初中数学几何图形综合题.

1、初中数学几何图形综合题必胜中学2018-01-30 15:15:15题型专项几何图形综合题【题型特征】 以几何知识为主体的综合题 ,简称几何综合题 ,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系 ,以及特定图形的判定和性质 .一般以相似为中心 , 以圆为重点 ,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用 .【解题策略】 解答几何综合题应注意 :(1) 注意观察、分析图形 ,把复杂的图形分解成几个基本图形 ,通过添加辅助线补全或构造基本图形 .(2) 掌握常规的证题方法和思路 ;(3) 运用转化的思想解决几何证明问题 ,运用方程的思想解决几何计算问题 .还要灵活运用其他的

2、数学思想方法等 .【小结】 几何计算型综合问题 , 是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活 .解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系 ,在复杂的 “背景 ”下辨认、分解基本图形 ,或通过添加辅助线补全或构造基本图形 ,并善于联想所学知识 ,突破思维障碍 ,合理运用方程等各种数学思想才能解决 .【提醒】 几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目 .值得一提的是 ,在近年各地的中考试题中 ,几何论证型综合题的难度普遍下降 ,出现了一大批探索性试题 , 根据新课标的要求 ,减少几何中推理

3、论证的难度 ,加强探索性训练 ,将成为几何论证型综合题命题的新趋势 .为了复习方便 ,我们将几何综合题分为 :以三角形为背景的综合题 ;以四边形为背景的综合题 ;以圆为背景的综合题 .类型 1操作探究题1在 Rt ABC 中， C90°，Rt ABC 绕点 A 顺时针旋转到 Rt ADE 的位置，点 E 在斜边 AB 上，连接 BD，过点 D 作 DF AC 于点 F.(1)如图 1，若点 F 与点 A 重合，求证： AC BC ；(2)若 DAF DBA.如图 2，当点 F 在线段 CA 的延长线上时，判断线段 AF 与线段 BE 的数量关系，并说明理由；当点 F 在线段 CA 上

4、时，设 BE x，请用含 x 的代数式表示线段AF.解： (1)证明：由旋转得， BAC BAD ， DFAC， CAD 90°. BAC BAD 45°. ACB 90°， ABC 45°. AC BC.(2)AF BE. 理由：由旋转得 AD AB ， ABD ADB. DAF ABD ， DAF ADB. AF BD. BAC ABD. ABD FAD ，由旋转得 BAC BAD. FAD BAC BAD 1/3 ×180°60°.由旋转得， AB AD. ABD 是等边三角形 AD BD.在 AFD 和 BED 中：

5、 1. F=. BED=90° ； 2.AD BD ； 3.FAD EBD ， AFD BED(AAS) AF BE.如图由旋转得 BAC BAD. ABD FAD BAC BAD 2BAD ，由旋转得 AD AB ， ABD ADB 2BAD. BAD ABD ADB 180°， BAD 2BAD 2BAD 180°. BAD 36°.设 BD a，作 BG 平分 ABD ， BAD GBD 36°.AG BG BD a. DGADAGADBGADBD. BDG ADB ， BDG ADB. BD/AD DG/DB. BD/AD (AD BD

6、)/BD AD/BD （ 1+根号 5） /2。 FAD EBD ， AFD BED ， AFD BED. BD/AD BE/AF. AF BD/AD·BE （ 1+根号 5） /2*x.2如图 1，点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点，分别延长 OD 到点 G，OC到点 E，使 OG 2OD ，OE 2OC ，然后以 OG ，OE 为邻边作正方形 OEFG ，连接 AG ，DE.(1)求证： DE AG ；(2)正方形 ABCD 固定，将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转 角(0 °360°)得到正方形 OEF，G如图 2.在旋转过程中，当 OAG是直

