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文档简介

1、学霸数学北师大版八年级数学下册导学练重点突出,题型经典学霸数学目录第一章:三角形的证明第二章:不等式第三章:平移、旋转第四章:因式分解第五章:分式及方程第六章:平行四边形轴对称(讲义)?课前预习1 .剪纸艺术源远流长,是中华民族智慧的结晶,为我们的生活添加了别样的色彩.请欣赏以下美丽 的剪纸图片,你发现它们有什么共同的特点?2 .做一做,想一想在纸上画一条线段AB,并将线段对折,思考:(1)折痕两边的线段(填“相等”或“不相等”);(2)折痕与线段AB(填“垂直”或“不垂直”);(3)在折痕上任找一点P,并连接AP, BP,沿着折痕对折,可发现 AP BP (填“>”,“<”或 “

2、=”).3 .如图,OP 平分/AOB, PMLOA 于点 M, PNLOB 于点 N,若 PM=4cm, WJ PN=cm.?知识点睛1 .如果把一个图形沿一条直线折叠后能够与另一个图形完全重合,则称这两个图形 ,这 条直线叫做.2 .如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做 , 这条直线叫做.3 .在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,对应点所连的线段被对称轴 ,对应线段 ,对应角.4 .5 .?精讲精练1 .如图,在10X10勺正方形网格中作图:作出 ABC关于直线l的对称图形 AiBiCi.A+ + + + + + + + T卜峪弋+ + + H-十 4

3、>C/+ + T-+TB +b'1卜丁+*三十+4hl-|-|- + J- + J-|-J-l-!l= + -b + + + + =i=4-H-1L J_ _L _L JL J_L J_ J_J_I2 .作图题:利用网格线,作出 ABC关于直线1的对称图形ABiCi.卜 + + |-=|- -+. -F T it 3 .下列四个图案中,是轴对称图形的有(A. 1个B. 2个 C. 3个 D. 4个4 .如图是用笔尖扎重叠的纸得到的成轴对称的两个图形,则AB的对应线段是, EF的对应线段是, / A的对应角是.连接CE交1于点O,则±,且1A C |O E GNNBD ;

4、FH第4题图第5题图5 .如图,裁剪师傅将一块长方形布料 ABCD沿着AE折叠,使点D落在BC边上的点F处.若/ BAF=60°, WJ/AEF=.6 .如图,先将正方形纸片ABCD对折,折痕为MN,再把点B折叠到折痕MN上,折痕为AE,点B 在MN上的对应点为H,沿AH和DH剪下,这样得到的 ADH中()学霸数学A. AH DH ADC. AH AD DHB. AH DH ADD. AH DH AD7 .已知:如图,在AABC中,/C=90°, AB的垂直平分线 DE交BC于点D,连接AD.若AC=4cm, BC=8 cm,则 ADC的周长为:8 .已知:如图,在 ABC

5、中,DF, EG分别是AB, AC的垂直平分线,且 ADE的周长为32 cm, 贝U BC=.6. B9 .已知:如图,点P关于OA, OB的对称点分别为 C, D,连接CD,交OA于点M,交OB于点N.若 PMN的周长为8,则CD的长为.10 .如图,MD, ME分别为 ABC的边AB, BC的垂直平分线,若 MA=3,求MC的长度.PALON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若 PA=3,则PQ的最11.如图,OP平分/ MON, 小值是:第11题图第12题图12 .已知:如图,在 RtzXABC 中,/ACB=90°, BD 是/ABC 的平分线,DE,AB 于 E,若 CD

6、=3 cm, AB=10 cm,则4 ABD的面积为.13 .已知:如图,在 ABC 中,AD 是/ BAC 的平分线,AB=3 cm, AC=2 cm,则 Saabd: dacd=.C14 .已知:如图,在四边形ABCD中,Z B=BrC=90 DM平分 /ADC, AM 平分/DAB.求证:MB=MC.【参考答案】?课前预习1. 都是左右两边对称的图形。2. (1)相等;(2)垂直;(3)=3. 4?知识点睛1 .成轴对称;对称轴2 .轴对称图形;对称轴3 .垂直平分;相等;相等4 .线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等5 .角平分线上的点到这个角的两边的距离相等?精讲精练1.

