初二数学上学期知识点和典型例题总结

1、全等三角形类型一：全等三角形性质的应用1、如图， abd ace， ab=ac，写出图中的对应边和对应角 .思路点拨 : ab=ac，ab和 ac是对应边， a 是公共角， a 和a 是对应角， 按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.解析： ab和 ac是对应边， ad和 ae、bd和 ce是对应边， a和 a 是对应角， b和 c， aec和adb是对应角 .总结升华： 已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.举一反三：【变式 1】如图，

2、abc dbe. 问线段 ae和 cd相等吗？为什么？【答案】证明：由 abc dbe，得 ab=db,bc=b，e则 ab-be=db-b，c 即 ae=cd。【变式 2】如右图，。求证： aecf【答案】第 3 页 共 16 页aecf2、如图，已知 abc def， a=30°， b=50°， bf=2，求 dfe的度数与 ec的长。思路点拨 :由全等三角形性质可知： dfe=acb，ec+cf=bf+f，c所以只需求 acb的度数与 bf的长即可。解析： 在 abc中，acb=180°- a- b，又 a=30°， b=50°，所以 a

3、cb=10°0 .又因为 abc def，所以 acb= dfe，bc=ef（全等三角形对应角相等，对应边相等）。所以 dfe=100°ec=ef-fc=bc-fc=fb。=2总结升华： 全等三角形的对应角相等，对应边相等。举一反三：【变式 1】如图所示， acd ecd， cef bef， acb=90° .求证：（ 1）cd ab；（ 2） efac.【答案】(1 ）因为 acd ecd，所以 adc=edc（全等三角形的对应角相等） .因为 adc+edc=18°0 ，所以adc=edc=9°0 .所以 cdab.(2 ）因为 cef b

4、ef,所以 cfe=bfe（全等三角形的对应角相等） .因为 cfe+bfe=180°，所以 cfe=bfe=90° .因为 acb=9°0所以 efac., 所以 acb=bfe.类型二：全等三角形的证明3、如图， acbd，df ce， ecb fda，求证： adf bce 思路点拨 :欲证 adf bce，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过acbd而得解析： acbd(已知)ab-bd ab-ac(等式性质 )即 adbc在 adf与 bce中 adf bce(sas)总结升华： 利用全等三角形证明线段 ( 角) 相等的一

5、般方法和步骤如下：(1) 找到以待证角 ( 线段) 为内角( 边) 的两个三角形，(2) 证明这两个三角形全等；(3) 由全等三角形的性质得出所要证的角 ( 线段) 相等 举一反三：【变式 1】如图，已知 ab dc，abdc，求证： adbc【答案】 abcd 3 4在 abd和 cdb中 abd cdb(sas) 1 2( 全等三角形对应角相等 )adbc(内错角相等两直线平行 )【变式 2】如图，已知 eb ad于 b，fc ad于 c，且 ebfc， abcd 求证 af de【答案】 ebad(已知) ebd90° ( 垂直定义 )同理可证 fca90° ebd

6、fcaabcd， bcbcacab+bcbc+cdbd在 acf和 dbe中 acf dbe(sas)afde(全等三角形对应边相等 )类型三：综合应用4、如图， ad为 abc的中线。求证： ab+ac>2ad.思路点拨 :要证 ab+ac>2a，d由图想到： ab+bd>a，d ac+cd>a，d所以 ab+ac+bc>2a，d所以不能直接证出。由 2ad想到构造一条线段等于2ad，即倍长中线。解析： 延长 ad至 e，使 de=ad，连接 be因为 ad为 abc的中线， 所以 bd=cd.在 acd和 ebd中，所以 acd ebd(sas).所以 be=

7、ca.在 abe中， ab+be>a，e 所以 ab+ac>2ad.总结升华： 通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。举一反三：【变式 1】已知：如图，在 rtabc中， ab=ac,bd的延长线于 e，求证： bd=2ce.【答案】分别延长 ce、ba交于 f.因为 be cf,所以 bef=bac=90° , 1=2，cebec=90° .在 bef和 bec中，第 4 页 共 16 页所以 bef bec(asa).第 13 页 共 16 页所以 ce=fe= cf.又因为 bac=90° ,becf.所以 bac=caf=90&#

