【全程复习方略】2013版高考数学 2.9函数与方程配套课件 文 北师大版

1、第九节第九节 函数与方程函数与方程 三年三年1313考考 高考指数高考指数: :1.1.结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数断一元二次方程根的存在性及根的个数. .2.2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解. .1.1.函数零点个数、存在区间及方程解的确定与应用是高考的热函数零点个数、存在区间及方程解的确定与应用是高考的热点点. .2.2.常与函数的图像与性质交汇命题，主要考查函数与方程、转常与函数的图像与性质交汇命题，主要考查

2、函数与方程、转化与化归、数形结合思想化与化归、数形结合思想. .3.3.题型以选择题和填空题为主，若与导数综合，则以解答题形题型以选择题和填空题为主，若与导数综合，则以解答题形式出现，属中、高档题式出现，属中、高档题. .1.1.函数的零点函数的零点(1)(1)定义：函数定义：函数y=f(xy=f(x) )的图像与的图像与_称为这称为这个函数的零点个函数的零点. .(2)(2)几个等价关系：几个等价关系：横轴的交点的横坐标横轴的交点的横坐标f(xf(x)=0)=0有实数解有实数解f(xf(x）的图象）的图象与与x x轴有交点轴有交点 f(xf(x) )有零点有零点【即时应用【即时应用】(1)(

3、1)函数函数f(xf(x)=x)=x3 3-x-x的零点是的零点是_;_;(2)(2)函数函数f(x)=lgxf(x)=lgx- - 的零点个数是的零点个数是_._.1x【解析【解析】(1)(1)令令f(xf(x)=0)=0，即，即x x3 3-x=0,-x=0,解得解得x=0,1,-1,x=0,1,-1,f(xf(x) )的零点为的零点为-1-1，0 0，1.1.(2)(2)由等价关系、零点个数转化为方程由等价关系、零点个数转化为方程lgxlgx- =0- =0的根的个数的根的个数lgxlgx= = 即又转化为函数即又转化为函数y=lgxy=lgx与与y= y= 图像的交点个数，由图图像的交

4、点个数，由图像得有一个交点像得有一个交点, ,即函数即函数f(x)=lgxf(x)=lgx- - 有有1 1个零点个零点. .1x1,x1x1x答案：答案：(1)-1(1)-1，0 0，1 (2)1 1 (2)1 2.2.函数零点的存在性定理函数零点的存在性定理 条件条件 结论结论函数函数y=fy=f（x x）在在 上上a,by y= =f f( (x x) )在在( (a a, ,b b) )内内至少有一个零点至少有一个零点(1)(1)图像是连续曲线图像是连续曲线(2)(2)f f( (a a)f f( (b b)0)0)0，则不存在实数，则不存在实数c(a,bc(a,b) )使得使得f(c

5、f(c)=0; ( )=0; ( )若若f(a)f(bf(a)f(b)0,)0)0，则有可能存在实数，则有可能存在实数c(a,bc(a,b) )使得使得f(cf(c)=0;)=0; ( ) ( )若若f(a)f(bf(a)f(b)0,)0,则有可能不存在实数则有可能不存在实数c(a,bc(a,b) )使得使得f(cf(c)=0.)=0. ( ) ( )(2)(2)在函数零点的存在性定理的条件下，当在函数零点的存在性定理的条件下，当f(xf(x) )是是_时，在时，在区间区间(a,b(a,b) )内内f(xf(x) )有唯一的一个零点有唯一的一个零点. .(3)(3)已知函数已知函数f(xf(x

6、)=x)=x3 3-x-1-x-1仅有一个正零点，则此零点所在的最仅有一个正零点，则此零点所在的最短区间为短区间为_.(_.(区间端点为整数区间端点为整数) )(4)(4)函数函数f(xf(x)=mx-1)=mx-1在在(0(0，1)1)内有零点，则实数内有零点，则实数m m的取值范围是的取值范围是_._.【解析【解析】(1)(1)如图甲的情况可判断如图甲的情况可判断错错正确，如图乙的情况正确，如图乙的情况可判断可判断不正确，由零点存在性定理可知不正确，由零点存在性定理可知不正确不正确. .(2)(2)由零点存在性定理容易判断由零点存在性定理容易判断f(xf(x) )是单调函数即可是单调函数即

