2023课标版（文理）数学高考第一轮专题练习--第十二章概率

1、2023课标版（文理）数学高考第一轮专题练习第十二章概率第一讲随机事件的概率1.2022济南名校联考食用植物油有两种制取工艺:压榨法和浸出法.压榨法由于不涉及添加任何化学物质,榨出的油各种成分保持较为完整,但缺点是出油率低.浸出法制油粕中残油少,出油率高,油料资源得到了充分的利用.我国植物油料种类繁多,而压榨法和浸出法这两种油脂制取工艺分别适用于不同的原料,常见的压榨油有芝麻油、花生油等,常见的浸出油有油菜籽油,大豆油等.现有4个完全相同的不透明油桶里面分别装有芝麻油、花生油、油菜籽油、大豆油,从中任取一桶,则下列两个事件互为对立事件的是 ()A.“取出芝麻油”和“取出花生油”B.“取出浸出油

2、”和“取出大豆油”C.“取出油菜籽油”和“取出大豆油”D.“取出压榨油”和“取出浸出油”2.2021四川二模从存放有编号分别为1,2,3,8的芯片的盒子中,有放回地取1 000次,每次取一张芯片并记下编号.统计结果如下:芯片编号12345678取到的次数127141x110118150123109则取到号码为奇数的频率为 ()A.0.5 B.0.49 C.0.51 D.0.483.2021北京模拟围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中任意取出2粒,都是黑子的概率为17,都是白子的概率为1235,则从中任意取出2粒,恰好是同一色的概率是 ()A.17 B.1235 C.1735 D.14.2020

3、新高考卷某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 ()A.62%B.56%C.46%D.42%5.2022广东六校联考某工厂有四条流水线生产同一种产品,这四条流水线的产量分别占总产量的0.2,0.25,0.3,0.25,这四条流水线的合格率依次为0.95,0.96,0.97,0.98,现在从出厂产品中任取一件,则恰好抽到不合格品的概率是. 6.2021重庆巴蜀中学第二次月考2019年下半年,新一代的无线网络技术WiFi6发布,相比于上一代,WiFi6采用了OF

4、DMA技术,并支持多个终端同时传输,有效提升了传输效率.已知小明使用了支持WiFi6的新路由器,设在某一时刻,家里有n(n0)个设备接入该路由器的概率为P(n),且P(n)=P(0),n=0,P(0)·(13)n,1n3,0,n4,那么没有设备接入的概率P(0)=. 7.根据某省的高考改革方案,考生应在3门理科学科(物理、化学、生物)和3门文科学科(历史、政治、地理)共6门学科中任意选择3门学科参加考试.根据以往统计资料,1位考生选择生物的概率为0.5,选择物理但不选择生物的概率为0.2.(1)求1位考生至少选择生物、物理2门学科中的1门的概率;(2)若某校400名考生中,

5、选择生物但不选择物理的人数为140,求1位考生同时选择生物、物理2门学科的概率.第二讲古典概型与几何概型1.2022福建泉州模拟 九章算术中有一个“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思是:有一个水池一丈见方,池中央有一株类似芦苇的植物,露出水面一尺,若把它引向岸边,正好与水面平齐(如图12-2-1所示),问水有多深,该植物有多长?其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点,则该点取自其水面以上部分的概率为 ()A.110 B.113 C.114 D.115图12-2-12.2022苏州市调研苏州市创建“全国卫生文明城市”活动中,大力加

6、强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃圾”“可回收垃圾”“其他垃圾”三种不同的垃圾桶.一天,居民小王提着上述分好类的垃圾各一袋,随机每桶投一袋,则恰好有一袋垃圾投对的概率为 ()A.49 B.19 C.13 D.123.2022广西名校联考如图12-2-2,六芒星被广泛运用于艺术创作中,它可被看作为两中心重合的正三角形对应边两两平行拼接而成.图中圆为两正三角形的外接圆,阴影部分为正六边形.现有1 000粒豆子随机投入圆中,则落入阴影部分的个数约为(30.551 3) ()图12-2-2A.413B.276C.551D.1844.2021长春市第一次质量监测张老师居住的一条街上,行驶着甲、乙