7、 略2. 略3. C4. GH; CD; /G; CE; l; OC; OE5. 750学霸数学7. 12cm8. 32cm9. 810. 311. 312. 15cm213. 3: 214. 证明略轴对称(随堂测试)1.如图,在 ABC中,AB=AC, AB的垂直平分线 DE交AC于点E,若 ABC和 EBC的周长分别为60 cm和38 cm,则 ABC的腰长为 底边长为:2.如图,在4ABC中,AD是/ BAC的平分线,点E,F分别在AB,AC边上,且/ DEA+/DFA=180°.求A 证:DE=DF.【思路分析】(1)读题标注:(2)梳理思路:FED从条件出发:看到角平分线考

8、虑角平分线上的点到角两边的距离相等, 可作 2可得题目所求为DE=DF,证明 【过程书写】证明:如图,即可.过程规划:1 .辅助线描述2 .为全等准备三组条件3 .证明 94 .根据全等性质得结论DE=DF【参考答案】1 . 22cm, 16cm2 .思路分析:DM,AB于点 M, DNLAC于点 N, DM=DN & DEM0 ADFN过程规划:1 .辅助线描述2 .为全等准备三组条件/ DME=Z DNF/ DEM=Z DFNDM=DN3 .证明 DEMA DFN4 .根据全等性质得结论 DE=DF轴对称(习题)?例题示范例1:已知:如图,AE平分/ FAC EF±AF,

9、 EG±AC,垂足分别为点F,G, DE是BC的垂直平分线.求证:BF=CG.【思路分析】 读题标注: 从条件出发,看到角平分线考虑“角平分线上的点到角两边的距离相等”±AF, EG±AC,可得 EF=EG,结合题目其他条件,EF“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”,因此连接BE, CE (如图所看到垂直平分线考虑示),得到BE=CE题目所求为BF=CG,证明 BE售 ACEGJgPW.【过程书写】证明:如图,连接BE,CE. AE平分/FAC EF±AF, EG±AC EF=EGv DE是BC的垂直平分线BE=CEv EF±

10、AF, EG± AC ./ BFE=/CGE=90°过程规划:1 .辅助线描述2 .为全等准备两个条件 EF=EG BE=CE3,证明 RBE阵 RtA CEG4.根据全等性质得结论BF=CG第4题图6.在 RtABEF?口 RtACEGBE CE (已证)EF EG (已证) RtA BE售 RtACECG (HL.). BF=CG (全等三角形对应边相等)?巩固练习1 .下列是轴对称图形的是()®®©A.B.C.D.2 . 一个风筝的设计图如图所示,其主体部分(四边形ABCD关于线段BD所在的直线对称,AC与BD相交于点O,且ABw AD,

11、则下列判断错误的是()A. zABgACBDAB. AABCAADCtC. AAOEACOBODD. AAODACODB3 .已知:如图,在 RtAABC中,/ C=90°,点E在CC边上,将 ABC沿BE折叠,点C恰好落在AB 边上的点D处.若/ A=30°,则/ BED=:口第3题图4 .已知:如图,/ AOB=40°,若CD是OA的垂直平分线,则ZACB=:5 .如图,在RtA ABC中,/C=90°. BD平分/ ABC 交AC于点D, DE垂直平分AB,垂足为点E.若DE+BD=3cm,则 AC=cm已知:如图,在 ABC中,AB=AC, DE

12、垂直平分AB,交AC于点E,垂足为 点 D.若 BE+CE=12, BC=8,则 ABC的周长为:学霸数学7 .作图题:利用网格线,作出 ABC关于直线DE对称的图形 AiBiCi.丁 + + + + + +_1_ F+'+-+-+-+-HH + + + + + + +_!_ 1 fl I I I 11 I I _x_ T+ + +_!_ r Li F卜卜卜卜卜L - -L + + +J-: S- 4+ -I+ + + +_1_ . + + + +_ + + +_!_ A,+ + +_1_ rLIFLTPLILILILDE8 .已知:如图,P为/ABC内一点,请在 AB, BC边上各取

13、一点 M, N, 使4PMN的周长最小.9 .已知:如图,CD垂直平分线段AB, E是CD上一点,分别连接AC, BC, AE,BE.求证:/ CAE=Z CBE10 .已知:如图,在4ABC中,/ABC的平分线与/ ACB的平分线相交于点 O. OD ±AB, OE± AC,垂足分别为点 D, E.求证:OD=OEAEB11 .已知:如图,在锐角三角形 ABC中,AD, CE分别是BC, AB边上的 高,垂足分别为点 D, E, AD与CE相交于点O,连接OB, / OBC= /OBA 求证:OA=OC.学霸数学? 思考小结1 .轴对称的思考层次: 全等变换:对应边?对应

