2015高考数学一轮方法测评练：能力提升练——导数及其应用

1、能力提升练导数及其应用(建议用时：90分钟)一、填空题1(2014·襄阳调研)曲线yx32x4在点(1,3)处的切线的倾斜角为_解析由y3x22得y|x11，即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1，所以切线的倾斜角为45°.答案45°2函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)>2，则f(x)>2x4的解集为_解析设g(x)f(x)2x4，由已知g(x)f(x)2>0，则g(x)在(，)上递增，又g(1)f(1)20，由g(x)f(x)2x4>0，知x>1.答案(1，)3(2014·韶关模拟)曲线yex在点A处

2、的切线与直线xy30平行，则点A的坐标为_解析直线xy30的斜率为1，所以切线的斜率为1，因为yex，所以由yex1，解得x0，此时ye01，即点A的坐标为(0,1)答案(0,1)4已知函数f(x)2ln xxf(1)，则曲线yf(x)在x1处的切线方程是_解析易知f(x)f(1)，令x1，得f(1)2f(1)，f(1)1，因此f(x)2ln xx，f(1)1，所求的切线方程为y11·(x1)，即xy20.答案xy205(2014·济南质检)若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于_解析f(x)12x22ax2b，4a296b0，又

3、x1是极值点，f(1)122a2b0，即ab6，且a>0，b>0，ab9，当且仅当ab时“”成立，所以ab的最大值为9.答案96(2014·青岛模拟)幂指函数yf(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得ln yg(x)ln f(x)，两边求导数得g(x)ln f(x)g(x)，于是yf(x)g(x)·.运用此法探求y的单调递增区间为_解析将函数yx两边求对数得ln yln x，两边求导数得ln x·(1ln x)，所以yy·(1ln x)·(1ln x)令y>0，即1ln x>0，0<x&

4、lt;e.答案(0，e)7设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)的图象是_(填序号)解析设h(x)f(x)ex，则h(x)(2axb)ex(ax2bxc)ex(ax22axbxbc)ex.由x1为函数f(x)ex的一个极值点ca0，ca.f(x)ax2bxa.若方程ax2bxa0有两根x1，x2，则x1x21，中图象一定不满足条件答案8(2014·汉中模拟)若函数f(x)2x2ln x在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是_解析f(x)4x(x0)，令f(x)0，得x，据题意得解

5、得k.答案9(2014·广州模拟)已知e是自然对数的底数，函数f(x)exx2的零点为a，函数g(x)ln xx2的零点为b，则f(a)，f(1)，f(b)的大小关系是_解析由f(x)ex1>0，知f(x)在R上是增函数，f(0)12<0，f(1)e1>0.函数f(x)的零点a(0,1)由g(x)1>0(x>0)，得g(x)在(0，)上单调递增又g(1)ln 112<0，g(2)ln 2>0，函数g(x)的零点b(1,2)，从而0<a<1<b<2，故f(a)<f(1)<f(b)答案f(a)<f(1)&

6、lt;f(b)10(2013·辽宁卷改编)设函数f(x)满足x2f(x)2xf(x)，f(2)，则x>0时，下列结论正确的是_(填序号)f(x)有极大值，无极小值f(x)有极小值，无极大值f(x)既有极大值又有极小值f(x)既无极大值也无极小值解析由条件，得f(x).令g(x)ex2x2f(x)，则g(x)ex2x2f(x)4xf(x)ex2(x2f(x)2xf(x)exex，令g(x)0，得x2.当x>2时，g(x)>0；当0<x<2时，g(x)<0.g(x)在x2处有最小值g(2)e28f(2)0.从而g(x)0，f(x)>0，f(x)在

7、(0，)上单调递增，无极大(小)值答案11若曲线f(x)ax2ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解析依题意得，f(x)2ax0(x>0)有实根，所以a<0.答案(，0)12若曲线y2xx3在横坐标为1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为_解析由题意得切点坐标为(1，1)，切线斜率为ky|x123x2|x123×(1)21.故切线l的方程为y(1)x(1)，整理得xy20.点P(3,2)到直线l的距离为.答案13(2014·山东省实验中学诊断)曲线yx3x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为_解析yf(x)x21，在点的切线斜率为

8、kf(1)2.所以切线方程为y2(x1)，即y2x，与坐标轴的交点坐标为，所以三角形的面积为××.答案14设函数f(x)，g(x)，对任意x1，x2(0，)，不等式恒成立，则正数k的取值范围是_解析因为对任意x1，x2(0，)，不等式恒成立，所以.因为g(x)xe2x，所以g(x)(xe2x)e2xxe2x·(1)e2x(1x)当0<x<1时，g(x)>0；当x>1时，g(x)<0，所以g(x)在(0,1上单调递增，在1，)上单调递减所以当x1时，g(x)取到最大值，即g(x)maxg(1)e.又f(x)e2x2e(x>0)当且

9、仅当e2x，即x时取等号，故f(x)min2e.所以，应有，又k>0，所以k1.答案1，)二、解答题15(2013·新课标全国卷)已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值解(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知得f(0)4，f(0)4.故b4，ab8.从而a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2).令f(x)0，得xln 2或2.从而当x(，2)(ln 2，)时，f(x)>0；当x(2，

10、ln 2)时，f(x)<0.故f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减当x2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e2)16设函数f(x)aexb(a>0)(1)求f(x)在0，)内的最小值；(2)设曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为yx，求a，b的值解(1)f(x)aex，令f(x)>0，得x>ln a，令f(x)<0，得x<ln a.所以f(x)在(ln a，)上递增，f(x)在(，ln a)上递减当0<a<1时，ln a>0，f(x)在(0，ln a)上递减，在(ln a，)上

11、递增，从而f(x)在0，)上的最小值为f(ln a)2b.当a1时，ln a0，f(x)在0，)上递增，从而f(x)在0，)上的最小值为f(0)ab.(2)依题意f(2)3，f(2)ae2，解得ae22或(舍去)，因此a.代入f(2)3，得2b3，即b.故a，且b.17(2014·南平质检)已知函数f(x)sin x，g(x)mx(m为实数)(1)求曲线yf(x)在点P处的切线方程；(2)求函数g(x)的单调递减区间；(3)若m1，证明：当x0时，f(x)g(x).解(1)由题意得所求切线的斜率kfcos.切点P，则切线方程为y即xy10.(2)g(x)mx2.当m0时，g(x)0，

12、则g(x)的单调递减区间是(，)；当m0时，令g(x)0，解得x或x，则g(x)的单调递减区间是(，)，(，)(3)当m1时，g(x)x.令h(x)g(x)f(x)xsin x，x0，)，h(x)1cos x0，则h(x)是0，)上的增函数故当x0时，h(x)h(0)0，即sin xx，f(x)g(x).18已知函数f(x)axxln x的图象在点xe(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a的值；(2)若kZ，且k<对任意x>1恒成立，求k的最大值解(1)因为f(x)axxln x，所以f(x)aln x1.因为函数f(x)axxln x的图象在点xe处的切线斜率为3，所以f(e)3，即aln e13，所以a1.(2)由(1)知，f(x)xxln x，又k<对任意x>1恒成立，令g(x)，则g(x)，令h(x)xln x2(x>1)，则h(x)1>0，所以函数h(x)在(1，)上单调递增因为h(3)1ln 3<0，h(4)