7、两路公交车,这两路公交车的数目相同,并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校,这两条公交线路对他是一样的,都可以到达学校,甲路公交车的到站时间是6:09,6:19,6:29,6:39,乙路公交车的到站时间是6:00,6:10,6:20,6:30,则张老师乘坐上甲路公交车的概率是 ()A.10%B.50%C.60%D.90%5.2021安徽省示范高中联考在以正五边形ABCDE的顶点为顶点的三角形中,任取一个,是钝角三角形的概率为 ()A.12 B.13 C.14 D.236.2021太原市二模从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取

8、2个数,分别记为m,n,则mn为整数的概率为 ()A.25 B.14 C.15 D.4257.2022甘肃九校联考为全面贯彻党的教育方针,落实立德树人的根本任务,某学校积极推进教学改革,开发了7门校本课程,其中艺术类课程3门,体育类课程4门,王颖同学从7门课程中任选2门,则含有艺术类课程的概率为. 图12-2-38.2022惠州市第二次调研一张方桌有四个座位,A先坐在如图12-2-3所示的座位上, B,C,D三人随机坐到其他三个座位上,则C与D相邻的概率为. 9.2021浙江宁波5月检测设C是半径为R的圆周上的一个定点,在圆周上随机取一点Q,连接CQ得一弦,若M表示“所得弦

9、的长大于圆内接等边三角形的边长”,则P(M)=. 10.2022郑州一模数学家阿基米德建立了这样的理论:“任何由直线与抛物线所围成的弓形,其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四”.如图12-2-4,直线x=1与抛物线y2=2x交于A,B两点,A,B两点在y轴上的射影分别为M,N,从长方形ABNM内任取一点,则该点落在阴影部分的概率为 ()图12-2-4A.13 B.23 C.12 D.3411.2022安徽名校联考2021年7月28日,东京奥运会女子三人篮球赛中国队喜获铜牌.在某次某队的三人篮球传球训练中,主力队员甲、乙、丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个.若由甲开始发

10、球(记为第一次传球),则第四次仍由甲传球的概率是 ()A.14 B.12 C.34 D.1812.原创题已知a,b-2,-1,1,2,若向量m=(a,b),n=(1,1),则向量m与n所成的角不为锐角的概率是 ()A.1316 B.34 C.58 D.91613.2022皖江联考甲、乙两人玩说数字游戏.如果甲说的数字记为a,乙说的数字记为b,且a,b0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.若a,b差的绝对值不超过1,则称甲、乙“心有灵犀”.那么甲、乙“心有灵犀”的概率是 ()A.950 B.15 C.725 D.144514.2022河南模拟与三角函数综合设区间D为3,a,若a-2,则“函数y

11、=cos(2x-3)在D上为减函数”的概率为 ()A.19 B.23 C.29 D.1215.2022江西联考一个多面体的三视图和直观图如图12-2-5所示,M是AB的中点,一只小蜜蜂在几何体ADF-BCE的外接球内自由飞翔,则它飞入四面体FMCE内的概率为 ()(1) (2)图12-2-5A.439B.4327C.33 D.3916.2022安庆开学考试鞋匠刀形是一种特殊的图形,古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多性质.如图12-2-6,若点C为线段AB的三等分点且AC=2CB,分别以线段AB,AC,CB为直径且在AB同侧作半圆,则这三个半圆周所围成的图形称为鞋匠刀形(即图12-2-6中阴影

12、部分).现等可能地从以AB为直径的半圆内任取一点,则该点落在鞋匠刀形内的概率为.  图12-2-617.2021山东泰安5月三模已知大于3的素数只分布在6n-1和6n+1两数列中(其中n为非零自然数).数列6n-1中的合数叫阴性合数,其中的素数叫阴性素数;数列6n+1中的合数叫阳性合数,其中的素数叫阳性素数.则从30以内的素数中任意取出两个,恰好是一个阴性素数、一个阳性素数的概率是. 18.2021吉林五校联考某学校有800名学生,为了解学生对中华人民共和国民法典的认识程度,选取了100名学生进行测试,根据测试成绩制成如图12-2-7所示的频率分布直方图.图12-2-7(1

