全国大学生数学建模竞赛论文选之DVD在线租赁

1、DVD在线租赁摘要本文讨论的是DVD在线租赁问题。首先，运用了获取分布，得到其期望值的方法，对问卷调查结果和会员每月租赁DVD次数不同人数的百分比进行分析并求解，合理地解决了网站既要尽可能满足消费者的意愿，又要尽可能使成本相对低廉的矛盾；在此基础上又运用期望值和层次分析图相结合的方法，对在三个月内每个月可能出现租赁的人数进行分析，最终获得了合理的期望值。其次，运用整数规划（0-1规划），根据100名会员的在线订单和网站手上20种DVD的现有张数，进行了定性地分配，并用分类规划，进行了定量地分配；再用定性反过来约束定量，并进行误差分析；最后，通过会员要求和网站的宏观调控，得出了最优的分配方案。再

2、次，围绕会员满意度最大这一目标，根据最优化原理导出的递推关系，利用等价变化，将整数规划转化为动态规划，从而决定出每种DVD合理的购买量，并对这些DVD进行合理的分配；再在计算机上用Lingo软件对模型进行灵敏度检验。最后，通过该模型对网站DVD在线租赁提出几点建议供网站参考。模型的特点：1、运用期望值和层次分析图相结合的方法，既解决了期望值的不全面性，又解决了层次分析图无法定量化的问题，进而两种方法达到互补。2、数据的转换，将表2中的值进行变换（10-c），（见附件1）更科学地刻画了会员对DVD的偏爱程度。（数字越大越偏爱程度越高）这样就解决了原始数字给计算带来困难的，使运算更明确、更方便。3

3、、根据最优化原理导出的递推关系，利用等价变化，将整数规划转化为动态规划，解决了整数规划求解大规模问题困难的问题。【关键词】期望值 层次分析图 整数规划 数据转换 动态规划 递推关系一、 问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。在线DVD租赁问题。即顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DV

4、D有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数，表1给出了其中5种DVD的数据表1 对1000个会员调查的部分结果DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数200100502510此外，历史数据显

5、示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。1、 设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2、 表2中列出了网站手上20种DVD的现有张数和当前需要处理的100位会员的在线订单（表2表格格式示例如下表），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001C0030）分别获得哪些DVD。3、 继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。作为网站经营管理人员，应如何决定每种DVD

6、的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？表2 现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）DVD编号D001D002D003D004DVD现有数量812210会员在线订单C00010020C00021090C00030600C00040000注：D001D020表示20种DVD, C0001C0100表示100个会员，会员的在线订单用数字1,2,表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。二、 模型假设1、 每人每次所租赁的三张DVD不相同。2、 租赁者中60%的人每月租二次

7、，不过必须把第一次租赁的归还了和才能进行第二次租赁,而40%的人每月只租赁一次。3、 在租赁过程中不考虑DVD损坏情况。4、 对于参与问卷调查的1000名会员是从100000人中随机抽取的。三、 符号定义-第种DVD应准备的数目-第名会员对第种DVD的偏爱度-第名会员-第张DVD对第名会员的分配量四、 模型的建立和求解（模型一）:历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。也就是说DVD每月被租赁两次的概率为0.6, DVD每月被租赁一次的概率为0.4。DVD利用率的分布为：从表1可知会员对第种DVD的喜爱度为：的值则网站应准备第种DVD的数目为：数目62503125

8、1563782313（模型二）：想看DVD1的总人数为： 100000*20%=20000要满足95%的人，表示要满足的人数为：20000*95%=19000设19000人中第一个月订DVD的人为，第二个月的为，第三个月的为+=19000特殊情况下：当=时，需要购买的DVD数量为:=3959当=0，=19000时，需要购买的DVD数量为：19000/1.6=11875所以最终的购买量应在3959,11875这个范围内才合理。根据题目又可以知道：当最大时，如果，那么至少需要购买3959张，由公司进行宏观调控，最终使95%人员在三个月内都能看见。如果，其中时那么至少需要购买R3张，由公司进行宏观调