8、176;， 1+ bda=9°0所以 bda=bfc.在 abd和 acf中，所以 abd acf(aas)， 1+bfc=90°.所以 bd=cf所. 以 bd=2ce.5、如图， abcd，be df， b d，求证： (1)ae cf，(2)ae cf， (3) afe cef思路点拨 : (1) 直接通过 abe cdf而得， (2) 先证明 aeb cfd，(3)由(1)(2)可证明 aef cfe而得，总之，欲证两边 ( 角) 相等，找这两边 ( 角) 所在的两个三角形然后证明它们全等解析：(1) 在 abe与 cdf中abe cdf(sas)ae cf(全等三

9、角形对应边相等 )(2) aeb cfd(全等三角形对应角相等 )ae cf(内错角相等，两直线平行 )(3) 在 aef与 cfe中 aef cfe(sas) afe cef(全等三角形对应角相等 )总结升华： 在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角一对三角形全等的条件举一反三：( 边) 作为判定另【变式 1】如图，在 abc中，延长 ac边上的中线 bd到 f，使 df bd，延长 ab边上的中线 ce到 g，使 egce，求证 afag【答案】在 age与 bce中 age bce(sas)agbc(全等三角形对应边相等 )在 afd与 cbd中 afd cbd(sas)afcb(全等

10、三角形对应边相等 )afag(等量代换 )6、如图 abac，bdac于 d，ceab于 e，bd、ce相交于 f 求证： af平分 bac思路点拨 :若能证得得 ad=ae，由于 adb、 aec都是直角，可证得 rt adf rtaef，而要证 ad=ae，就应先考虑 rt abd与 rtaec，由题意已知 ab=ac， bac是公共角，可证得 rt abdrt ace解析： 在 rt abd与 rt ace中rt abdrt ace(aas)ad=ae全( 等三角形对应边相等 )在 rt adf与 rt aef中rt adfrt aef(hl) daf=eaf(全等三角形对应角相等 )a

11、f平分 bac(角平分线的定义 )总结升华： 条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。举一反三：【变式 1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证已知：如图，在 abc与 abc中 ab=a b， bc=bc， adbc于 d，ad bc于 d且 ad=ad 求证： abc a b c证明： 在 rt abd与 rt a b d中(hl)角相等)rt abd rt abd b=b( 全等三角形对应在 abc与 abc中 abc abc(sas)【变式 2】已知，如图， ac、bd 相交于 o， ac=bd， c d

12、90° 求证：oc=od【答案】 c=d=90° abd、 acb为直角三角形在 rtabd和 rt abc中 rtabdrt abc(hl)ad=bc在 aod和 boc中 aod boc(aas)od=oc7、abc中， ab=ac， d是底边 bc上任意一点， deab， dfac，cg ab垂足分别是 e、f、g.试判断：猜测线段 de、df、cg的数量有何关系？并证明你的猜想。思路点拨 : 寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径解析： 结论： de+df=cg方法一：（截长法）板书此种方法（ 3 分钟） 作 dmcg于 mde ab，cgab， dmcg四边形 e

13、dmg是矩形 de=gmdm/ab mdc=ab=acb= fcd mdc=bfcd而 dmcg， dfac dmc= cfd在 mdc和 fcd中 mdc fcd（aas） mc=dfde+df=gm+mc=cg总结升华：方法二（补短法）作 cm ed交 ed的延长线于 m（证明过程略）总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法方法三（面积法）使用等积转化引申：如果将条件“ d是底边 bc上任意一点”改为“ d是底边 bc的延长线上任意一点”，此时图形如何？ de、df和 cg会有怎样的关系？画出图形，写出你的猜想并加以证明举一反三：【变式 1】三角形底边上的任意一点到

14、两个腰上的距离和等于腰上的高。【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：（ 3）面积法1）截长法（ 2）补短法轴对称考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识典例 1下列几何图形中，1线段2角 3直角三角形4半圆，其中一定是轴对称图形的有（）a1 个b2 个c 3 个d 4 个2正 n 边形有条对称轴，圆有条对称轴考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称典例： 1、如图， rt abc，c=90°, b=30°,bc=8， d为 ab中点，p 为 bc上一动点，连接ap、dp,则 ap+dp的最小值是af2、已知等边abc， e 在 bc的延长线上， cf 平分dce， p