14、角: 对应点:对应点所连线段被对称轴 对称轴上的点到对应点的距离:应用:奶站问题等.如图,在直线l上找一点P,使得在直线同侧的点 A, B到点P的距离之和AP+BP最小.BA.【参考答案】? 巩固练习1. B2. B3. 60°4. 80°5. 36. 327. 作图略8. 作点P关于BA的对称点Oi,作点P关于BC的对称点O2,连接OiO2,分别交BA, BC于点M , N, 此时 PMN的周长最小.9. 证明略提示:利用线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,得出AC=BC, AE=BE再证明 4CA/ ACBE10. 证明略提示:过点。作OF, BC于点F,

15、角平分线上的点到角两边的距离相等可得结论11. 证明略提示:利用角平分线上的点到这个角的两边的距离相等,得出OD=OE,再证明 COEAAOE? 思考小结1 .相等、相等垂直平分;相等作点A关于街道的对称点A1,连接A1B交街道于点P,则点P即为满足条件的点等腰三角形(讲义)?知识点睛1. 的三角形叫做等腰三角形.2 .等腰三角形是图形.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“:),它们所在的直线都是等腰三角形的 .3 . 等腰三角形的两个底角,简称如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边也 ,简称:4 .三边都 的三角形是等边三角形.等边三角形三边都相等,三个内角都是

16、 .5 . “三线合一”模块书写:已知:如图,在 ABC中,AB=AC, AD平分/ BAC且交BC于点D.求证:BD=CD.?精讲精练1 .在下面的等腰三角形中,/ A是顶角,请分别将它们底角的度数标注在相应的图上.2 .如图,在4ACD 中,AD=BD=BC,若/C=25°, WJ/ADB=.3 .如图,在 ABC 中,AB=AC, BD 平分/ ABC, BD=BE, ZA=10O°, WJ/DEC=.4 .如图,在等腰三角形 ABC中,AB=AC, D为边BC上一点,CD=AC, AD=BD,贝叱 BAC=.5 .如图,在 ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点

17、E在AC上, AD=AE,若/ BAD=50°,贝叱 CDE=.B DC6 .如图,在 ABC中,已知AB=AC, ADLBC于点D,过点D作DE /AB 交 AC 于点 E.求证:AE=ED.A学霸数学7 .已知:如图,在4ABC中,AB=AC,点D在4ABC外,CDXAD1.于点 D, CD -BC ,求证:/ ACD=/B.28 .已知:如图, ABC是等边三角形,D是BC的中点,DFLAC于F,延 长DF至I E,使EF=DF,连接AE.求/ E的度数.9 .若等腰三角形的周长为13cm,其中一边长为3 cm,则该等腰三角形的底边长为 10 .若等腰三角形的一个内角为40&#

18、176;,则此等腰三角形的顶角为 :11 .若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40。,则此等腰三角形的顶角为12 .已知:如图,线段AB的端点A在直线l上(AB与l不垂直),请在直线l上另找一点C,使4ABC 是等腰三角形.这样的点能找几个?请你找出所有符合条件的点.13 .已知:如图,线段AB的端点A在直线l上,AB与l的夹角为60°,请在直线l上另找一点C,使 ABC是等腰三角形.这样的点能找几个?请你找出所有符合条件的点.【参考答案】?课前预习1. (1)二;(2) ±(3)=2. 18 或 21?知识点睛1 .有两边相等2 .轴对称;三线合一;对称

19、轴3 .相等;等边对等角; 相等;等角对等边4 .相等;60°5 .证明:如图,. AB=AC; AD 平分 / BAC.D为BC的中点(等腰三角形三线合一)BD=CD?精讲精练1. 60° 60° 45° 45° 36° 36°2. 8003. 100°4. 108°5. 256. 证明略提示:根据等腰三角形三线合一可得/ BAD=ZCAD,再由平行可以得到/ CAD=Z BAD=/ ADE,从 而 AE=DE7. 证明略提示:过点A作AE± BC于点E,根据等腰三角形三线合一可得 BE=CD

20、,再证 AB® zACD即可.8. /E=60°提示:连接AD,利用垂直平分线定理得 AD=AE,从而/ E=/ADE9. 3cm10. 40°或 100°11. 50°或 130°12. 这样的点能找4个;作图略13. 这样的点能找2个;作图略等腰三角形(随堂测试)1.如图,在 ABC中,D为AC边点,且 AD=BD=BC.若/A=40°, WJ/DBC=DCAB2 .已知等腰三角形的周长为28 cm,其中一边长为10 cm,则该等腰三角形的底边长为.3 .已知:如图,在 ABC中,E为BC边上一点,连接AE, D为AE的

