新高考数学备考专题空间向量与立体几何 真题训练（解析版）

1、 新高考 空间向量与立体几何 专题训练一、单选题1（2021·山东济宁·二模）“直线垂直平面内的无数条直线”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必安条件【答案】B【分析】根据线面垂直的定义和性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】因为当直线垂直平面内的所有直线时，才能得到，所以由直线垂直平面内的无数条直线不一定能推出，但是由一定能推出直线垂直平面内的无数条直线，所以直线垂直平面内的无数条直线是的必要不充分条件， 故选：B2（2021·天津和平·三模）在圆柱内有一个球，球分别与圆柱的上、下底面及母线均有且只

2、有一个公共点.若，则圆柱的表面积为（ ）.ABCD【答案】C【分析】依题意可求得圆柱的底面半径和高，进而可得圆柱的表面积.【详解】依题意可得圆柱的底面半径，高，所以圆柱的表面积.故选：C.3（2021·广西来宾·模拟预测（文）已知在高为2的正四棱锥中，则正四棱锥外接球的体积为（ ）ABCD【答案】B【分析】根据正四棱锥的性质，结合球的体积公式进行求解即可.【详解】设正方形ABCD的中心为，正四棱锥外接球的半径为，有，解得，则正四棱锥外接球的体积为.故选：B4（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）ABCD【答案】D【分析】平移

3、直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接，因为，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，所以，又，所以平面，所以，设正方体棱长为2，则，所以.故选：D5（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）A346B373C446D473【答案】B【分析】

4、通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案【详解】过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以所以因为，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以故选：B【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为6（2021年浙江省高考数学试题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）A直线与直线垂直，直线平面B直线与直线平行，直线平面C直线与直线相交，直线平面D直线与直线异面，直线平面【答案】A【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.【详解】连，在正方体中，M是的中点，所以为中点，又N是的中点，所以，平面平面，所以平面.因为不

5、垂直，所以不垂直则不垂直平面，所以选项B,D不正确；在正方体中，平面，所以，所以平面，平面，所以，且直线是异面直线，所以选项C错误，选项A正确.故选：A.【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.7（2021年北京市高考数学试题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）24h降雨量的等级划分如下：在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程

6、中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是A小雨B中雨C大雨D暴雨【答案】B【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.【详解】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥，所以积水厚度，属于中雨.故选：B.8（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）ABCD【答案】A【分析】由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积.【详解】，为等腰直角三角形，则外接圆的半径为，又球的半径为1，设到平面的距离为，则，所以.

7、故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.二、多选题9（2022·辽宁·建平县实验中学高二期末）已知直线l和不重合的两个平面，且，下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】BC【分析】结合面面平行的判定定理、面面平行的定义、面面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理可分别判断四个选项的正误.【详解】对于A，由可得与平行或相交，故错误；对于B，若，则由面面平行的定义可得，故正确；对于C，若，则由面面垂直的判定定理可得，故正确；对于D，当时，l可能在内，可能与平行，也可能与相交，所以

8、不一定有，故错误.故选：BC.10（2021年全国新高考II卷数学试题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点则满足的是（ ）ABCD【答案】BC【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.【详解】设正方体的棱长为，对于A，如图（1）所示，连接，则，故（或其补角）为异面直线所成的角，在直角三角形，故，故不成立，故A错误.对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，则，由正方体可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，而，所以平面，而平面，故，故B正确.对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，故，故C正确.对于

9、D，如图（4），取的中点，的中点，连接，则，因为，故，故，所以或其补角为异面直线所成的角，因为正方体的棱长为2，故，故不是直角，故不垂直，故D错误.故选：BC.11（2022·河北唐山·高二期末）在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法正确的是（ ）A点关于平面对称的点的坐标为B若平面的法向量，则直线平面C若，分别为平面，的法向量，则平面平面D点到直线的距离为【答案】ACD【分析】根据空间点的对称性判断A，根据判断B，根据判断C，利用空间向量法求点到直线的距离判断D；【详解】解：对于A：因为，所以点关于平面对称的点的坐标为，故A正确；对于B：因为，所以，因为平面的法向量，所以

10、，所以直线与平面不平行，故B错误；对于C：因为、，所以，因为，分别为平面，的法向量，所以平面平面，故C正确；对于D：因为，所以，所以点到直线的距离，故D正确；故选：ACD12（2021年全国新高考卷数学试题）在正三棱柱中，点满足，其中，则（ ）A当时，的周长为定值B当时，三棱锥的体积为定值C当时，有且仅有一个点，使得D当时，有且仅有一个点，使得平面【答案】BD【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数；对于D

11、，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数【详解】易知，点在矩形内部（含边界）对于A，当时，即此时线段，周长不是定值，故A错误；对于B，当时，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确对于C，当时，取，中点分别为，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，则，所以或故均满足，故C错误；对于D，当时，取，中点为，所以点轨迹为线段设，因为，所以，所以，此时与重合，故D正确故选：BD【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内三、填空题13（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知

12、一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为_.【答案】【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】.故答案为：.14（2022·福建泉州·模拟预测）在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，将该正方体挖去两个四分之一圆锥，得到如图所示的几何体，则该几何体的体积为_.【答案】【分析】该几何体为正方体挖去两个四分之一圆锥，且圆锥，利用公式进行计算，即可得到答案；【详解】因为该几何体为正方体挖去两个四分之一圆锥，所以圆锥，.故答案为：15（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点

13、的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l平面，直线m平面，则ml.则下述命题中所有真命题的序号是_.【答案】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；若与相交，则交点在平面内，同理，与的交点也在平面内，所以，即，命题为真命题；对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题为假命题；对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，命题为假命题；对于命题，若直线平面，则垂直于平面内所有直线，直线平面，直线直线，命题为真命题.综上可知，为真命题，为假命题，为真命题，为假命题，为真命题，为真命题.故答案为：.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.16（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_【答案】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