全国高中数学联赛预赛试题及答案

1、2008年全国高中数学联赛江西省预赛试题一、选择题（每小题分,共分）、若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）. 、 ；、；、；、设，若直线和椭圆有公共点，则的取值范围是（）.、； 、； 、； 、.、四面体的六条棱长分别为，且知，则 .、； 、； 、； 、若对所有实数，均有，则（ ）. 、；、；、；、设，是的小数部分，则当时，的值（ ）、必为无理数；、必为偶数；、必为奇数；、可为无理数或有理数、设为正整数，且与皆为完全平方数，对于以下两个命题：（甲）.必为合数；（乙）.必为两个平方数的和.你的判断是（ ）A.甲对乙错； B. 甲错乙对； C.甲乙都对； D.甲乙都不一定对.二、填空题（每小题分

2、，共分）、过点作直线，使得它被椭圆所截出的弦的中点恰为，则直线的方程为 .、设，则函数的最小值为 .、四面体中，面与面成的二面角，顶点在面上的射影是的垂心，是的重心，若，则 、 .、数列满足：，且对每个，是方程的两根，则 .、从前个正整数构成的集中取出一个元子集，使得中任两数之和不能被这两数之差整除，则的最大值为 三、解答题：、（分）是直角三角形斜边上的高，（），分别是的内心，的外接圆分别交于，直线交于点；证明：分别是的内心与旁心、（分）设为非负实数，满足，证明：、（分）对于元集合，若元集，满足：，且，则称是集的一个“等和划分”（与算是同一个划分）试确定集共有多少个“等和划分”2008年全国高

3、中数学联赛江西省预赛试题解答一、选择题（每小题分,共分）、若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）. 、 ；、；、；、答案：解：欲使的值域为，当使真数可取到一切正数，故或者；或者且，解得、设，若直线和椭圆有公共点，则的取值范围是（）.、； 、； 、； 、.答：解：将代入椭圆方程并整理得，因直线和椭圆有公共点，则判别式，利用，化简得，所以即、四面体的六条棱长分别为，且知，则 .、； 、； 、； 、答案：.解：四面体中，除外，其余的棱皆与相邻接，若长的棱与相邻，不妨设，据构成三角形条件，可知，于是中，两边之和小于第三边，矛盾。因此只有.另一方面，使的四面体可作出，例如取.故选 、若对所有实数，均有

4、，则（ ）. 、；、；、；、答： .解：记 ，则由条件，恒为，取，得，则为奇数，设，上式成为，因此为偶数，令，则，故选择支中只有满足题意、设，是的小数部分，则当时，的值（ ）、必为无理数；、必为偶数；、必为奇数；、可为无理数或有理数答：解：令，则，是方程的两根，则，所以当时，令，则当时，故所有为偶数，因，所以为的小数部分，即，奇数、设为正整数，且与皆为完全平方数，对于以下两个命题：（甲）.必为合数；（乙）.必为两个平方数的和.你的判断是（ ）A.甲对乙错； B. 甲错乙对； C.甲乙都对； D.甲乙都不一定对.答案:解：设，为正整数；则，由此知，为正整数，且，因为若，则，即，则，记，得不为平方

5、数，矛盾！所以，故由得，为合数；又因为，故选.（例如是上述之一）.二、填空题（每小题分，共分）、过点作直线，使得它被椭圆所截出的弦的中点恰为，则直线的方程为 .答案：解：设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，设其两根为，则， 即，所以直线的方程为，即、设，则函数的最小值为 .答案：.解：如图，取为数轴原点，再作垂线，使，在数轴上取点，使 ，则，当共线时，值最小，此时.、四面体中，面与面成的二面角，顶点在面上的射影是的垂心，是的重心，若，则 答案：解：设面交于，则因，故在上，且，于是，在三角形中，由余弦定理得、 .答案：解：，所以 、数列满足：，且对每个，是方程的两根，则 .答：解：对每个， ，

6、 ，将写作，因此是一个公比为的等比数列，故 ，即，；于是；、从前个正整数构成的集中取出一个元子集，使得中任两数之和不能被这两数之差整除，则的最大值为 答案：.解：首先，我们可以取元集，中任两数之和不能被整除，而其差是的倍数；其次，将中的数自小到大按每三数一段，共分为段：从中任取个数，必有两数取自同一段，则或，注意与同奇偶，于是因此的最大值为.三、解答题：、（分）是直角三角形斜边上的高，（），分别是的内心，的外接圆分别交于，直线交于点；证明：分别是的内心与旁心证：如图，连，由，则圆心在上，设直径交于，并简记的三内角为，由，所以，得，且，故，而，注意，所以，因此，同理得，故与重合，即圆心在上，而，

7、所以平分；同理得平分，即是的内心，是的旁心证二：如图，因为，故的外接圆圆心在上，连，则由为内心知， 所以，于是四点共圆，所以，又因，因此点在上，即为与的交点设与交于另一点，而由，可知，分别为的中点，所以，因此，点分别为的内心与旁心、（分）设为非负实数，满足，证明：简证：为使所证式有意义，三数中至多有一个为；据对称性，不妨设，则，对正数作调整，由于 ，取等号当且仅当，此时条件式成为，则，且有，于是，只要证，即，也即，此为显然，取等号当且仅当，故命题得证详证：为使所证式有意义，三数中至多有一个为；据对称性，不妨设，则；、当时，条件式成为，而，只要证，即，也即，此为显然；取等号当且仅当、再证，对所有

8、满足的非负实数，皆有显然，三数中至多有一个为，据对称性，仍设，则，令，为锐角，以为内角，构作，则，于是，且由知，；于是，即是一个非钝角三角形下面采用调整法，对于任一个以为最大角的非钝角三角形，固定最大角，将调整为以为顶角的等腰，其中，且设，记，据知，今证明，即 即要证 先证 ，即证 ，即 ，此即 ，也即，即 ，此为显然由于在中，则；而在中，因此式成为 ，只要证， ，即证 ，注意式以及，只要证，即，也即由于最大角满足：，而，则，所以，故成立，因此得证，由及得成立，从而成立，即，因此本题得证、（分）对于元集合，若元集，满足：，且，则称是集的一个“等和划分”（与算是同一个划分）试确定集共有多少个“等

9、和划分”解一：不妨设，由于当集确定后，集便唯一确定，故只须考虑集的个数，设，为最大数，由，则，于是 ，故中有奇数个奇数、若中有个奇数，因中的六个奇数之和为，而，则，这时得到唯一的；、若中有个奇数、两个偶数；用表示中这两个偶数之和；表示中这三个奇数之和，则，于是共得的种情形其中，、当，则，；可搭配成的个情形；、当，则，；可搭配成的个情形；、当，则，可搭配成的个情形；、当，则，可搭配成的个情形；、当，则，可搭配成的个情形；、当，则，；可搭配成的个情形；、当，则，；可搭配成的个情形、若中有一个奇数、四个偶数，由于中除外，其余的五个偶数和，从中去掉一个偶数，补加一个奇数，使中五数之和为，分别得到的个情形：综合以上三步讨论，可知集有种情形，即有种“等和划分” 解二：元