7、角时，求 的度数；若正方形 ABCD 的边长为 1，在旋转过程中， 求 AF长的最大值和此时 的度数，直接写出结果不必说明理由解： (1)证明：延长 ED 交 AG 于点 H，点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点， OAOD，OAOD.在 AOG 和 DOE 中， 1.OA OD ；2. AOG DOE 90°； 3.OG OE AOG DOE. AGO DEO. AGO GAO 90°， GAO DEO 90°. AHE 90°，即 DEAG.(2)在旋转过程中， OAG成为直角有两种情况：() 由 0°增大到 90°过程中，

8、当 OAG90°时， OA OD 1/2*OG 1/2*OG，在 Rt OAG中， sin AGOOA/OG 1/2 AGO30°. OA OD ，OA AG， OD AG. DOG AGO30°，即 30°.() 由 90°增大到 180°过程中，当 OAG90°时，同理可求 BOG30°， 180°30°150°.综上所述，当 OAG90°时， 30°或 150°. AF的最大值为 2 分子根号 2 2，此时 315°.提示：如图当旋转到 A

9、，O，F在一条直线上时， AF的长最大，正方形 ABCD 的边长为 1， OAODOCOB2 分子根号 2. OG 2OD ， OGOG .OF2. AFAO OF2 分子根号 22. COE45°，此时 315°.3如图，矩形 ABCD 中， AB 4，AD 3，M 是边 CD 上一点，将 ADM 沿直线 AM 对折，得到 ANM.(1)当 AN 平分 MAB 时，求 DM 的长；(2)连接 BN ，当 DM 1 时，求 ABN 的面积；(3)当射线 BN 交线段 CD 于点 F 时，求 DF 的最大值解： (1)由折叠可知 ANM ADM ， MAN DAM. AN 平

10、分 MAB ， MAN NAB. DAM MAN NAB.四边形 ABCD 是矩形， DAB 90°. DAM 30°. DMAD·tan DAM 3×3 分子根号 3根号 3。(2)如图 1，延长 MN 交 AB 延长线于点 Q.四边形 ABCD 是矩形， AB DC. DMA MAQ.由折叠可知 ANM ADM ， DMAAMQ ，ANAD3，MNMD1. MAQ AMQ. MQ AQ.设 NQ x，则 AQ MQ 1 x.在 Rt ANQ 中， AQ2 AN 平方 NQ 平方， (x1)平方 3 的平方 x 的平方 .解得 x 4. NQ4，AQ5

11、. AB4，AQ5， SNAB4/5*S ，NAQ4/5 ·1/2 ·AN·NQ 24/5.(3)如图 2，过点 A 作 AH BF 于点 H，则 ABH BFC ， BH/AH CF/BC. AHAN3，AB4，当点 N， H 重合 (即 AH AN) 时， DF 最大 (AH 最大， BH 最小， CF 最小， DF 最大)此时 M，F 重合， B，N，M 三点共线， ABH BFC( 如图 3)， DF 的最大值为 4根号 7图 1类型 2动态探究题4(2016 ·自贡 )已知矩形 ABCD 的一条边 AD 8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点B落

12、在CD边上的 P点处(1)如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连接 AP ，OP ，OA. 若 OCP 与 PDA的面积比为 14，求边 CD 的长；(2)如图 2，在 (1) 的条件下，擦去折痕 AO ，线段 OP ，连接 BP. 动点 M 在线段 AP 上(点 M 与点 P，A 不重合 )，动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BNPM，连接 MN 交 PB 于点 F，作 ME BP 于点 E.试问当动点 M，N 在移动的过程中，线段 EF 的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律若不变，求出线段 EF 的长度解： (1)四边形 ABCD 是矩形， C D 90°. AP

13、D DAP 90°.由折叠可得 APO B90°， APD CPO 90°. CPO DAP.又 D C， OCP PDA. OCP 与 PDA 的面积比为 1 4，设 OP x，则 CO 8 x.在 RtPCO 中， C 90°，由勾股定理得，解得 x 5.AB AP 2OP 10. CD 10.(2)过点 M 作 MQAN，交 PB 于点 Q. APAB，MQAN， APB ABP MQP. MPMQ.BNPM，BNQM.MPMQ，MEPQ， EQ0.5PQ. MQ AN ， QMF BNF.在 MFQ 和 NFB 中， 1. QFM NFB ；2.