13、)求m的值;(2)如果抽查的测试平均成绩超过75分,表示该校通过测试,试判断该校能否通过测试;(3)学校想了解一些同学成绩较低的原因,在测试成绩位于5060的学生中随机抽查2名学生询问,若学生A和B的成绩均在5060中,求学生A和B恰有一人被抽到的概率.19.2022惠州一调意大利数学家斐波那契的算盘全书中记载了一个有趣的问题:已知一对兔子每个月可以生一对小兔子,而兔子出生后的第三个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象,那么兔子总对数依次为:1,1,2,3,5,8,13,21,这就是著名的斐波那契数列,它的递推公式是an=an-1+an-2(n3,nN*),其中a1=1,a2=1.若从该数列

14、的前300项中随机地抽取一个数,则这个数是偶数的概率为 ()A.13 B.33100 C.12 D.67100图12-2-820.2021西安高新一中5月模拟如图12-2-8,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的底面圆与鱼缸的上底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机投入一粒鱼食,则鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到的概率是 ()A.1-4B.12 C.4 D.1-12第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差1.2021重庆市第三次调考若随机变量X的分布列如下表所示,且E(X)=0.5,则a,b的值分别是 ()X-1012P0.3ab0.2A.0.

15、1,0.4 B.0.4,0.1 C.0.3,0.2 D.0.2,0.32.2021广东模拟设某项试验的成功率为失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)的值为 ()A.1 B.12 C.13 D.153.一盒中有12个乒乓球,其中9个新球、3个旧球,从盒中任取3个球来用,用完后装回(用过一次的球就是旧球),此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为 ()A.1220B.2755 C.27220D.21554.2019浙江高考设0<a<1.随机变量X的分布列是X0a1P131313则当a在(0,1)内增大时, ()A.D(X)增大 B.D(X)减小

16、C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大5.2021浙江宁波三模老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背,规定至少要背出2篇才能及格.甲同学只能背出其中的6篇,则甲同学能及格的概率为,设抽取的3篇课文中甲能背诵的课文有篇,则随机变量的期望E()为. 6.2022长春市质量监测水立方、国家体育馆、五棵松体育馆、首都体育馆、国家速滑馆是北京2022年冬奥会的比赛场馆.现有8名大学生报名参加冬奥会志愿者比赛场馆服务培训,其中1人在水立方培训,3人在国家体育馆培训,4人在五棵松体育馆培训.(1)若从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训,求所抽调的2人来自不同场馆的概率;(2)若

17、从中一次抽调3名大学生志愿者到首都体育馆培训,要求这3人中来自水立方的人数和来自国家体育馆的人数都不超过来自五棵松体育馆的人数,设从五棵松抽出的人数为,求随机变量的概率分布列及数学期望E().7.2021成都市三诊营造法式是中国北宋时期官方颁布的一部建筑设计与施工的书籍,标志着我国古代建筑技术和工艺发展到了较高水平.中国近代建筑之父梁思成用现代语言和制图方法对该书进行了注释,著有<营造法式>注释.为了让建筑类学生了解古建筑设计与构造的原理,某建筑大学为大三和大四的学生开设了一门选修课程“营造法式及其注释”.为检测学生学习效果,要求所有选修该门课程的学生完成“应用营造法式独立制作一件

18、古建筑模型”的作业.已知选修该门课程的大三与大四学生的人数之比为32,现用分层抽样的方法从所有作业中随机抽取100份(每位学生均上交一份作业),并评出成绩,得到如下频数分布表.成绩/分50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数(不分年级)4x203830频数(大学三年级)3615y12(1)求x,y的值;并估计这100份作业中大三学生作业的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(2)在这100份作业的样本中,从成绩在50,80)的大四学生作业中随机抽取2份,记抽取的这2份作业中成绩在60,70)的份数为X,求X的分布列与数学期望.8.2022长沙雅礼中学模拟

19、小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元.乙方案:底薪140元,每日前55单没有奖励,超过55单的部分每单奖励12元.(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y甲,y乙(单位:元)与送货单数n的函数关系式.图12-3-1(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日均派送单数满足以下条件:在这100天中,派送量指标满足如图12-3-1所示的频率分布直方图,其中当某天的派送量指标在(2(n-1)10,2n10(n=1,2,3,4,5)内时,日平均派送量为(50+2n)单.将频率视为概率,回答下列问题:根据以上