21、 中点,连接 BD, /BAD=/EAC+/C.求证:ADXBD.【参考答案】1. 20 °2. 10cm 或 8cm3. 证明略提示:利用外角可以得到/ AEB=/BAD,根据等角对等边,得BA=BE,因为D是AE的中点,利 用等腰三角形三线合一,可以得到 ADXBD等腰三角形(习题)? 例题示范例1:如图,在4ABC中,AB=AC,点D在 ABC外,CDLAD于点D, CD1BC .求证:/ACD= 2/ B.【思路分析】由条件CD可尝试取BC的中点E,此时结合等腰构造三线合一的线 AE,如图所示.读题标注:过程规划:1 .辅助线描述2 .说明三线合一3,证明 AB电 ACD4

22、.根据全等性质得结论/ ACD=ZB要证/ACD=/ B,可以证明 AB® AACD【过程书写】 证明:如图,取 .E是BC的中点1八 BE -BC21CD - BC2BE=CDv AB=AC, E是BC的中点 AE± BC丁. / AEB=90°v CD± AD . / D=90° ./AEB=/D=90°在 RtA ABE和 RtAACD中AB AC(已知)BE CD(已证) RtAAB® RtAACD (HD ./ACD=/B例2:等腰三角形的周长为12cm,其中一边长为5cm,则该等腰三角形的底边长为 cm.【思路分

23、析】 等腰三角形一边长为5cm,这一边可能是底,也可能是腰,故需分类讨论: 如果5cm为底,则根据周长为12cm,可知腰长为3.5cm.此时两边之和大于第三边,这个三角形存在.如果5cm为腰,则根据周长为12cm,可知底边长为2cm.此时两 边之和大于第三边,这个三角形存在.综上,该等腰三角形的底边长为 5cm或2cm.?巩固练习1 .已知:如图,在 ABC中,AB=AC, /A=80°,求/ C的度数.2.3.4.5.如图,在 ABC 中,AB=AC, BE/AC, /BDE=100°, /BAD=70°,则/E=.DC已知:如图,在 ABC中,AB=AC, D

24、为AB边上一点,若 CD=AD=BC, 贝 U / A=.如图,在 ABC中,/ ABC的平分线和/ ACB的平分线相交于点E,过点 E作MN / BC,交AB于点M,交AC于点N.若BM+CN=9,则线段 MN 的长为()A. 6B. 7C. 8D. 9已知:如图,在4ABC中,AB=AC, AD是BC边上的中线,点P在AD上.求 证:PB=PC.6 .已知:如图,B, D, E, C在同一直线上,AB=AC, AD=AE.求证:BD=CE.7 .已知等腰三角形的两边长分别为 4和8,则该等腰三角形的周长为8 .若等腰三角形的一个角比另一个角大 30°,则该等腰三角形的顶角的度数为

25、 :9 .已知:如图,线段AB的端点A在直线l上,AB与l的夹角是30°,请在直线l上另找一点C,使 ABC是等腰三角形.这样的点能找几个?请找出所有符合条件的点.? 思考小结1 .要证明边相等或角相等,可以考虑两种思路: 如果边或者角在两个三角形里面,则证明两个三角形 ; 如果边或角在一个三角形里面,证明三角形是 三角形.2 .将两个含30°角的三角板如图放置,则4ABD是 三角形(“等腰”或“等边”)、故ABBD、BC=BD,所以BC=AB,从而得到对于含有30°角的直角三角形,30°角所对的直角边是斜 边的.BC【参考答案】? 巩固练习1. 50&

26、#176;2. 5003. 36°4. D5. 证明略提示:利用等腰三角形三线合一的性质,得 AD垂直平分BC,从而得到PB=PC6. 证明略提示:根据等边对等角可得/ B=/C, /ADE=/ AED,进而可得/ BAD=/CAE从而证明 ABgACE根据全等三角形对应边相等,可得 BD=CE7. 208. 80°或 40°9. 这样的点能找4个,作图略? 思考小结1 .全等等腰1. 直角三角形两锐角,且任一直角边长小于直角三角形性质应用(讲义)一、知识点睛2 .勾股定理:直角三角形两直角边的 等于斜边的 勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足, 那么