7、可.(3).(3)由于由于f(0)=-10f(0)=-10，f(1)=-10,f(3)=230,f(4)=590,f(1)=-10,f(3)=230,f(4)=590,故只故只有区间有区间(1(1，2)2)满足满足. .(4)(4)由由f(0)f(1)0,f(0)f(1)0,得得(-1)(-1)(m-1)0(m-1)1.m1.答案：答案：(1)(1) (2)(2)单调函数单调函数 (3)(1(3)(1，2) (4)m12) (4)m13.3.二分法二分法(1)(1)二分法的定义二分法的定义每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留

8、下其中一个其中一个_的方法称为二分法的方法称为二分法. .(2)(2)用二分法求函数零点近似值的步骤用二分法求函数零点近似值的步骤第一步：确定区间第一步：确定区间a,ba,b, ,验证验证f(a)f(bf(a)f(b) )0,0,给定精度给定精度;第二步：求区间第二步：求区间(a,b(a,b) )的中点的中点c;c;小区间小区间第三步第三步: :计算计算f(cf(c) )；若若f(cf(c)=0,)=0,则则c c就是函数的零点；就是函数的零点；若若f(a)f(cf(a)f(c) )0,0,则令则令b=c(b=c(此时零点此时零点x x0 0(a,c);(a,c);若若f(c)f(bf(c)f

9、(b) )0,0,则令则令a=c(a=c(此时零点此时零点x x0 0(c,b).(c,b).第四步：判断是否达到精度第四步：判断是否达到精度：即若：即若|a-b|a-b|,则得到零点近则得到零点近似值似值a(a(或或b)b)，否则重复第二、三、四步，否则重复第二、三、四步. .【即时应用【即时应用】(1)(1)已知已知f(xf(x)=x)=x3 3+x+x2 2-2x-2,f(1)f(2)0,-2x-2,f(1)f(2)0,用二分法求用二分法求f(xf(x) )在在(1(1，2)2)内的零点时，第一步是内的零点时，第一步是_._.(2)(2)用用“二分法二分法”求方程求方程x x3 3-2x

10、-5=0-2x-5=0在区间在区间2 2，3 3内的实根，内的实根，取区间中点为取区间中点为x x0 0=2.5=2.5，那么下一个有根的区间是，那么下一个有根的区间是_._.【解析【解析】(1)(1)根据二分法求函数零点近似值的步骤，已知根据二分法求函数零点近似值的步骤，已知f(1)f(1)f(2)0f(2)0后，应该求区间后，应该求区间(1(1，2)2)的中点为的中点为(2)(2)令令f(xf(x)=x)=x3 3-2x-5-2x-5验证知验证知f(2)0,f(3)0f(2)0,f(3)0，所以下，所以下一个有根的区间是一个有根的区间是(2(2，2.5).2.5).答案：答案：(1)(1)

11、求区间求区间(1(1，2)2)的中点为的中点为(2)(2(2)(2，2.5)2.5)3.232 确定函数零点所在的区间确定函数零点所在的区间【方法点睛【方法点睛】确定函数确定函数f(xf(x) )的零点所在区间的方法的零点所在区间的方法(1)(1)解方程法：当对应方程解方程法：当对应方程f(xf(x)=0)=0易解时，可先解方程易解时，可先解方程, ,然后再然后再看求得的根是否落在给定区间上；看求得的根是否落在给定区间上；(2)(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=f(xy=f(x) )在区间在区间a,ba,b上的图像是否连续，再看是否有上的图像是否

12、连续，再看是否有f(a)f(bf(a)f(b)0.)0-0=40，f(1)=( )f(1)=( )1-21-2-1-13 3=10=10，f(2)=( )f(2)=( )2-22-2-2-23 3=-70,=-70,f(3)=( )f(3)=( )3-23-2-3-33 3= 0,= 0,f(4)=( )f(4)=( )4-24-2-4-43 3= 0,= 0,f(1)f(1)f(2)0, f(2)2,2,排除排除A.A.f(3)= 0,f(3)= 0,f(5)=ln3- 0f(5)=ln3- 0，f(3)f(3)f(4)0,f(4)f(4)0f(5)0，函数函数f(xf(x) )的零点所在的

