2023新教材数学高考第一轮专题练习--专题十一 二项分布与正态分布专题检测题组

1、2023新高考数学第一轮专题练习11.3二项分布与正态分布一、选择题1.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,4)若随机事件A,B满足P(A)=13,P(B)=12,P(A+B)=34,则P(A|B)=()A.29B.23C.14D.16答案D因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=13+12-34=112,所以P(A|B)=P(AB)P(B)=16,故选D.2.(2022届昆明一中双基检测三,8)某同学从家到学校要经过三个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,该同学在各路口遇到红灯的概率分别为12,13,14,则该同学从家到学校至少遇

2、到一次红灯的概率为()A.124B.1124C.23D.34答案D该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为1-1-12×1-13×1-14=34,故选D.3.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,7)已知随机变量XB(n,p),E(X)=2,D(X)=23,则P(X2)=()A.2027B.23C.1627D.1327答案A由题意知E(X)=np=2,D(X)=np(1-p)=23,联立解得n=3,p=23,所以P(X2)=C32×232×1-23+C33×233=2027,故选A.4.(2022届河南重点中学模拟一,7)2021年国庆节期间,小

3、李报名参加市电视台举办的“爱我祖国”有奖竞答活动,活动分两轮回答问题.第一轮从5个题目中随机选取2个题目回答,若2个回答都正确,则本轮得奖金500元;若仅有1个回答正确,则本轮得奖金200元;若两个回答都不正确,则没有奖金且被淘汰.有资格进入第二轮者,最多回答两个问题,先从5个题目中随机选取1个题目回答,若回答错误,则本轮奖金为零且被淘汰;若回答正确,则本题回答得奖金2 000元,再从剩余4个题目中随机选1个,回答正确,本题得奖金3 000元,回答错误,本题没有奖金.已知小李第一轮5个题目中3个能回答正确,第二轮每个题目回答正确的概率为25(每轮选题相互独立),则小李获得2 500元的概率为(

4、)A.54625B.9125C.18125D.925答案B若小李获得2 500元奖金,则第一轮2个题目回答都正确,第二轮第1个题目回答正确,第2个题目回答错误,所以所求概率为C32C52×25×1-25=9125,故选B.5.(2021安徽宣城调研,8)围棋起源于中国,据先秦典籍世本记载:“尧造围棋,丹朱善之”.围棋至今已有四千多年历史,蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际围棋比赛中,甲、乙两人进入最后决赛.比赛采取五局三胜制,即先胜三局的一方获得比赛冠军(假设没有平局),比赛结束.假设每局比赛乙胜甲的概率都为23,且各局比赛的胜负互不影响,则在不超过4局的比赛中甲获得冠军

5、的概率为()A.19B.1781C.827D.1627答案A在不超过4局的比赛中甲获得冠军包含两种情况:甲前三局全胜,概率为P1=133=127;前三局甲两胜一负,第四局甲胜,概率为P2=C32132×23×13=227.在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为P=P1+P2=127+227=19.6.(2022届长春外国语学校期中,4)已知服从正态分布N(,2)的随机变量在区间(-,+),(-2,+2)和(-3,+3)内取值的概率分别约为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1 000名新生每人定制一套校服,经统计,学生的身高(单位:cm)服从正态分布N(165

6、,52),则适合身高在155175 cm范围内的校服大约要定制()A.683套B.954套C.972套D.997套答案B因为学生的身高(单位:cm)服从正态分布N(165,52),所以=165,=5,身高在155175 cm范围内即在(-2,+2)内,可知概率约为95.4%,所以身高在155175 cm范围内的校服大约要定制1 000×95.4%=954套.故选B.7.(2022届河南部分名校阶段测,10)已知随机变量X,Y,Z满足XN(3,2),YN(1,2),Z=Y-1,且P(X>4)=0.1,则P(Z2<1)的值为()A.0.1B.0.2C.0.8D.0.9答案C因

7、随机变量X,Y满足XN(3,2),YN(1,2),则随机变量X和Y所对应的正态曲线的形状相同,曲线的对称轴分别为直线x=3和x=1,因此,P(Y>2)=P(X>4)=0.1,而Z=Y-1,则P(Z>1)=P(Y-1>1)=P(Y>2)=0.1,于是得P(Z2<1)=P(-1<Z<1)=1-0.1×2=0.8,所以P(Z2<1)的值为0.8.故选C.8.(2021安徽蚌埠二模,6)已知随机变量X服从正态分布N(2,2),且P(X<1)·P(X>3)=19,则P(1<X<2)=()A.16B.14C.