27、这个三角形是 三角形.3 .直角三角形斜边上的中线等于 ;如果一个三角形,那么这个三4 .30°角所对的直角边是;CBCm在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么 这条直角边所对的锐角等于 .5.常用直角三角形的三边关系216.等面积法c ab=ch1.、精讲精练下图是用4个全等的直角三角形与1大正方形面积为49,小正方形面积为个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知4,若用x, y表示直角三角形的两直角边(x>y),下列四个说法: x2+y2=49,x-y=2,2xy+4=49,x+y=9.其中说法正确的是()A.B.C.D.2.如图,在正方形 ABCD中,E是DC的中

28、点,F为BC上的一点且BC=4CF, 说明AAEF是直角三角形.3.如图, ACB和4ECD都是等腰直角三角形,/ ACB二 /ECD=90°, D 为 AB 边上一点,求证:AD2+DB2=DE2.4.在 ABC 中,AB=15, AC=13,高 AD=12,则 ABC 的周长是5.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点, 分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的直角梯形,其中三边长分别为2、4、3,则原直角三角形纸片的斜边长是()A. 10C 10或4而B. 4拆D. 10或2万76 .直角三角形斜边上的中线长是 6.5, 一条直角边长是5 角边长等于

29、()A. 13 B. 12 C. 10 D. 57 .如图,在 ABC 中,/ACB=90°, /ABC=60°, BD 斗 /ABC, P点是BD的中点,若 AD=6,则CP的长为A. 3B. 3.5C. 4D. 4.58 . AABC周长是 24, M 是 AB的中点,MC=MA=5, 是.9 .如图, ABC和ADCE都是边长为4的等边三角形, 一条直线上,连接BD,则BD的长为()A. 33B. 26C. 36D. 4相10 .如图,四边形 ABCD 中,/ DAB=/DCB=90°,点 M、 中点.MN、AC的位置关系如何?证明你的猜想.,则另一直BA则

30、AABC的面积AD点 B、C、E 在同BCEDN分别是BD、AC的11.如图,在 RtAABC 中,AC*B,±AB,垂足分别为E、F、则图匚AAAD是斜边BC上的高,DEXAC, DF/中与/ C (除/ C外)相等的角的个数/".是()A. 2B. 3C. 4D. 512 .如图,已知 DE=m, BC=n, / EB 化13 .在AABC 中,/C=90° , AB=6, 可能是()A. 3.5B. 4.2C. 5.814 .如图,在 RtABC 中,/A=30°,个、/BC与/DCB互余,求BD2+CE2的 BC力占一 AK/B=30 ,点P是B

31、C边上的动点,则 AP长不E;、干DKDE垂直平分斜边AC,父AB于D, E是垂足,口CB连接CD,若BD=1,则AC的长是(A. 2石B. 2C. 4"D. 415.某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的 ABC空地上种植草皮以美化环境,已知/ A=150°,这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要A. 300a 元C. 450a 元B. 150a元D. 225a元16.D放风筝是大家喜爱的一种运动.星期天的上午小明在绿城广场上放风筝, 如图他在A处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上,风筝固定在了 D处, 此时风筝线AD与水平线的夹角为30°.为了便于观

32、察,小明迅速向前边 移动边收线到达了离A处6米的B处,此时风筝线BD与水平线的夹角为 45°.已知点A、B、C在同一条直线上,/ ACD=90°.求DC的长度.17.已知,在4ABC 中,/A=45° , AC=V2 , AB=V3+1,则边 BC 的长18.在 RtzXABC 中,/C=90°,AC=9,BC=12,则点 C 到 AB 的距离是(a. 36 5C. 94B.任25D还419.如图所示,等边 ABC内一点P到三边距离分别为h1,h2,h3,且h+h2+h3=3,其中PD=h1,PE=h2, PF=h3,则 ABC 的面积 Smbc=(A.

33、 2芯B, 373C. 103D. 1273P,20.如图, ABC中,/C=90°,两直角边AC=8, BC=6,在三角形内有一点 它到各边的距离相等,则这个距离是()A. 1B. 2C. 3D.无法确定21.在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是 Si、S2、及、S4,则Sl+S2+S3+S4=.l22.如图, ABC中,/ ACB=90°,点E为AB的中点,点D在BC上,且AD=BD, AD、CE相交于点F,若/ B=20° ,则/ DFE等于(A. 70°B. 60