13、大致区间是的零点所在的大致区间是(3(3，4).4).231225【互动探究【互动探究】把本例把本例(1)(1)中的函数改为方程中的函数改为方程loglog3 3x+x=3,x+x=3,判断其判断其解所在的区间解所在的区间. .【解析【解析】构造函数，转化为求函数的零点所在的区间构造函数，转化为求函数的零点所在的区间. .令令f(xf(x)=log)=log3 3x+x-3,x+x-3,则则f(2)=logf(2)=log3 32+2-3=log2+2-3=log3 3 0,f(3)=log0,-3=10,又因为函数又因为函数f(xf(x) )在在(0(0，+)+)上是连续且单调的函数，上是连

14、续且单调的函数，所以方程所以方程loglog3 3x+x=3x+x=3的解所在的区间为的解所在的区间为(2(2，3).3).23【反思【反思感悟感悟】1.1.判断函数零点所在的区间，当方程判断函数零点所在的区间，当方程f(xf(x)=0)=0无无法解出或函数法解出或函数y=f(xy=f(x) )的图像不易作出时，常用函数零点存在性的图像不易作出时，常用函数零点存在性定理判断定理判断. .2.2.判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题. .【变式备选【变式备选】函数函数f(xf(x)=e)=ex x+x-2+x-2的零点所在的一个区间是的零点所在

15、的一个区间是( )( )(A)(-2(A)(-2，-1)-1)(B)(-1(B)(-1，0)0)(C)(0(C)(0，1)1)(D)(1(D)(1，2)2)【解析【解析】选选C.C.因为因为f(0)=-10,f(0)=-10,所以零点在区间所以零点在区间(0(0，1)1)上，故选上，故选C.C. 判断函数零点个数判断函数零点个数【方法点睛【方法点睛】判断函数零点个数的方法判断函数零点个数的方法(1)(1)解方程法：令解方程法：令f(xf(x)=0)=0，如果能求出解，则有几个解就有几，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；个零点；(2)(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间零点存在

16、性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a,ba,b上是连续不断的曲线，且上是连续不断的曲线，且f(a)f(bf(a)f(b) )0,0,还必须结合函数的图还必须结合函数的图像与性质像与性质( (如单调性、奇偶性、周期性、对称性如单调性、奇偶性、周期性、对称性) )才能确定函数才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；有多少个零点或零点值所具有的性质；(3)(3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题；先数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题；先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同

17、的零点几个不同的值，就有几个不同的零点. . 【例【例2 2】(2011(2011陕西高考陕西高考) )方程方程|x|=cosx|x|=cosx在在(-,+)(-,+)内内( )( )(A)(A)没有根没有根(B)(B)有且仅有一个根有且仅有一个根(C)(C)有且仅有两个根有且仅有两个根(D)(D)有无穷多个根有无穷多个根【解题指南【解题指南】本题可转化为函数本题可转化为函数y=|x|y=|x|与与y=cosxy=cosx在在R R上的交点问上的交点问题或利用零点存在性定理及函数的性质进行判断题或利用零点存在性定理及函数的性质进行判断. .【规范解答【规范解答】选选C.C.方法一：构造两个函数

18、方法一：构造两个函数y=|x|y=|x|和和y=cosxy=cosx，在，在同一个坐标系内画出它们的图像，如图所示，观察知图像有两同一个坐标系内画出它们的图像，如图所示，观察知图像有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根个公共点，所以已知方程有且仅有两个根. .方法二：令方法二：令f(x)=|x|-cosxf(x)=|x|-cosx，则知，则知f(xf(x) )为偶函数，为偶函数，当当xx0,+)0,+)时，时，f(x)=x-cosxf(x)=x-cosx, ,显然显然xx +)+)时，时，f(x)=x-cosxf(x)=x-cosx0,0,当当xx0, 0, 时，时，f(xf(x)=1+si