8、13D.12答案A由正态分布XN(2,2)知,对称轴为=2,由对称性,知P(X<1)=P(X>3)=13,则P(1<X<2)=12P(1<X<3)=12×1-13-13=16.9.(多选)(2021山东青岛调研,12)在国家精准扶贫政策的支持下,某农户贷款承包了一个新型温室鲜花大棚,种植销售红玫瑰和白玫瑰,若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(,302)和N(280,402),则下列选项正确的是()附:若随机变量X服从正态分布N(,2),则P(-<X+)0.682 7)A.若红玫瑰日销售量范围在(-30,280的概率是0.68

9、2 7,则红玫瑰日销售量的平均数约为250B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D.白玫瑰日销售量范围在(280,320的概率约为0.341 35答案ABD对于A,由+30=280,得=250,故A正确;对于B和C,越小数据越集中,因为30<40,所以红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中,故B正确,C不正确.对于D,P(280<X320)0.682 7×12=0.341 35,故D正确,故选ABD.二、填空题10.(2021江西九所重点中学联考,13)已知随机变量服从正态分布N(3,2),P(6)=0.84,则P(0)=.

10、0;答案0.16解析由正态分布N(3,2)知,对称轴为=3,由对称性,得P(0)=P(6)=0.84,则P(0)=1-0.84=0.16.11.(2022届成都七中期中,16)已知某品牌电子元件的使用寿命X(单位:天)服从正态分布N(98,64).(1)该品牌一个电子元件的使用寿命超过100天的概率为; (2)由三个该品牌的电子元件组成的一条电路(如图所示)在100天后仍能正常工作(要求K能正常工作,A,B中至少有一个能正常工作,且每个电子元件能否正常工作相互独立)的概率为. (参考公式:若XN(,2),则P(-0.25<X+0.25)0.2)答案(1)25(2)32

11、125解析(1)由题设知=98,=8,P(X>100)=1-P(-0.25<X+0.25)21-0.22=25.(2)由题意知电路能正常工作的概率P=25×25×25+25×1-25×25+25×25×1-25=32125.12.(2022届北京十三中开学考试,14)人们为了解一只股票未来一定时期内价格的变化,往往会去分析影响股票价格的基本因素,比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%.根据经验,人们估计,在利率下调的情况下,该只股票价格上涨的概率为80%,而在利率不变的情况下,其

12、价格上涨的概率为40%,则该只股票将上涨的概率为. 答案64%解析记“利率下调”为事件A,则“利率不变”为事件A,“价格上涨”为事件C,由题意知P(A)=60%,P(A)=40%,P(C|A)=80%,P(C|A)=40%,P(C)=P(A)P(C|A)+P(A)P(C|A)=48%+16%=64%.13.(2021北京十三中开学测试,12)100件产品中有5件次品,不放回地抽取2次,每次抽1件.已知第1次抽出的是次品,则第2次抽出正品的概率是. 答案9599解析在第1次抽到次品后,还有4件次品,95件正品,则第二次抽到正品的概率为P=9599,故答案为9599.三、解答题

13、14.(2021安徽安庆一模,20)某商超为庆祝店庆十周年,准备举办一次有奖促销活动,若顾客一次消费达到400元,则可参加一次抽奖活动,主办方设计了两种抽奖方案:方案:一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球,其中3个红球,9个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球,则顾客获得80元的返金券,若抽到白球,则获得20元的返金券,且顾客有放回地抽取3次.方案:一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球,其中3个红球,9个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球,则顾客获得100元的返金券,若抽到白球,则未中奖,且顾客有放回地抽取3次.(1)现有一位顾

14、客消费了420元,获得一次抽奖机会,试求这位顾客获得180元返金券的概率;(2)如果某顾客获得一次抽奖机会,那么他选择哪种方案更划算?解析(1)在一次抽奖机会的情况下,要想获得180元返金券,只能选择方案,且摸到两次红球,一次白球,而每一次摸到红球的概率P=312=14.设“这位顾客获得180元返金券”为事件A,则P(A)=C3134142=964.故这位顾客获得180元返金券的概率为964.(2)若选择抽奖方案,则每一次摸到红球的概率为14,每一次摸到白球的概率为34.设获得返金券金额为X元,则X可能的取值为60,120,180,240.则P(X=60)=C30343=2764,P(X=12

15、0)=C31141·342=2764,P(X=180)=C3214234=964,P(X=240)=C33143=164.所以选择抽奖方案,该顾客获得返金券金额的数学期望为E(X)=60×2764+120×2764+180×964+240×164=105(元).若选择抽奖方案,设三次摸球的过程中,摸到红球的次数为Y,最终获得返金券的金额为Z元,则YB3,14,故E(Y)=3×14=34.所以选择方案,该顾客获得返金券金额的数学期望为E(Z)=E(100Y)=100×34=75(元),从而有E(X)>E(Z),所以选择方