14、 QMF BNF ；3.MQ BN MFQ NFB(AAS) QF BF 0.5QB. EF EQ QF 0.5PQ 0.5QB 0.5PB. 由(1) 中的结论可得 PC 4，BC 8，C90°，在 (1)的条件下，当点 M，N 在移动过程中，线段 EF 的长度不变，它的长度为 2* 根号 5.5如图，在直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴和 y 轴正半轴上，点 B 的坐标是 (5，2)，点 P 是 CB 边上一动点 (不与点 C， B 重合 )，连接 OP ，AP ，过点 O 作射线 OE 交 AP 的延长线于点 E，交 CB 边于点 M，且 A

15、OP COM ，令 CP x， MP y.(1)当 x 为何值时， OP AP?(2)求 y 与 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(3)在点 P 的运动过程中， 是否存在 x，使 OCM 的面积与 ABP 的面积之和等于 EMP 的面积若存在，请求 x 的值；若不存在，请说明理由解： (1)由题意知 OABC5，ABOC2，B OCM 90°，BCOA. OPAP， OPC APB APB PAB 90°. OPC PAB. OPC PAB.解得 x1 4，x2 1(不合题意，舍去 )当 x4 时， OP AP.(2)BC OA ， CPO AOP. AOP COM

16、 ， COM CPO. OCM PCO ， OCM PCO. y x4/x(2<x<5) (3)存在 x 符合题意过点E 作 ED OA 于点 D，交 MP 于点 F，则 DF AB 2. OCM 与 ABP 面积之和等于 EMP 的面积， SEOA S 矩形 OABC 2×5 1/2 ·5ED. ED4，EF2. PM OA ， EMP EOA.解得 y5/2.6如图 1，矩形 ABCD 的两条边在坐标轴上，点 D 与坐标原点 O 重合，且 AD 8， AB 6.如图 2，矩形 ABCD 沿 OB 方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，同时点 P 从 A 点出

17、发也以每秒 1 个单位长度的速度沿矩形 ABCD 的边 AB 经过点 B 向点 C 运动，当点 P 到达点 C 时，矩形 ABCD 和点 P 同时停止运动，设点 P 的运动时间为 t 秒(1)当 t5 时，请直接写出点D，点 P 的坐标；(2)当点 P 在线段 AB 或线段 BC 上运动时，求出 PBD 的面积 S 关于 t 的函数关系式，并写出相应 t 的取值范围；(3)点 P 在线段 AB 或线段 BC 上运动时，作PE x 轴，垂足为点E，当 PEO 与 BCD 相似时，求出相应的t 值解： (1)D(4，3)， P(12，8)(2)当点 P 在边 AB 上时， BP 6t. S0.5B

18、P·AD 0.5(6 t) 8· 4t24.当点 P 在边 BC 上时， BP t6. S0.5BP·AB 0.5(t 6) ·63t 18.类型 3类比探究题7如图 1，在正方形 ABCD 中， P 是对角线 BD 上的一点，点 E 在 AD 的延长线上，且 PAPE，PE 交 CD 于点 F.(1)求证： PC PE ；(2)求 CPE 的度数；(3)如图 2，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD ，其他条件不变，当 ABC 120° 时，连接 CE ，试探究线段 AP 与线段 CE 的数量关系，并说明理由解： (1)证明：在正方形ABC

19、D 中， AB BC ， ABP CBP 45°，在 ABP 和 CBP 中， 1.AB=BC;2.PB PB;3. ABP CBP ABP CBP(SAS) PA PC.又 PAPE，PCPE.(2)由(1) 知， ABP CBP ， BAP BCP. DAP DCP. PA PE， DAP E. DCP E. CFP EFD( 对顶角相等 )， 180° PFC PCF 180° DFE E，即 CPF EDF 90°.(3)在菱形 ABCD 中， AB BC ， ABP CBP 60°，在 ABP 和 CBP 中， 1.AB=BC;2.P