20、数据,设每名派送员的日薪为X(单位:元),试分别求出甲、乙两种方案的日薪X甲,X乙的分布列、期望及方差;结合中的数据,根据统计学的思想帮助小明分析,他选择哪种薪酬方案比较合适?并说明你的理由.(参考数据:0.62=0.36,1.42=1.96,2.62=6.76,3.42=11.56,3.62=12.96,4.62=21.16,15.62=243.36,20.42=416.16,44.42=1 971.36)9.2021江苏模拟五个自然数1,2,3,4,5按照一定的顺序排成一排.(1)求2和4不相邻的概率.(2)定义:若两个数的和为6且相邻,称这两个数为一组“友好数”.随机变量表示上述五个自然

21、数组成的一个排列中“友好数”的组数,求的分布列和数学期望E().10.2021云南曲靖一中6月质检澳大利亚曾发现一颗28.84克拉的钻石原石,如图12-3-2(1),这颗钻石拥有完整的正八面体晶形.如图12-3-2(2),设为随机变量,从棱长为1的正八面体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,=0;当两条棱平行时,的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,=2.图12-3-2(1)求=1的概率;(2)求的分布列,并求的数学期望.第四讲二项分布与正态分布1.2022山西晋南高中联考小李开了两家店铺,每个店铺招收了2名员工,若某节假日每位员工的休假概率均为13,且是否休假互不影响,当一家店铺的员工全

22、部休假,而另一家无人休假,则调剂1人到该店铺,使得该店铺能够正常营业,否则该店铺就停业.则两家店铺该节假日能正常营业的概率为 ()A.19 B.49 C.59 D.892.2022长春市质量监测医用口罩由口罩面体和拉紧带组成,其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质(普通卫生纱布或无纺布),中层为隔离过滤层(超细聚丙烯纤维熔喷材料层),外层为特殊材料抑菌层(无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层).国家质量监督检验标准中,医用口罩的过滤效率是重要的指标,根据长期生产经验,某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤效率XN(0.937 2,0.013 92).有如下命题:甲:P(X0.9)&l

23、t;0.5;乙:X的取值在(0.93,0.943 9)内的概率与在(0.937 2,0.951 1)内的概率相等;丙:P(X<0.9)=P(X>0.974 4);丁:若生产状态正常,记表示一天内抽取的50只口罩中过滤效率大于+2的数量,则P(1)>0.6.(参考数据:若XN(,2)(>0),则P(-<X+)0.682 7,P(-2<X+2)0.954 5,P(-3<X+3)0.997 3;0.98500.364)其中假命题是 () A.甲B.乙C.丙D.丁3.2021苏锡常镇四市联考从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中,不放回地随机抽取两次,每次抽

24、取一张.“在第一次抽到标号是4的条件下,第二次抽到的标号是奇数”的概率为 ()A.35 B.12C.110 D.1124.2022绵阳市二诊已知某科技公司员工发表论文获奖的概率都为p,且各员工发表论文是否获奖相互独立.若X为该公司的6名员工发表论文获奖的人数,D(X)=0.96,E(X)>2,则p=. 5.2022杭州四中模拟甲袋中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙袋中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋,分别以A1,A2和A3表示从甲袋中取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙袋中随机取出一个球,以B表示从乙袋中取出的球是红球的事件.则下列结论正确

25、的是(写出所有正确结论的编号). P(B)=25;P(B|A1)=511;事件B与事件A1相互独立;A1,A2,A3是两两互斥的事件;P(B)的值不能确定,因为它与A1,A2,A3中究竟哪一个发生有关.6.2021江苏南通名校联考人的眼皮单双是由遗传基因决定的,其中显性基因记作A,隐性基因记作a.成对的基因中,只要出现了显性基因A,就一定是双眼皮.人的卷舌与平舌也是由一对基因决定的,分别用B,b表示显性基因、隐性基因,基因对中只要出现了显性基因B,就一定是卷舌的.生物学上已经证明:控制不同性状的遗传因子的分离和组合是互不干扰的.若有一对夫妻,两人的基因都是AaBb,不考虑基因突变,那

26、么他们的孩子是双眼皮且卷舌的概率为. 7.2021长春市第四次质量监测多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一,对物理量进行n次测量,其误差n近似满足nN(0,2n),为使误差n在(-0.5,0.5)的概率不小于0.997 3,则至少要测量次.(若XN(,2),则P(|x-|<3)0.997 3) 8.2020全国卷理甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,