16、案更划算.15.(2021四川南充重点高中月考,18)为了了解扬州市高中生周末运动时间,随机调查了3 000名学生,统计了他们的周末运动时间,制成如下的频率分布表:周末运动时间t(分钟)30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90人数300600900450450300 (1)从周末运动时间在70,80)的学生中抽取3人,在80,90的学生中抽取2人,现从这5人中随机推荐2人参加体能测试,记推荐的2人中来自70,80)的人数为X,求X的分布列和数学期望;(2)由频率分布表可认为:周末运动时间t服从正态分布N(,2),其中为周末运动时间的平均数t,近似为样本的标准差s,

17、并已求得s14.6.可以用该样本的频率估计总体的概率,现从扬州市所有高中生中随机抽取10名学生,记周末运动时间在(43.9,87.7之外的人数为Y,求P(Y=2)的值.(精确到0.001)参考数据1:当tN(,2)时,P(-<t<+)=0.682 7,P(-2<t<+2)=0.954 5,P(-3<t<+3)=0.997 3.参考数据2:0.818 680.202,0.181 420.033.解析(1)随机变量X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=C30C22C52=110,P(X=1)=C31C21C52=35,P(X=2)=C32C20C52=310,

18、所以X的分布列为X012P11035310所以E(X)=0×110+1×35+2×310=65.(2)=t=13 000×(35×300+45×600+55×900+65×450+75×450+85×300)=58.5,又43.9=58.5-14.6=-,87.7=58.5+14.6×2=+2,所以P(43.9<t87.7)=P(-<t+2)=0.682 7+0.954 52=0.818 6,所以P(t-或t>+2)=1-0.818 6=0.181 4,所以YB(10

19、,0.181 4),所以P(Y=2)=C102×0.181 42×0.818 6845×0.033×0.2020.300.16.(2022届河南许昌一模,19)某省2021年开始全面实施新高考方案.在6门选择性考试科目中,物理、历史这两门科目采用原始分计分;思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分,将每科考生的原始分从高到低划分为A,B,C,D,E共5个等级,各等级人数所占比例分别为15%,35%,35%,13%和2%,并按给定的公式进行转换赋分.该省组织了一次高一年级统一考试,并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋

20、分.(1)某校思想政治学科获得A等级的共有10名学生,其原始分及转换分如表:原始分9190898887858382转换分10099979594918886人数11211211现从这10名学生中随机抽取3名,设这3名学生中思想政治转换分不低于94分的人数为X,求X的分布列和数学期望;(2)假设该省此次高一学生思想政治学科原始分Y服从正态分布N(76.3,25).若YN(,2),令=Y-,则N(0,1).若以此次高一学生思想政治学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分,试估计该划线分为多少分.(结果保留整数,附:若N(0,1),则P(1.04)0.85)解析(1)由题意知这10名学生中思想政

21、治转换分不低于94分的人数为6,低于94分的人数为4,则随机变量X所有可能的取值为0,1,2,3,P(X=0)=C60C43C103=130,P(X=1)=C61C42C103=310,P(X=2)=C62C41C103=12,P(X=3)=C63C40C103=16,则随机变量X的分布列为X0123P1303101216E(X)=0×130+1×310+2×12+3×16=95.(2)设该划线分为m,由YN(76.3,25)得=76.3,=5,则=Y-=Y-76.35,则Y=5+76.3,依题意,P(Ym)=15%+35%+35%=0.85,即P(5+

22、76.3m)=Pm-76.35=0.85,因为当N(0,1)时,P(1.04)0.85,所以P(-1.04)0.85,所以m-76.35=-1.04,故m71.综上,估计该划线分为71分.17.(2022届北京一七一中学10月月考,19)在新冠病毒疫情防控期间,北京市中小学开展了“优化线上教育与学生线下学习相结合”的教育教学实践活动.为了解某区教师对A,B,C,D,E五类线上教育软件的使用情况(每位教师都使用这五类教育软件中的某一类且每位教师只选择一类教育软件),从该区教师中随机抽取了100人,统计数据如下表,其中a>b,a,bN.教育软件类型ABCDE选用的教师人数1015a30b假设所有教师选择使用哪类教育软件相互独立.(1)若某校共有300名教师,试估计该校教师中使用教育软件C或E的人数;(2)从该区教师中随机抽取3人,估计这3人中至少有2人使用教育软件D的概率;(3)设该区有3 000名教师,从中随机抽取1人,记该