9、控，最终使95%人员在三个月内都能看见；其中时那么至少需要购买3959张，由公司进行宏观调控，最终使95%人员在三个月内都能看见。当最大时，如果，其中时，那么至少需要购买3959张，由公司进行宏观调控，最终使95%人员在三个月内都能看见；其中时，那么至少需要购买张，由公司进行宏观调控，最终使95%人员在三个月内都能看见如果，其中时，那么至少需要购买张，由公司进行宏观调控，最终使95%人员在三个月内都能看见；其中时，那么至少需要购买3959张，由公司进行宏观调控，最终使95%人员在三个月内都能看见。当最大时，无论大，还是大至少都需要购买张，由公司进行宏观调控，最终使95%人员在三个月内都能看见由

10、上述分析作出相应的层次分析图，如下：购买DVD张数由每月订制人数决定当R1最大时 当R2最大时当R3最大时当时当时当时当时当当当当 当 当 1/21/21/21/21/21/21/2 1/21/21/21/3 1/3 1/3 3959 R3 3959 3959 R2 R2 3959 R3 根据上述分析不难得到：出现3959张的概率为1/6+1/12+1/12+1/12=5/12出现3960，5937张的概率和为1/3+1/12+1/12=6/12. 出现5938,.11875张的概率和为1/12列举出三者的关系，如下：概率5/126/121/12张数39593960，59375938，1187

11、5由上述式子可以得到3960，5937张的期望值为4949，5938，11875张的期望值为8907，所以不出现3959张的张数期望值为4949*6/7+8907*1/7=5514最后可以算出应购买的张数期望值为3959*5/12+5514*7/12=4867张同理可得：DVD2的购买期望值为2241张DVD3的购买期望值为1217张 DVD4的购买期望值为609张DVD5的购买期望值为244张 （模型三）:根据表二中列出的网站手上20种DVD的现有张数和当前需要处理的100位会员的在线订单,我们将采用整数规划中的特殊情形0-1规划的方法来解决。其中，全部决策变量只取0或1，假设会员是否得到自

12、己希望看的DVD可用决策变量来表示 表示得到，表示会员没有得到，根据已知的数据可建立如下模型：s.t会员对第种DVD偏爱程度。从表2中知道，会员在线订单中的数字表示会员的偏爱程度，且数字越小表示会员的偏爱程度越高，而数字0又表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。这给计算带来了许多不便，而且，又影响计算结果的准确性，于是，我们对表示会员的偏爱程度的数字进行如下变换：这样变换之后（附件2）,的数字越大表示会员的偏爱程度越高，数字0仍然表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中；表示第种DVD的现有数量。上述是定性地表示了分配方案.下面采取分类规划进行定量分配。我们先对会员在线订单中的每种DVD进

13、行考虑,即对在线订单表的纵向进行考虑.则第种DVD的分配方法为： 通过计算，可以得到DVD分配结果。其中前30位会员（即C0001C0030）分别获得DVD的种类为:会员DVD种类C0001D03D08D16C0002D01D15D12C0003D13D17D14C0004D07D14D17C0005D13D15D19C0006D12D15D16C0007D04D07D08C0008D13D14D01C0009D03D02D15C0010D10D12D18C0011D10D08D13C0012D11D19D14C0013D19D13D09C0014D06D16D17C0015D07D17D09

14、C0016D08D07D01C0017D04D17D01C0018D07D18D11C0019D17D08D15C0020D06D09D20C0021D15D09D13C0022D03D07D11C0023D12D13D02C0024D11D13D08C0025D17D15D19C0026D03D16D08C0027D02D10D06C0028D05D09D07C0029D13D20D08C0030D03D09D17以上为得到的分配方案，将整数规划来约束，带入式子可以得到误差e,对误差进行分析得：有一部分的人得不到想得到的DVD，有一部分的人得到了想得到的DVD。所以为了减小误差，网站应进行宏

