例析定义型试题

1、例析定义型试题近年来在各级竞赛和中考中，涌现了大量的着意考查学生的创新意识、创新精神的定义型试题，体现了新中考、新竞赛、新特点.定义型试题即试题中给出了一个考生从未接触过的新规定，要求考生当即应用，用以考查考生接受能力和应变能力.一、 新概念的定义例1.（2005年四川实验区）如图1，四边形ABCD为正方形，曲线DEFGHIJ叫做“四边形ABCD的渐开线”，其中、 的圆心依次按A、B、C、D循环，当渐开线延伸开时，形成了扇形S1，S2，S3，S4和一系列的扇环S5，S6， 当AB=1时，它们的面积， 那么扇环的面积S8 = _. 分析 此题内容取材于高中的解几，学生对四边形ABCD的渐开线概念

2、虽较陌生，但试题的难度并不大，只要运用已有的扇形面积公式与求扇环的方法，就能得出S8 =12.例2 、(北京市竞赛题)一个自然数若能表示为两个数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16 = 52 32，故16是一个“智慧数”. 在自然数列中，从1开始起，第1990个“智慧数”是_.分析 自然数可分为奇数和偶数，解题时首先要分析奇数与偶数中哪些是“智慧数”.，每个大于1 的奇数与每个大于4且是4 的倍数的数都是智慧数，而被4除余数为2的偶数都不是智慧数，最小智慧数为3，从5开始，智慧数是：5，7，8；9，11，12；13，15，16；17，19，20，即2个奇数，1 个4的倍数，三个一组依

3、次排列下去 .因为，即第1990个智慧数是664组最后一个，所以这个智慧数是664×4=2656.例3.（江苏泰州）阅读下面材料，并解答下列各题：在形如的式子中，我们已经研究过两种情况：已知a 和b，求N，这是乘方运算；已知b和N，求a，这是开方运算；现在我们研究第三种情况：已知N和a，求b，我们把这种运算叫做对数运算.定义：如果（a > 0 , a 1, N > 0），则b 叫做以a 为底N的对数，记作.例如，因为，所以；因为，所以.（1）根据定义计算：_,_,_,如果，那么x = _.(2)设（a > 0 , a 1, M、N均为正数），.这是对数运算的重要性质

4、之一，进一步地，我们可以得出：_(其中M 1 、M 2、 M 3 M n 均为正数，a > 0 , a 1)，_（M、N均为正数，a > 0 , a 1）.分析：本题是高中教材的“对数”内容，要求学生读懂“对数”这一新概念定义，并运用这一定义进行解题.（1） 4, 1 , 0 ,如果，那么x = 2 .（2）；.此类试题定义了一类新概念，考查学生阅读理解、信息迁移的能力.读懂题意是很关键的一步，搞清题意才能确定探索方向，寻找合理的解题途径.二、 新运算的定义例4.（2003年无锡市）读一读：式子“1234100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便

5、，为了方便起见，我们可将“1234100”表示为这“”是求和符号.例如“135799”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为又如“132333103”可表示为，同学们，通过对以上材料的阅读，请解答以下问题：（1）2468100用求和符号可表示为_；（2）计算_.分析：此题定义了一个书本中从未介绍过的求和符号“”，其本质是将任意有穷数列中的所有数（或式）连加. 如：表示的和，即. （其中i表示数的起始位，n表示数的个数，代表该数列中的数，表示第一个数，表示最后一个数）.解：（1）由135799 =类推，2 n1表示奇数，则偶数用2 n表示，于是2468100 = ；（2）由=13233

6、3103 ，得：0381524 = 50.例5.（2005年北京海淀）用“”、“”定义新运算：对于任意实数都有b = 和b = b.例如：3 2 = 3 ，3 2 = 2 ，则（20062005）（20042003）=_.解：由b = ，b = b 知，（20062005）（20042003）=20052003=2005.例6.（2005年云南）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道 | x | = ，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式 | x 1 | | x 2 | 时，可令 x 1 = 0 和 x 2 = 0 ，分别求得 x = 1 , x = 2 （称1，2分别为

7、 | x 1 | 与 | x 2 | 的零点值）.在实数范围内，零点值x = 1和 x = 2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1） 当 x < 1 时，原式 = （x 1）( x 2 ) = 2 x 1;（2） 当1 x < 2 时，原式 =（x 1）( x 2 ) = 3；（3） 当x 2 时，原式 = （x 1）( x 2 ) = 2 x 1.综上讨论，原式 = 通过以上阅读，请你解决以下问题：（1） 分别求出 | x 2 | 和 | x 4 | 的零点值；（2） 化简代数式 | x 2 | | x 4 | .解：（1）分别令 x 2 = 0 和 x 4 = 0

