曲线方程得，161，k±则所求的直线l的方程为：y±(x2)或y±(x2)(理)(2016

15、3;湖南湘潭市)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围解析(1)设双曲线1，由已知得a，c2，再由a2b222得，b21，故双曲线C的方程为y21.(2)将ykx代入y21中得，(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线交于不同的两点得，k2且k2<1设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xAxB，xAxB由·>2得，xAxByAyB>2，xAxByAyBxAxB(kxA)(kxB)(k21)xAxBk

16、(xAxB)2(k21)·k·2于是>2，即>0，解此不等式得<k2<3由得<k2<1，<k<1或1<k<.故k的取值范围为.16(2016·江苏苏州模拟)已知二次曲线Ck的方程：1.(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；(2)若双曲线Ck与直线yx1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；(3)m、n为正整数，且m<n，是否存在两条曲线Cm、Cn，其交点P与点F1(，0)，F2(，0)满足·0？若存在，求m、n的值；若不存在，说明理由解析(1)当且仅当，即k<4时，方程表示椭圆当且仅

17、当(9k)(4k)<0，即4<k<9时，方程表示双曲线(2)解法一：由化简得，(132k)x22(9k)x(9k)(k3)00，k6或k4(舍)双曲线实轴最长，k取最小值6时，9k最大即双曲线实轴最长，此时双曲线方程为1.解法二：若Ck表示双曲线，则k(4,9)，不妨设双曲线方程为1，联立消去y得，(52a2)x22a2x6a2a40Ck与直线yx1有公共点，4a44(52a2)(a46a2)0，即a48a2150，a23或a25(舍)，实轴最长的双曲线方程为1.解法三：双曲线1中c2(9k)(k4)5，c，F1(，0)，不妨先求得F1(，0)关于直线yx1的对称点F(1,1

18、)，设直线与双曲线左支交点为M，则2a|MF2|MF1|MF2|MF|FF2|2a，实轴最长的双曲线方程为1.(3)由(1)知C1、C2、C3是椭圆，C5、C6、C7、C8是双曲线，结合图象的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点设|PF1|d1，|PF2|d2，m1,2,3，n5,6,7,8则根据椭圆、双曲线定义及·0(即PF1PF2)，应有，所以mn8.所以这样的Cm、Cn存在，且或或.17(文)(2010·全国文)已知斜率为1的直线l与双曲线C：1(a>0，b>0)相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3)(1)求C的离心率；(2)

19、设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切解析(1)由题意知，l的方程为：yx2，代入C的方程并化简得，(b2a2)x24a2x4a2a2b20设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1·x2由M(1,3)为BD的中点知1，故×1即b23a2故c2a，C的离心率e2.(2)由知，C的方程为3x2y23a2，A(a,0)，F(2a,0)，x1x22，x1·x2<0，故不妨设x1a，x2a，|BF|a2x1，|FD|2x2a，|BF|·|FD|(a2x1)(2x2a)4x1x22a(x1x2)a25a24a8.又|BF|·|FD|17，故5a24a817，解得a1，或a.故|BD|x1x2|6连结MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|3，从而MAMBMD，DAB90°，因此以M为圆心，MA为半径的圆过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切(理)(2016·广东理)已知双曲线y21的左、右顶点分别为A1，A2，点P(