15、观调控。通过列举特殊值，在计算机上进行计算，选出误差最小时的分配方案；其中前30位会员（即C0001C0030）分别获得DVD的种类为:会员DVD种类C0001D03D08D20C0002D01D06D12C0003D13D17D20C0004D07D11D12C0005D06D17D19C0006D12D15D16C0007D04D07D20C0008D13D14D18C0009D03D07D15C0010D10D12D17C0011D10D03D15C0012D11D19D13C0013D19D17D06C0014D06D16D17C0015D07D17D20C0016D08D07D11C

16、0017D04D17D07C0018D07D18D11C0019D17D06D19C0020D06D09D20C0021D15D06D13C0022D03D07D11C0023D12D13D11C0024D11D13D07C0025D17D15D19C0026D03D16D06C0027D06D10D06C0028D05D09D07C0029D13D20D12C0030D03D16D17（模型四）：通过分析可将模型三中整数规划问题转化为动态规划问题假设：有100名会员希望在20种DVD中得到自己偏爱的3种DVD，令0（i=1，2，100；j=1，2，20）为第i人对第j种DVD的偏爱程度，（i

17、=1，2，100；j=1，2，20）为第i人得到第j种DVD的数目，其中购买DVD的总数不得超过100*3*95%张为使得在一个月内的95%会员得到他们想看到的DVD的满意程度目标函数： =*约束条件：从上述表示可知，这个问题只有很少的约束，利用这一特点，可以设计出相当有效的算法令 (k=1,2,，n；y=1,2,b)(b=)表示当前只考虑前k种人，而有95%的人得到自己想要的DVD时，目标函数能够达到最大值，从而我们容易得出=是目标函数的最优值，对于固定的K和y，问题归结为求整数=0或=1（i=1，2，n；j=1，2，b），使函数： =max*在约束条件下达到最大，因此我们可以得出上述函数的

18、等价表达式为：=max*+（y-）: =0,1, y注意到那么max*:0,1,y=yy=1，2，100*3*95%这表明，上述式可以对指标k与整数变量y递推地进行计算。由于只能取0和1两个值，所以上式属于由最优化原理导出的递推关系，也就是说，上面的整数规划问题转化为了动态规划，这时第i种人得到第j种DVD，即每一个变量对应多阶段决策问题的一个阶段；原问题的约束条件相对于多阶段决策的每一个阶段只有一个输入与输出状态变量；y给出了每个阶段可能的决策数，显然上述对应对于一般整数线形规划问题也是成立的，一个有n个变量，m个约束的整数规划问题，可以转化为有n个阶段，m个状态变量的动态规划问题，我们首先

19、不管其初始阶段的状态与决策如何，对于前面决策所形成的状态而言，余下的所有决策必然构成一个最优子策略。依据在最优化原理，数学上可以得到一个比较简单而且非常有用的递推关系，假设某个动态规划问题已经给出，即要求得到一组策略，使函数= max *+（y-）: =0,1, y 到达最大，由上述可知，第一阶段可以作为一个子系统独立考虑优化，也就是说，为了使整个系统最优化，对于阶段一的任何输入，必须选取，使到达最优值，将这一最优值记为，从而我们可以知道 =*+（y-）: =0,1, y式中y是一个参数，而符号表示对下标变量取方括号内函数的最优值。 下一步考虑由最后两个阶段所构成的子系统，也表示相应于y给定后

20、的子系统最优值，由优化原理，有 =*+（y-）+*+（y-）: =0,1, y= *+（y-）+由此可知，对于给定的y，子系统的最优值是被的适当选取唯一值决定的；由于优化只对于一个变量考虑，相对说来问题被简化了，类似地不难得到： =*+（y-）+*+（y-）+*+（y-）: =0,1, y= *+（y-）+由上式的计算方法我们在运用计算机模拟可以得到其最优解：其中和上面模型一样是转换过了的，求得的DVD数量如下：1D2D3D4D5D6D7D8D9D10D11D12D13D14D15D16D17D18D19D2018917151019151819161516151217101615177最优解为

21、295张，小于300张，这说明了网站还必须考虑到租赁过程中出现的对估计DVD需求的误差，考虑到网站购买DVD用于租赁的实际和大多数会员的需求，后面将对误差进行分析。DVD分配方法见下表：DVD编号D1D2D3D4D5D6D7D8D9D10D11D12D13D14D15D16D17D18D19D20DVD现有数量00000000000000000000订单C00010 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 C00021 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 C00030 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