27、另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.9.2021长春市第四次质量监测在某班组织的一次定点投篮比赛中,规定:每人最多投三次,在A处每投中一球得3分,在B处每投中一球得2分,如果前两次得分之和超过3分则停止投篮,否则投第三次.某同学在A处投中的概率为0.25,在B处投中的概率为b,该同学选择先在A处投一球,以后都在B处投.用表示该同学投篮比赛结束后所得的总分,其分布列为02345P0.03p1p2p3p4(1)求b的值;(2)求随机变量的数学期望E().10

28、.2021山东聊城三模2021年3月5日,李克强总理在政府工作报告中提出:扎实做好碳达峰、碳中和各项工作.制定2030年前碳排放达峰行动方案.优化产业结构和能源结构.某环保机器制造商为响应号召,对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器免费保修期后5年内的优惠延保维修方案:方案一:交纳延保金5 000元,在延保的5年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费1 000元.方案二:交纳延保金6 230元,在延保的5年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费t元.制造商为制订收取标准,搜集并整理了200台这种机器超过免费保修期后5年内维修的次数,统计得到下表.维修次数0123机器台数20408060

29、每台机器的维修情况相互独立,以频率估计概率,记X表示2台机器超过免费保修期后5年内共需维修的次数.(1)求X的分布列;(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据,为使选择方案二对客户更合算,应把t定在什么范围?11.2022苏州市调研某学校实行自主招生,参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答,至少答对 3个才能通过初试.已知甲、乙两人参加初试,在这8个试题中甲能答对6个,乙能答对每个试题的概率均为34,且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响.(1)试通过概率计算,分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大;(2)若答对一题得5分,答错或不答得0分,记乙答题的得分为Y,求Y的

30、分布列、数学期望和方差.12.2022广东六校联考甲、乙两队进行篮球比赛,约定赛制如下:谁先赢四场则最终获胜,已知每场比赛甲赢的概率为23,输的概率为13.(1)求甲最终获胜的概率;(2)记最终比赛场次为X,求随机变量X的分布列及数学期望.13.2021重庆市第三次调考新高考改革是中央部署全面深化改革的重大举措之一.为了了解学生对于选择物理学科的倾向,某中学在一次大型考试后,对本年级学生的物理成绩(单位:分)进行分析,随机抽取了300名学生的物理成绩(均在区间50,100内),将抽取的成绩分组为50,60),60,70),70,80),80,90),90,100,得到如图12-4-1所示的频率

31、分布直方图.图12-4-1(1)求这300名学生物理成绩的平均值x与标准差s的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(结果精确到1)(2)已知全年级学生的物理成绩服从正态分布N(,2),其中,分别取(1)中的x,s,现从全年级学生中随机选取一名学生,求其物理成绩在区间(62,95)的概率;(结果精确到0.1)(3)根据(2)的条件,现从全年级学生中随机选取n名学生,若他们的物理成绩都在区间(62,95)的概率不低于1%,求n(n为整数)的最大值.附:lg 20.301,11610.77,若N(,2),则P(-<<+)0.68,P(-2<<+2)0.95.14

32、.2021济南市5月模拟某企业对生产设备进行优化升级,升级后的设备控制系统由2k-1(kN*)个相同的元件组成,每个元件正常工作的概率均为p(0<p<1),各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k个元件正常工作时,设备正常运行,否则设备停止运行,记设备正常运行的概率为pk(例如:p2表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率;p3表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率).(1)若每个元件正常工作的概率p=23.(i)当k=2时,求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望;(ii)计算p3.(2)已知设备升级前,单位时间的产量为a件,每件产品的利润为1元,设备升级后,

33、在正常运行状态下,单位时间的产量是原来的4倍,且出现了高端产品,每件产品成为高端产品的概率为14,每件高端产品的利润是2元.请用pk表示出设备升级后单位时间内的利润y(单位:元),在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下,分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.答 案第十二章概率第一讲随机事件的概率1.D对A,“取出芝麻油”和“取出花生油”是互斥事件,但不是对立事件;对B,“取出浸出油”和“取出大豆油”在一次试验中可能同时发生,不是互斥事件,所以也不是对立事件;对C,“取出油菜籽油”和“取出大豆油”是互斥事件,但不是对立事件;对D,“取出压榨油”和“取出浸出油”在一次试验中不可能同