34、C. 50°D. 4023.在锐角4ABC中,/BAC=60°, BN、CM为高,P为BC的中点,连 接 MN、MP、NP,贝U结论:NP=MP;当/ ABC=60°时,MN / BC; BN=2AN; AN : AB= AM : AC , 一定正确的有()A. 1个B, 2个C. 3个D. 4个三、回顾与思考【参考答案】一、 知识点睛1.互余,斜边长2.平方和,平方,a 2+b2=c2,直角3 .斜边的一半,一边上的中线等于这边的一半4 .斜边的一半,300二、精讲精练1. B 2.(略)3.(略)4.42 或 325.C6.B7. A8.24±AC,

35、证明(略)11. B12. m2+n 证明(略)13. D14. A16. 8m,求解(略)17. 218. A 19. B 20. B9.D10. MN15. B21. 422. B23. CAEPBFC CDA. 6B. 6 3 C. 8D. 4 3B直角三角形性质应用(随堂测试)1 .如图,将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3cm的纸带边 沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一 边所在的直线成300角,求三角板的最大边的长是多少.2 .如图,已知P是边长为2的等边三角形ABC内的一个动点,如果PE,AB于E, PF1BC于 F, PD,AC

36、T D,求 PD+PE+P的化3.如图是一副三角板拼成的四边形 ABCD E为斜边BD的中点,求/ACE 的度数.【参考答案】1. 6 2cm 2.33. 15直角三角形性质应用(作业)1 .如图,在RtAABC中,/ACB=90°, AB的垂直平分线DE交BC的延长线 于 F,若 / F=30°, DE=1, WJ EF的长是()A. 3B. 2C. .3 D. 12 .如图,在 ABC中,CF±AB于 F, BE!AC于 E, M 为 BC的中点,EF=7,BC=10,则4£5乂的周长是()A. 17B. 21C. 24D. 273 .如图, ABC

37、为等边三角形,D为BC边上一点,DEL AB于点E, DF± AC 于点F, DE+DF=3,则 ABC的周长为()4 .如图所示,在 RtAABC中,/C= 90°, / A= 30°, BD是 /ABC的平分线,CD= 5cm,则 AB=:5 .将一副三角尺如图所示叠放在一起, 若AB=14cm,则阴影部分的面 积是 cnf.6 .如图,在矩形 ABCD中,AB> AD, AB=4, AN 平分/ DAB, DM LAN, 垂足为M, CNJ±AN,垂足为N,则DM+CN=.第5题图第6题图7 .如图,AB=AC, DEL AB 于 E, DF

38、± AC 于 F, 7BAC=120°, BC=6cm, 贝U DE+DF=.8 .如图所示, ABC中,CE平分/ ACB交AB于E,过E作 EF/ BC交/ACD的平分线于 F, EF交AC于M,若CM=5,则 CS+Cf2=:BC D9 .如图,在四边形 ABCD中,AB=8, BC=1, / DAB=30°, /ABC=60°,四边形ABCD的面积为5奔,求AD的长.10 .已知等边 ABC和点P,设点P到4ABC三边AB、AC、BC的距离分别是hi、h2、h3, 4ABC的高 为h,若点P在边BC上(图1),此时h3=0,可得结论hi+h2+h

39、3=h,请你探索以下问题:F当点P在4ABC内(图2)和点P在4ABC外(图3)这两种情况时,hi、h2、h3与h之间有怎样 的关系?请写出你的猜想,并简要说明理由.图1图2图35.4296. 2.2【参考答案】 1. B 2. A 3. B 4. 10,3 cm7. 38. 1009. 2 310.(图 2) h1+h2+h3=h ,(图 3) h1+h2 h3=h与直角有关的折叠、旋转(讲义)一、知识点睛1 .将直角三角形的性质有序地梳理打包,就明确了直角特征常见的思考角度.与直角有关的折叠、 旋转问题,往往需要借助折叠、旋转转移条件,然后围绕直角特征的使用去组合、搭配.2 .折叠与旋转都

40、是,变换前后: 都相等,从而实现条件的转移.旋转过程中,对应点到旋转中心的距离相等,旋转出现 ;同样的, 如果基本图形能够提供 (如等边三角形、等腰直角三角形等),可以考虑利用旋转 思想解决问题.二、精讲精练1.把一张矩形纸片ABCD按如图所示方式折叠,使顶点 B和顶点D重合,折痕是EF.若BF=4, CF=2, WJ/DEF=.第1题图2.3.4.CG如图,已知在矩形 ABCD中,点E在边BC上,BE=2CE,将矩 形沿着过点E的直线翻折后,点C, D分别落在边BC下方的点 C', D处,且点C', D', B在同一条直线上,折痕与边 AD交于 点F, DF与BE交于

