二阶非齐次方程的解法

1、02 qprr),(0为常数为常数qpqyypy 复习复习 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 0)()( yxqyxpy2211yCyCy 通通解解为为：)()()(xfyxqyxpy *2211yyCyCy 通通解解为为：)(xfqyypy 对应齐次方程对应齐次方程, 0 qyypy通解结构通解结构*,*2211yyCyCyyYy 即即f(x)常见类型常见类型),(xPm,)(xmexP ,cos)(xexPxm ,sin)(x

2、exPxm 难点难点：如何求特解如何求特解y*？方法方法：待定系数法待定系数法.二阶常系数非齐次线性方程的解法二阶常系数非齐次线性方程的解法02 qprr(P,q为常数为常数)设非齐方程特解为设非齐方程特解为xexQy )(* 代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ),()(xQxQm 可可设设是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可设可设;)(*xmexQy ;)(*xmexxQy )()(xPexfmx 一、一、 型型是特征方程

3、的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可可设设综上讨论：非齐次方程综上讨论：非齐次方程,)(*xQexymxk 是是特特征征重重根根是是特特征征单单根根不不是是特特征征根根 2,10k.)(*2xmexQxy qyypy)(xPemx 的通解的通解y*可以设为：可以设为：特别地特别地xAeqyypy xkeBxy *B是待定常数是待定常数特别地特别地)(xPqyypym )(*xQxymk 0020, 0,01000qppqqk即即是重根是重根即即是单根是单根即即不是根不是根（A是常数）是常数） 是是特特征征重重根根是是特特征征单单根根不

4、不是是特特征征根根 2,10k02 qprr.22的一个特解的一个特解求方程求方程xyyy 解解特征方程特征方程, 0122 rr，121 rr是特征根，是特征根，不不这里这里0,)(02 xexxf,*2CBxAxy 设设代入方程代入方程, 得得22)22()4(xCBAxBAAx 022041CBABAA. 64*2 xxy于是于是例例1 1 641CBA.32的的一一个个特特解解求求方方程程xeyyy 解解特征方程特征方程, 0322 rr，3, 121 rr是是特特征征单单根根，而而这这里里1, 1,)( xexf,*xBxey 设设将将y*代入原方程代入原方程, 得得xxxxxxeB

5、xeBxeBeBxeBe 3222xxeBe 4.41*xxey 于是于是例例2 2.41 B,*xxBxeBey ,2*xxBxeBey 0 xe型型二二、sincos)(xBxAexfx ,sincos*xDxCexyxk 设设,10 是特征根是特征根不是特征根不是特征根 iikC,D是待定常数是待定常数.A,B,是常数是常数以上的推导过程省略以上的推导过程省略,只要求我们会用它只要求我们会用它.)(xfqyypy 的特解的特解y*可设为：可设为：.2cos3的一个特解的一个特解求方程求方程xeyyyx 解解特征方程为特征方程为, 0132 rr.有实根有实根,21不不是是特特征征根根ii

6、 ),2sin2cos(*xDxCeyx 故故设设xexCDxCDexx2cos2sin)10(2cos)10( 010110CDCD所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为)2sin101102cos1011(*xxeyx 例例3 3这里这里)2sin02(cos)(xxexfx 2, 1 代代入入原原方方程程，得得将将*,*, yyy10110,1011 DC.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解特征方程特征方程, 012 r,是是特特征征单单根根ii ),sincos(*xDxCxy 故故代入原方程代入原方程,sincos2sin2xxDxC 0,21 DC所求非齐方程特解为所求非齐

7、方程特解为,cos21*xxy 原方程通解为原方程通解为.cos21sincos21xxxCxCy 例例4 4,02, 1ir 对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解,sincos21xCxCY 1, 0),sin4cos0()(0 xxexfx这里这里.sin6424的通解的通解求方程求方程xxyy 解解xxfxxfxfxfxfsin6)(, 42)(),()()(2121 特征方程特征方程,042 r,*)(411BAxyxfyy 的特解可设为的特解可设为*21yyy .*yYy 原原方方程程的的通通解解为为：例例5 5,202 , 1ir ,2sin2cos21xCxCY ,sincos*

8、)(422xDxCyxfyy 的特解可设为的特解可设为请设出下列方程的一个特解：请设出下列方程的一个特解：3445. 12 xyyy23. 2 xyyxexyy29. 4 xeyyy 2. 3xeyyyx2sin52. 5 )sin4(cos32. 64xxeyyyx CBxAxy 2*. 1)(*. 2BAxxy xeBxy2*. 3 xeCBxAxy)(*. 42 )2sin2cos(*. 5xDxCxeyx )sincos(*. 64xDxCeyx 二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程型型)(

9、)()1(xPexfmx 解法解法待定系数法待定系数法., )(*xQexymxk 设设 是特征重根是特征重根是特征单根是特征单根不是特征根不是特征根 2,10k三、小结三、小结型型sincos)()2(xBxAexfx ,sincos*xDxCexyxk 设设 .1;0是是特特征征方方程程的的单单根根时时不不是是特特征征方方程程的的根根时时 iik例例6?:.5.,00:5 ,:,.1 .21,4 .316 .32,20:8,30:7 他他被被排排除除在在嫌嫌疑疑犯犯之之外外不不在在现现场场的的证证言言能能否否使使张张某某问问分分钟钟案案现现场场步步行行需需”从从张张某某的的办办公公室室到到

10、凶凶公公室室打打完完电电话话就就离离开开了了办办时时打打了了一一个个电电话话办办公公室室上上班班“下下午午张张某某一一直直在在并并有有证证人人说说张张某某声声称称自自己己是是无无罪罪的的但但某某此此案案的的最最大大嫌嫌疑疑犯犯是是张张小小时时内内始始终终保保持持在在室室温温在在几几得得尸尸体体温温度度为为尸尸体体即即将将被被抬抬走走时时，测测；一一小小时时后后，当当测测得得尸尸体体温温度度为为赶赶到到凶凶案案现现场场法法医医与与晚晚上上被被发发现现受受害害者者的的尸尸体体于于晚晚上上CCC0t8:209:201解解人死后体温调节功能消失，尸体温度人死后体温调节功能消失，尸体温度T(t)受外界受

11、外界环境的影响，服从牛顿冷却定理环境的影响，服从牛顿冷却定理.)1 .21( TkdtdTktaetT 1 .21)(通解为通解为4 .31)1(, 6 .32)0( TTteT11,05 .111 .21 CT37 若若死死者者的的体体温温正正常常，为为分分时时小时小时57295. 25 .111 .213711,0 tet 故故死死者者死死亡亡的的时时间间是是.235 572208 分分时时分分时时分分时时 t故张某不能被排除在嫌疑犯之外故张某不能被排除在嫌疑犯之外.基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.线性方程线性方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构二阶常系数线性齐次方程的解f(x)f(x)的形式及的形式及二阶常系数非齐次二阶常系数非齐次线