22、 0 0 1 0 0 0 C00040 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 C00050 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 C00060 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 C00070 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C00081 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 C00090 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 C00100 0 0 0 0 0

23、0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 C00110 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 C00120 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 C00130 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 C00140 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 C00150 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 C00161 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C0

24、0171 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 C00180 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 C00190 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 C00200 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 C00210 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 C00220 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C00230 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0

25、 0 0 0 0 0 0 C00240 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 C00250 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 C00260 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 C00271 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C00280 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C00290 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 C00300 0 1 0 0 0

26、0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 C00310 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 C00320 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 C00330 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 C00341 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 C00350 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 C00360 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 C0

27、0371 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 C00380 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 C00390 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 C00400 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 C00410 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 C00420 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 C00430 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

28、 1 0 0 0 1 0 C00441 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 C00450 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 C00460 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 C00470 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C00480 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 C00490 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 C00501 0 0 0 1 1

29、0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C00510 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 C00521 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 C00530 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 C00540 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 C00551 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C00560 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 C0

30、0570 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C00580 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 C00590 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 C00601 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C00610 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 C00620 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 C00630 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

31、 0 0 0 1 0 0 C00640 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C00650 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 C00660 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C00670 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 C00680 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 C00691 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 C00701 0 1 0 0 0

32、0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C00710 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 C00720 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 C00730 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 C00740 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 C00750 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 C00761 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C0

33、0770 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 C00780 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 C00790 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 C00800 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 C00810 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 C00820 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 C00830 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

34、 0 0 0 0 0 0 C00840 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 C00850 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 C00860 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 C00870 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 C00881 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 C00891 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C00900 0 0 0 0 1

35、0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 C00910 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C00920 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 C00931 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C00941 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C00950 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C00960 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 C0

36、0970 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 C00981 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 C00990 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 C01000 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 注：1代表该会员能够得到该种DVD，而0则代表不能得到此DVD五、 模型检验用lingo软件对模型四进行灵敏度分析，从而解决出现的偏差。Lingo 程序如下：max= model:sets:MAN/1.100/:y;DVD/1.20/:b;li

37、nk(MAN,DVD):x,c;endsetsmax=Sum(link:c*x);For(DVD(j):Sum(MAN(i):x(i,j)<=b(j);For(MAN(i):Sum(DVD(j):x(i,j)<=3*y(i);For(link:Bin(x); 目标函数可以看作“满意人数”，成为紧约束的“人数”一旦增加，需求的DVD必然跟着增长。在最优解下“人数”增加1个单位时DVD的增量：增加1个单位DVD增长是3，这里，“人数”的增量可以看作需求DVD的潜在因素，这个规律称为影子规律，可以用直接求解的办法验证上面的结论，即将输入文件中man右端的100改为101，看看得到的最优值

38、是否恰好增长3。六、 模型的优缺点和改进（一）优点：1、 用期望值和层次分析图相结合的方法，既解决了期望值的不全面性，又解决了层次分析图无法定量化的问题，进而两种方法达到互补。2、数据的转换，将表2中的值进行变换（10-c），更科学地刻画了会员对DVD的偏爱程度。（数字越大越偏爱程度越高）这样就解决了原始数字给计算带来困难的，使运算更明确、更方便。3、根据最优化原理导出的递推关系，利用等价变化，将整数规划转化为动态规划，解决了整数规划求解大规模问题困难的问题。（二）缺点： 模型的计算过程很繁琐。（三）改进： 利用计算机编辑程序，减小误差。七、模型的推广1、本模型设计时遵循了递推的思想，所以这一模型的合理性可以广泛用于各种系统的研究中。2、本模型有非常强的实用价值，现在的网络正在飞速发展中，研究和解决网上租赁问题是很有意义的事，通过使用该模型解决这类问题，可以系统地优化资源，达到最好的经营目的。3、几点建议：（1）我们在解决该问题