41、点 G.设AB=t,那么 EFG的周长为 (用含t的代数式表示).如图,CD是RtAABC斜边AB上的高,将 BCD沿CD折叠, B点恰好落在AB的中点E处,则/A=.如图,在矩形ABCD中,点E是边CD的中点,将 ADE沿AE折叠后得到 AFE,且点F在矩形ABCD内部.将AF延长交边BC于点G .若CG 1 ,则幽(用含k的代数式表GB k AB 示).5 .动手操作:在矩形纸片 ABCD中,AB=3, AD=5.如图所示,折叠纸片,使点 A落在BC边上的 A处,折痕为PQ,当点A在BC边上移动时,折痕的端点P, Q也随之移动.若限定点P, Q分 别在AB, AD边上移动,则点A在BC边上

42、可移动的最大距离为 .6 .如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜, 此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm (玻璃杯厚度忽略不计)蚂蚁AC蜂蜜7 .如图,把RtABC绕点A逆时针旋转40°,得到RtzXAB'C;点C恰好落在边AB上,连接BB; 则 / BBC=.8 .把一副三角板如图 1 放置,其中/ ACB=/DEC=90°, /A=45°, /D=30°,斜边 AB=6, DC=7, 把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到

43、DiCEi (如图2),此时AB与CDi交于点O,与DiEi交于点F,连接ADi,则线段ADi的长为(图29 .如图,在 RtABC 中,/C=90°, /B=50°,点 D 在边 BC 上,BD=2CD.把 ABC 绕着点 D 逆时针旋转m (0<m<180)度后,如果点B恰好落在初始RtAABC的边上,那么m=10.探究:如图 1,在四边形 ABCD 中,/ BAD=/BCD=90°, AB=AD, AELCD 于点 E.若 AE=10,则四边形ABCD的面积为.应用:如图 2,在四边形 ABCD 中,/ABC+/ADC=180°, AB

44、=AD, AELBC 于点 E.若 AE=19,BC=10, CD=6,则四边形ABCD的面积为:学霸数学11 .如图,P是等边三角形ABC内一点,AP=3, BP=4, CP=5,求/APB的度数.12 .如图,P是正方形ABCD内一点,且PA=1, PB=2,PC=3.求/APB的度数.【参考答案】一、知识点睛2,全等变换,对应边、对应角,等腰三角形;等线段共点.二、精讲精练1. 60°2. 2石t3. 30025. 26. 157. 200学霸数学8. B9. 80或 12010. 100; 15211. 150°12. 135°与直角有关的折叠、旋转(随堂

45、测试)1 .如图,将矩形纸片ABCD对折,得折痕MN,展开后再沿过点A的直线折叠,使点B落在MN上, 得折痕AE.若AB 事,则折痕AE的长为.第1题图第2题图2 .如图,两块相同的三角板完全重合在一起,/ A=30°, AC=10,把上面一块绕直角顶点 B逆时针 旋转到BC勺位置,若点C'在AC上,A Cf AB相交于点D,则C'庐:【参考答案】2.与直角有关的折叠、旋转(作业)例 1:如图,在 RtzXABC 中,/ACB=90°, / ABC=30°, AC=1,将 ABC 绕点 C 逆时针旋转至 ABC, 使得点A恰好落在AB上,连接BB

46、;则BB'的长为.例2:将矩形纸片ABCD按如图所示方式折叠,AE, EF 为折痕,/ BAE=30° , AB=V3 ,折叠后,点C落在AD边上的C1处,并且点B落在EC1边上的B1处,则BC的长为(A. 3B. 2C. 3D. 2 3例 1:如图,在 RtzXABC 中,/ACB=90°, / ABC=30°, AC=1,将 ABC 绕点 C 逆时针旋转至 ABC, 使得点A'恰好落在AB上,连接BB',则BB'的长为.【思路分析】1 .在 RtzXABC 中,由/ABC=30°, AC=1 得,BC=V3 , /A=

47、60°2 .由旋转可得,/ ACA' ABCB, AC=AC, BC=BC;3 .由A'C=AC, /A=60°可得, AC A'是等边三角形,故 /BCB=/ACA' =60°4 .由/BCB=60°, BC=BC可得, BCB是等边三角形,故 BB' =C=而.例2:将矩形纸片ABCD按如图所示方式折叠,AE, EF为折痕,/ BAE=30° , AB=V3 ,折叠后,点C落在AD边上的Ci处,并且点B落在ECi边上的Bi处,则BC的长为()A. 、3B. 2C. 3 D. 2 .3ACi D【思路分