19、nx0,)=1+sinx0,故故f(x)=x-cosxf(x)=x-cosx在在0 0， 上单调递增且上单调递增且f(0)=0-cos0=-10,f(0)=0-cos0=-10, = 0,即即f(0)f( )0f(0)f( )2e,2e,即即m-em-e2 2+2e+1+2e+1时，时，g(xg(x) )与与f(xf(x) )有两个交点，即有两个交点，即g(x)-f(xg(x)-f(x)=0)=0有两个相异实根有两个相异实根. .mm的取值范围是的取值范围是(-e(-e2 2+2e+1,+).+2e+1,+).【反思【反思感悟感悟】有些二次、高次、分式、指数、对数及三角式、有些二次、高次、分式

20、、指数、对数及三角式、含绝对值方程根的存在问题，常转化为求函数值域或两熟悉函含绝对值方程根的存在问题，常转化为求函数值域或两熟悉函数图像的交点问题求解数图像的交点问题求解. .【变式训练【变式训练】(2012(2012长沙模拟长沙模拟) )已知函数已知函数f(xf(x)=ax)=ax3 3+bx+bx2 2+ +(c-3a-2b)x+d(a0)(c-3a-2b)x+d(a0)的图像如图所示的图像如图所示. .(1)(1)求求c,dc,d的值；的值；(2)(2)若若x x0 0=5,=5,方程方程f(xf(x)=8a)=8a有三个不同的根，求实数有三个不同的根，求实数a a的取值范围的取值范围.

21、 .【解析【解析】函数函数f(xf(x) )的导函数为的导函数为f(xf(x)=3ax)=3ax2 2+2bx+c-3a-2b.+2bx+c-3a-2b.(1)(1)由题干图可知，函数由题干图可知，函数f(xf(x) )的图像过点的图像过点(0(0，3)3)，且，且 d3d3f 10,.3a2bc3a2b0c0 得(2)(2)依题意依题意f(xf(x)=ax)=ax3 3+bx+bx2 2-(3a+2b)x+3(a0),-(3a+2b)x+3(a0),f(xf(x)=3ax)=3ax2 2+2bx-3a-2b,+2bx-3a-2b,由图知由图知f(5)=0f(5)=0，得，得b=-9ab=-9

22、a 若方程若方程f(xf(x)=8a)=8a有三个不同的根，当且仅当满足有三个不同的根，当且仅当满足f(5)8af(1)f(5)8af(1)由由得得-25a+38a7a+3,-25a+38a7a+3,解得解得 a3,a3,所以，当所以，当 a3a0,0,且且a1).a1).当当2a3b42a3b4时，函数时，函数f(xf(x) )的零点的零点x x0 0(n,n+1),nN(n,n+1),nN+ +，则则n=_.n=_.【解题指南【解题指南】由条件易知函数由条件易知函数f(xf(x) )在在(0(0，+)+)上为增函数上为增函数, ,然然后根据后根据a,ba,b满足的条件及对数的运算性质探究出

23、满足的条件及对数的运算性质探究出f(xf(x) )零点所在零点所在的区间，从而对照的区间，从而对照x x0 0(n,n+1),nN(n,n+1),nN+ +, ,确定出确定出n n的值的值. .【规范解答【规范解答】2a3,f(x)=log2a3,f(x)=loga ax+x-bx+x-b为定义域上的单调递为定义域上的单调递增函数，增函数，f(2)=logf(2)=loga a2+2-b,f(3)=log2+2-b,f(3)=loga a3+3-b,3+3-b,2a3b,lg2lga2a3b,lg2lgalg3,3,-b-3,2-b3,-b-3,2-b-1,logloga a2+2-b0,2+

24、2-b0,即即f(2)0,f(2)0, 3b4,-13-b0, 3b4,-13-b0,f(3)0,3+3-b0,f(3)0,即即f(2)f(2)f(3)0f(3)0a0时，时，f(af(a)=a)=a2 2=4,a=2.=4,a=2.综上，综上，a=-4a=-4或或2.2.2x,x0f(x),x ,x03.(20123.(2012淮北模拟淮北模拟) )已知函数已知函数f(xf(x)=x+2)=x+2x x,g(x)=x+lnx,h(x,g(x)=x+lnx,h(x)=x- )=x- -1 -1的零点分别为的零点分别为x x1 1,x,x2 2,x,x3 3，则，则x x1 1,x,x2 2,x,x3 3的大小关系是的大小关系是( )( )(A)x(A)x1 1xx2 2