34、时发生,但至少有一个发生,所以是对立事件.故选D.2.B设取到芯片编号为奇数的次数总和为N1,则N1=1 000-(141+110+150+109)=490,所以取到号码为奇数的频率为4901000=0.49,故选B.3.C设“从中任意取出2粒,都是黑子”为事件A,“从中任意取出2粒,都是白子”为事件B,“从中任意取出2粒,恰好是同一色”为事件C,则C=AB,又事件A与事件B互斥,所以P(C)=P(A)+P(B)=17+1235=1735,即任意取出2粒,恰好是同一色的概率为1735.故选C.4.C记“该中学学生喜欢足球”为事件A ,“该中学学生喜欢游泳”为事件B ,则“该中学学生喜欢足球或游

35、泳”为事件AB,“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB,则P(A)=0.6, P(B)=0.82, P(AB)=0.96,所以P(AB)= P(A)+P(B)-P(AB)=0.6+0.82-0.96=0.46,所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%,故选C.5.0.034由题意,抽到不合格品的概率为0.2×(1-0.95)+0.25×(1-0.96)+0.3×(1-0.97)+0.25×(1-0.98)=0.034.6.2740因为P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(n4)=1,且P(n)=P(0),n=0,P(

36、0)·(13)n,1n3,0,n4,所以P(0)×(1+13+19+127)+0=1,解得P(0)=2740.7.记A表示事件“考生选择生物但不选择物理”,B表示事件“考生同时选择生物和物理”,C表示事件“考生选择物理但不选择生物”,易知A,B,C互斥,则由题可知,P(AB)=0.5,P(C)=0.2.(1)记考生至少选择生物、物理中的一门学科为事件D,则P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=0.5+0.2=0.7.故1位考生至少选择生物、物理2门学科中的1门的概率为0.7.(2)由题可知,P(A)=140400=0.35,则P(B)=P(AB)-P(A)=0.5-0.3

37、5=0.15. 故1位考生同时选择生物、物理2门学科的概率为0.15.第二讲古典概型与几何概型1.B设水深为x尺,则(x+1)2=x2+52,解得x=12,即水深12尺,可得葭长13尺,因此所求概率为P=113.故选B.2.D由题意可得基本事件总数n=A33=6,其中恰好有一袋垃圾投对包含的基本事件数m=C31C11C11=3,所以恰好有一袋垃圾投对的概率P=mn=36=12,故选D.3.B不妨设正六边形的边长为1,则正三角形的边长为3,由正弦定理可得圆的直径2r=332=23,即半径r=3,落在阴影部分的豆子个数为2×1+22×32×(3)2×1 00

38、0=32×1 000276.故选B.4.D张老师在早晨6:00到6:10之间到达车站是等可能的,故张老师在早晨6:00到6:09之间到达车站乘坐上甲路公交车的概率为910=90%,故选D.5.A在正五边形ABCDE的五个顶点中任取三个顶点可以构成的三角形有C53=10(个),其中ABC,BCD,CDE,ADE,ABE这5个三角形是钝角三角形,所以在以正五边形ABCDE的顶点为顶点的三角形中,任取一个是钝角三角形的概率为510=12,故选A.6.B从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取2个数,分别记为m,n,则共有A52=20种等可能的结果,记事件A为“mn为整数”,则事件A所包含的可

39、能结果(m,n)有5种,分别为(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),所以P(A)=520=14,故选B.7.57从7门课程中任选2门,不同的选法有C72=21(种),其中不含艺术类课程的选法有C42=6(种),所以所求概率为1-621=57.8.23B,C,D三人随机坐到其他三个座位上,共有A33=6(种)等可能情况.解法一“C与D相邻”的对立事件是“C与D不相邻”,而要使C与D不相邻,则B必坐在A的对面,此时C与D的坐法共有2种情况.所以根据古典概型的概率计算公式可知C与D相邻的概率为6-26=23.解法二C,D捆绑,有A22种情况,再与B排序有A22种情况,共A22&