48、析】1 .在 RtABE中,由/ BAE=30°, AB=73得,BE=1, AE=2;2 .由矩形折叠得, AEC是等腰三角形;3 .由/EAC=60彳马,4EAC是等边三角形,EC= AE=2;4 .由折叠得,EC=EG=2,所以 BC=BE+EC=3.1 .如图,在矩形ABCD中,E是AD的中点,将 ABE沿BE折叠后得到 GBE,延长BG交CD于点F.若CF=1, FD=2,则BC的长为(A. 3应B. 246C. 245D. 243第1题图第2题图2 .如图,将矩形ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH .若AB=6cm, / EFH=30&#

49、176;, WJ边 AD 的长是.3 .如图,在正方形纸片ABCD中,E, F分别是AD, BC的中点,沿过点B的直线折叠,使点C落在EF上,落点为N,折痕交CD边于点M,BM与EF交于点P,再展开.有下列结论:CM=DM ; / ABN=30° AB2A. 1个 B. 2个3CM2;4PMN是等边三角形.其中正确的有(C. 3个 D. 4个角边的中点A=30°,BD: DC=2:B的对应点段BO以点B第3题图第4题图4 .如图,两块完全一样的含30°角的三角板重叠在一起,若绕长直 M转动,使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点,/ AC=10,则此时 CC =

50、.5 .如图,在 RtAABC 中,/ C=90°, / B=70°,点 D 在边 BC 上, 展.将线段DB绕点D逆时针旋转m (0<m<180)度后,若点 恰好落在 ABC的边上,则 m=:6 .如图,O是等边三角形ABC内一点,OA=3, OB=4, OC=5,将线为旋转中心逆时针旋转60°得至IJ线段BO,连接AO.有下列结论:BO A可以由ABOC绕点B逆时针旋转60彳马到;点。与点。'的距离为4;/AOB=150°S四边形aobo=6 3/3;&aoc+Saob=6 V3 ,其中正确结论的序号是 47 .如图,有一

51、个长方体透明玻璃鱼缸,假设其长 AD=80cm,高AB=60cm,水深为AE=40cm,在水面上紧贴内壁 G处有一鱼饵,G在水面线EF上,且EG=60cm; 一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵.(1)小虫应该怎样走才能使爬行的路线最短呢?请你画出它爬行的最短路线示意图.(2)求小虫爬行的最短路线长.8 .如图,在四边形 ABCD 中,/ BAD=/BCD=90°, AB=AD.若 边形ABCD的面积为24,求AC的长.【参考答案】1. B2. 4 6 cm3. C4. 55. 40 或 1506. 7. (1)略;(2) 100 cm8. 40一元一次不等式(组)基础(讲

52、义)一、知识点睛1.连接的式子叫做不等式.一叫3.,也叫;y叫一也叫.不等式三个基本性质:不等式的两边都加上(或减去)同一个,不等号的方向不等式的两边都乘以(或除以)同一个,不等号的方向不等式的两边都乘以(或除以)同一个,不等号的方向2.不等式的解与不等式的解集.理解不等式的概念:用符号 叫做不等式的解;组成这个不等式的解集叫做解不等式.不等式的解集可以在数轴学霸数学上表示,需注意的区别.4. 一元一次不等式:不等式的左右两边都是 ,只含有一个,并且未知数的最高次 数是1,像这样的不等式,叫做一元一次不等式.5. 一元一次不等式组及其解法.一般地,就组成了一个一元一次不等式组.2 叫做这个不等

53、式组的解 集.,叫做解不等式组.二、精讲精练1 . a的5倍与3的差不小于10,用不等式表示为 :2 .篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分.某队预计在20122013 赛季全部32场比赛中至少得到48分,才有希望进入季后赛.假设这个队在将要举行的比赛中胜 x场,x应满足的关系式是.3 .判断正误.1) 2<3;()2)由 2x> 6,得 x< 3;()3) 由 ac>bc,且 cwQ 得a>b;()4)如果 a<b<0,则 a<1 .()b4 .已知a>b, cwQ则下列关系一定成立的是()a bA. ac>bcB. > 一c cC. c a>c bD. c a>c b5 . x 2不等式x 3>4的解(填“是”或“不是”).6 .关于x的不等式x a<0的解集如图所示,则a .JI I , IJ5432 10 1 234 57 .若关于x的不等式3m 2x<5的解集是x>2,则m=.8 .不等式x & 1的非负整数解是 ;不等式x > 1的最小整数解是 .9 .解下列不等式,并把它们的解集分别表示在数轴上

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