8、 ，分别求得x = 2和 x = 4 ，| x 2 | 和 | x 4 | 的零点值分别为x = 2和 x = 4.（2）当 x < 2时，原式 = （x 2）( x 4 ) = x 2 x 4 = 2 x 2;当2 x < 4 时，原式 = x 2( x 4 ) = 6；当x 4时，原式 = x 2( x 4 ) = 2 x 2 .综上讨论，原式 = 此类试题定义了一种新运算，在代数式中某些相同的结构或某种特定操作用特定算式符号来表示，形成一种新的运算. 从知识立意向能力立意过渡，突出对学生数学素质的考查.三、 应用新定义例7. （湖北鄂州市）从A、B、C三人中选取二人当代表，有

9、A和B、A和C、B和C三种不同的选法，抽象成数学模型是：从3 个元素中选取2 个元素的组合，记作：.一般地，从m个元素中选取n个元素的组合，记作.根据以上分析，从6人中选取4人当代表的不同选法有_种.分析 这是一道考查学生自学能力的好题，它取材于高中教材的排列组合一单元，要求学生通过自学，掌握规律，从而正确的解题：例8.（江苏竞赛题）用表示两数中的较少者，用表示两数中的较大者，例如设是互不相等的自然数，min ( a ，b) = p， min (c , d ) = q ， max ( p , q ) = x ， max ( a ,b ) = m， max ( c , d ) = n ， min

10、 ( m , n ) = y ， 则（ ）.A、x >y B、x < y C、x = y D、x >y 和x < y都有可能.解 ：当取当取y = 3，所以x >y 和x < y都有可能，故选（D）.例9. （2005年四川）如果记，并且（1）表示当x = 1 时y的值，即表示当时y的值，即那么_（结果用含n的代数式表示，n为正整数）.分析 由得 ， 又，=.例10.（2005年资阳市）若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1，3！= 3×2×1，4！= 4×3×2×1， 则的值为（

11、）.（A）. （B）. 99!（C）. 9900（D）. 2！分析 本题取材于高中代数的“阶乘”内容，要求学生通过阅读自学、观察归纳，得出阶乘的计算方法，不难解出此题 .解答此类试题的关键是掌握新定义，弄懂归纳与类比的思想，要求在新情境下加以运算，并允许学生根据各自对问题的理解，选择自己喜欢的思维方式，采取不同的解题策略.四、 新函数的定义例11.（2005年广东佛山市课改区）“三等分角”是数学史上一个著名问题，但仅用尺规不可能“三等分角”.下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角AOB置于直角坐标系中，边OB在x 轴上，边OA与函数的图像交于点P，以点P

12、为圆心，以2OP为半径作弧交图像于点R. 分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连结OM得到MOB，则MOB =AOB.要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1） 设P（）、R （），求直线OM对应的函数表达式（用含a , b 的代数式表示）.（2） 分别过点P和R作y轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q.说明Q点在直线OM上，并据此证明MOB = AOB.（3） 应用上述方法得到的结论，你如何三等分一上钝角（用文字简要说明）. 解：（1）设直线OM的函数关系式为， 则直线OM的函数关系式为.（2）Q的坐标满足，Q在直线OM上.四边形PQRM是矩形，OM交PR于S，SP = S

13、Q = SR = SM =.SQR = SRQ .PR = 2 OP ，.POS = PSO .PSQ 是SRQ的一个外角.PSQ = 2SQR . POS =2SQR . Q R OB ，SOB = SQR .POS = SOB .SOB = AOB .（3）答案不唯一，以下答题供参考：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分.把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角利用等边三角形将其三等分. 此类试题定义了一个新函数的作图方法，放手让学生多角度、多层次、多侧面地思考问题，发展学生的求异思维，它具备综合性强，容量大等特性，重视问题的探究过程，培养学生的

14、创新意识和创新能力.五、 新操作的定义例12.（2005年资阳市）阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图所示，矩形ABEF即为ABC的“友好矩形”.显然，当ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 .(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；(2) 如图，若ABC为直角三角形，且C=90°，在图中画出ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3) 若ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在

15、图中画出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明. 分析 (1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.(2) 此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于ABC面积的2倍，ABC的“友好矩形”的面积相等. (3) 此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小 . 证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则