40、#215;A22=4(种)情况.所以C与D相邻的概率为46=23.图D 12-2-19.13如图D 12-2-1,以C为一顶点,作圆的内接正三角形ABC,当点Q在劣弧AB上时,总有CQ>CA.试验的全部结果所构成的区域长度是2R,构成事件M的区域长度是2R3,于是P(M)=13.10.A由已知可得A(1,2),B(1,-2),|AB|=22,则长方形ABNM的面积为22,直线x=1与抛物线y2=2x所围成的弓形的面积为43×12×22×1=423,所以阴影部分的面积为22423=223,则所求概率为22322=13.故选A.11.A所有的传球方法:甲乙甲乙,

41、甲乙甲丙,甲乙丙甲,甲乙丙乙,甲丙甲乙,甲丙甲丙,甲丙乙甲,甲丙乙丙,共8种,其中第四次仍由甲传球的方法有2种,所以第四次仍由甲传球的概率为28=14,故选A.12.C设事件M为“向量m与n所成的角不为锐角”,则事件M为“向量m与n所成的角为锐角”.由m·n>0,得满足要求的向量m有(-1,2),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),共6种,又m的取法共有4×4=16(种),所以P(M)=1-616=58.故选C.13.C若a,b差的绝对值不超过1,即|a-b|1,则有|a-b|=1和a=b两种情况.因此对a=0,9各有2种情况,即当a=0时,

42、b=0,1;当a=9时,b=8,9.对a=1,2,3,4,5,6,7,8各有3种情况,即当a=1时,b=0,1,2,当a=2时,b=1,2,3,当a=8时,b=7,8,9.从而甲、乙“心有灵犀”所包含的基本事件数是4+8×3=28.而基本事件总数是10×10=100,所以甲、乙“心有灵犀” 的概率是28100=725.故选C.14.D由2k2x-3+2k,kZ,得6+kx23+k,kZ,所以函数y=cos(2x-3)在6,23,76,53上单调递减.因为a-2,所以只考虑x6,23.所以a(3,23时,y=cos(2x-3)在D上为减函数.所以所求概率为23-3-3=12,

43、故选D.15.D由题中三视图可知该几何体为直三棱柱,且底面为等腰直角三角形(ADF=90°),侧面ABCD,DCEF是边长为a的正方形,侧面ABEF为矩形,所以三棱柱ADF-BCE的外接球的半径R=3a2,(可将三棱柱补形为正方体求外接球半径)所以三棱柱ADF-BCE外接球的体积V=43(3a2)3=32a3.因为VM-FCE=13SFCE·a=13×12a2·a=16a3,所以小蜜蜂飞入四面体FMCE内的概率为VM-FCEV=16a332a3=39,故选D.16.49设AC=2r1,CB=2r2,则AB=2r1+2r2,r1=2r2,于是阴影部分的面积

44、为(r1+r2)22r122r222=r1r2,所以所求概率P=r1r2(r1+r2)22=2r1r2(r1+r2)2=4r22(3r2)2=49.17.1330以内的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,(素数:只能被1和它本身整除的大于1的正整数)其中阴性素数有5,11,17,23,29,共5个,阳性素数有7,13,19,共3个.因此,所求概率P=C51C31C102=13.18.(1)因为(0.004+0.006+0.020+0.030+0.024+m)×10=1,所以解得m=0.016.(2)抽查的测试平均成绩为(0.004×45+0.

45、006×55+0.020×65+0.030×75+0.024×85+0.016×95)×10=76.2,超过75分,所以该校能通过测试.(3)测试成绩位于5060的学生共有0.006×10×100=6(名),故基本事件有C62=15(个),学生A和B恰有一人被抽到的基本事件有C21·C41=8(个),故学生A和B恰有一人被抽到的概率为815.19.A依题意,该数列第1,2项为奇数,第3项为偶数,第4,5项为奇数,第6项为偶数,故可知每相邻3项中有1个偶数,依此规律,该数列的前300项中共有偶数3003=1