15、为射q线bc上一点， q为bcf上一点，连接 ap、pq.若 ap=pq，求证apq是多少度考点四、线段垂直平分线的性质线段是轴对称图形，它的对称轴是 pce图（ 2）线段的垂直平分线上的点到相等归类回忆角平分线的性质角是轴对称图形，其对称轴是角平分线上的点到 相等典例 1、如图，abc中，a=90°，bd为abc平分线， debc，e 是 bc的中点，求 c的度数。2、 如图，abc中， ab=ac， pb=pc，连 ap并延长交 bc于 d，求证： ad垂直平分 bcaabpeda dcb cedbc3、如图 ,de 是 abc中 ac边的垂直平分线，若 bc=8厘米， ab=1

16、0厘米，则ebc的周长为（）a.16 厘米b.18厘米c.26厘米d.28厘米4、 如图， bac=3°0 ，p 是bac平分线上一点， pm ac， pdac， pd=28 ,则 am=5、如图，在 rtabc中， acb = 90° ， bac 的平分线交 bc 于 d.过 c点作bmpacgab 于 g，交 ad于 e. 过 d点作 dfab 于 f. 下列结论：adc ced=cde；s aec s aegac ag ； afd=2 ecd；eg s cedsdfb； ce=df. 其中正确结论的序号是 ()fcdbabcd考点五、等腰三角形的特征和识别典例 1、如

17、图， abc中， ab=ac=，8 d在 bc上，过 d作 de ab交 ac于 e， df ac交 ab于 f，则四边形 afde的周长为 。a2 、 如 图 ， abc 中 ， bd 、 cd 分 别 平 分 abc与 acb， eefb)过dd fc且 efbc，若 ab = 7 ， bc = 8 ，ac = 6 ，则aef周长为 (a. 15b . 14c. 13d.18ndfb3、 如图 , 点 b、d、f 在 an上,c 、e 在 am上，且acemab=bc=cd=ed=ef,a=20 , 则feb= 度o4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40° ，则它的一个

18、底角的度数是5、abc中， df 是 ab的垂直平分线，交 bc于 d， eg是 ac的垂直平分线，交 bc于 e，若dae=20 °，则bac等于°6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于7、已知，在 abc中，acb=90°，点d、 e在直线 ab上，且 ad=ac，be=bc，则dce =度.a8、如图：在 abc中， ab=ac，adbc， de ab于点 e, df ac于点 f。试说明 de=df。efdc9、如图 ,e 在abc的 ac边的延长线上， d 点在 ab边上， de交 bc于点 f

19、，adf=ef，bd=ce.求证：abc是等腰三角形 .dbfcbe考点六、等边三角形的特征和识别等边三角形的各 相等，各 相等并且每一个角都等于 三个角相等的三角形是三角形有一个角是 60°的三角形是等边三角形特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线典例 1、下列推理中，错误的是()a a b c， abc 是等边三角形b ab ac，且 b c， abc 是等边三角形c a 60°， b 60°， abc 是等边三角形 d ab ac， b 60°，abc是等边三角形2、如图，等边三角形 abc中， d 是 ac的中点， e 为 bc延长线上一点，且

20、 ce cd， dm bc，垂足为 m。求证： m是 be的中点。adbmce考点七、 30°所对的直角边是斜边的一半典例bd1、如图，是屋架设计图的一部分，点d 是斜梁 ab 的中点，立柱 bc、de垂直aec于横梁 ac， ab=8m， a=30°，则 de等于（）a1mb 2mc3md 4mc2、如图：adc中，a = 15 ° ，d=90° ，b 在 ac的垂直平分线上， ab =34，则 cd = ()a. 15b . 17c. 16d.以上全不对abd3、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知ao=bo=40c，m c0=d0=30 cm，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度 aob刚好为 120°，求桌面到地面的距离是多少？abaoefcd第 14 页 共 16 页乙bcd 第 4 题图甲， bc=6，4、如图， ab=ac， de ab于 e， dfac于 f， bac=120oa则 de+df=ebfc第 16 页 共 16 页5、在 abc 中，abac， a120， ab 的垂