20、B PB;3. ABP CBP ABP CBP(SAS) PA PC ， BAP BCP. PA PE， PC PE. DAP DCP. PA PE， DAP AEP. DCP AEP. CFP EFD( 对顶角相等 )， 180° PFC PCF 180° DFE AEP ，即 CPF EDF 180° ADC 180° 120° 60°. EPC 是等边三角形 PC CE. AP CE.8已知 AC ，EC 分别为四边形 ABCD 和 EFCG 的对角线，点 E 在 ABC 内， CAE CBE 90°.(1)如图 1，

21、当四边形 ABCD 和 EFCG 均为正方形时，连接BF.求证： CAE CBF ；若 BE1，AE2，求 CE 的长；(2)如图 2，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为矩形，且 AB/BC EF/FC k 时，若 BE 1，AE 2， CE 3，求 k 的值；(3)如图 3，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为菱形，且 DAB GEF 45°时，设 BE m，AE n，CE p，试探究 m，n，p 三者之间满足的等量关系 (直接写出结果，不必写出解答过程 )解： (1)证明：四边形ABCD 和 EFCG 均为正方形， ACB 45°， ECF 45°. A

22、CB ECB ECF ECB ，即 ACE BCF. CAE CBF. CAE CBF ， CAE CBF ，AE/BF 根号 2. BF根号 2.又 CAE CBE 90°， CBF CBE 90°，即 EBF 90°.解得 CE 根号 6.(2)连接 BF ， AB/BC EF/FC k， CFE CBA ， CFE CBA. ECF ACB ，CE/CF AC/BC. ACE BCF. ACE BCF. CAE CBF. CAE CBE 90°， CBF CBE 90°，题型 2与圆有关的几何综合题9(2016 ·成都 )如图，

23、在 RtABC 中， ABC 90°，以 CB 为半径作 C，交 AC 于点 D，交 AC 的延长线于点 E，连接 ED ，BE.(1)求证： ABD AEB ；(2)当 BC(AB) 3(4) 时，求 tanE ；(3)在(2) 的条件下，作 BAC 的平分线，与 BE 交于点 F，若 AF 2，求 C 的半径解： (1)证明： ABC 90°， ABD 90° DBC. DE 是直径， DBE 90°. E90° BDE. BC CD， DBC BDE. ABD E. BAD DAB ， ABD AEB.10 如图，在 RtABC 及 AB

24、 的延长线相交于点 EF 于点 G，交 O 于点中， ABC 90°， AC 的垂直平分线分别与 AC ，BC D，E，F. O 是 BEF 的外接圆， EBF 的平分线交H，连接 BD ，FH.(1)试判断 BD 与 O 的位置关系，并说明理由；(2)当 AB BE 1 时，求 O 的面积；(3)在(2) 的条件下，求 HG·HB 的值解： (1)直线 BD 与 O相切理由：连接OB. BD 是 Rt ABC 斜边上的中线， DB DC. DBC C. OBOE， OBE OEB.又 OEB CED ， OBE CED. DF AC， CDE 90°. C CE

25、D 90°. DBC OBE 90°.BD 与O 相切(2)连接 AE.在 Rt ABE 中， AB BE 1， AE根号 2. DF 垂直平分 AC ， CE AE 根号 2.BC 1根号 2. C CAB 90°， DFA CAB 90°， ACB DFA.又 CBA FBE 90°，AB BE， CAB FEB.(3)AB BE ， ABE 90°， AEB 45°. EA EC ， C 22.5 °. H BEG CED 90°22.5 ° 67.5 °. BH 平分 CBF ， EBG HBF 45°. BGE BFH 67.5 °.11 如图，在 ACE 中， CA CE ， CAE 30°，O 经过点 C，且圆的直径 AB 在线段 AE 上(1)试说明 CE 是 O 的切线；(2)若 ACE 中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示 O 的直径 AB ；(3)设点 D 是线段 AC 上任意一点 (不含端点)，连接 OD ，当 1/2CD OD 的最小值为 6 时，求