46、00(个),因此从该数列的前300项中随机地抽取一个数,这个数是偶数的概率为100300=13,故选A.20.A根据题意,鱼缸上底面正方形的面积S1=22=4,圆锥底面圆的面积S2=×12=.所以鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到的概率P=1-S2S1=1-4.(注意此题为面积型几何概型)故选A.第三讲离散型随机变量及其分布列、均值与方差1.A由分布列的性质和期望公式可知,0.3+a+b+0.2=1,-1×0.3+0×a+1×b+2×0.2=0.5,解得a=0.1,b=0.4,故选A.2.C设该项试验失败的概率为p,则成功的概率为2p,所以X的分

47、布列为X01Pp2p由p+2p=1,得p=13,即P(X=0)=13.故选C.3.C当X=4时,表示从盒中取出的3个球中有2个旧球,1个新球,故P(X=4)=C32C91C123=27220.故选C.4.D由分布列得E(X)=1+a3.D(X)=(1+a3-0)2×13+(1+a3-a)2×13+(1+a3-1)2×13=29(a-12)2+16,(也可用D(X)=E(X2)-E(X)2求D(x)所以当a在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大.故选D.5.2395依题意,可取0,1,2,3,且服从超几何分布.所以P(=k)=C6kC43-kC103(k=0,1

48、,2,3),的分布列为0123P1303101216所以甲同学能及格的概率为P(2)=P(=2)+P(=3)=12+16=23.随机变量的期望E()=0×130+1×310+2×12+3×16=95.(也可直接由超几何分布的期望计算公式E()=nMN求解)6.(1)设A为“从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训,所抽调的2人来自不同场馆”,则P(A)=1-C32+C42C82=1928.(2)由题意知的所有可能取值为1,2,3.当=1时,水立方、国家体育馆、五棵松体育馆各抽1人,共1×C31×C41=12(种)抽法.当=2时,水

49、立方、国家体育馆共1人,五棵松体育馆2人,共C41×C42=24(种)抽法.当=3时,3人都来自五棵松体育馆,共4种抽法.一共有40种抽法,从而P(=1)=1240=310,P(=2)=2440=35,P(=3)=440=110,所以的分布列为123P31035110E()=1×310+2×35+3×110=95.7.(1)由题意知4+x+20+38+30=100,x=8.在这100份作业中,大三学生的作业份数为3+6+15+y+12=36+y,故大四学生的作业份数为64-y.又选修该门课程的大三与大四学生的人数之比为32,36+y64-y=32,解得y

50、=24.故这100份作业中大三学生的作业共60份.设大三学生作业的平均成绩为x,则x=360×55+660×65+1560×75+2460×85+1260×95=81.估计这100份作业中大三学生作业的平均成绩为81分.(2)在这100份作业的样本中,成绩在50,60),60,70),70,80)的大四学生作业份数分别是1,2,5.故成绩在50,80)的大四学生的作业有8份,则X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=C20C62C82=1528,P(X=1)=C21C61C82=37,P(X=2)=C22C60C82=128,随机变量X的分

51、布列为X012P152837128E(X)=0×1528+1×37+2×128=12.8.(1)甲方案:派送员日薪y甲(单位:元)与送货单数n的函数关系式为y甲=100+n,nN.乙方案:派送员日薪y乙(单位:元)与送货单数n的函数关系式为y乙=140,n55,nN,12n-520,n>55,nN.(2)由已知,在这100天中该公司派送员日平均派送单数满足下表:单数5254565860频率0.20.30.20.20.1所以X甲的分布列为X甲152154156158160P0.20.30.20.20.1所以E(X甲)=152×0.2+154×

52、;0.3+156×0.2+158×0.2+160×0.1=155.4,D(X甲)=(152-155.4)2×0.2+(154-155.4)2×0.3+(156-155.4)2×0.2+(158-155.4)2×0.2+(160-155.4)2×0.1=6.44,易知X乙的分布列为X乙140152176200P0.50.20.20.1所以E(X乙)=140×0.5+152×0.2+176×0.2+200×0.1=155.6,D(X乙)=(140-155.6)2×0.5+(152-155.6)2×0.2+(176-155.6)2×0.2+(200-155.6)2×0.1=404.64.答案一:由以上的计算结果可知,E(X甲)与E(X乙)相差不大,但D(X甲)远小于D(X乙), 即甲方案日薪波动相对较小,所以小明应选择甲方案.答案二:由以上的计算结果可以看出,E(X甲)<E(X乙),甲方案日薪期望小于乙方案日薪期望,所以小明应选择乙方案.9.(1