大学物理第21章波动

1、第第21章章第第2121章章 波波 动动波动波动一定的一定的扰动扰动的传播的传播波动波动机械波机械波电磁波电磁波概率波概率波 微观粒子波动性微观粒子波动性21.1 行行 波波机械振动在介质中的传播过程。机械振动在介质中的传播过程。变化的电场和变化的磁场在空间的传播过程变化的电场和变化的磁场在空间的传播过程1. 1. 机械波的产生条件机械波的产生条件有可供传播的弹性媒质有可供传播的弹性媒质有波源有波源2. 2. 横波和纵波横波和纵波1 1）. . 横波横波质点的振动方向和波的传播方向垂直。质点的振动方向和波的传播方向垂直。波谷波谷波峰波峰振动方向振动方向传播方向传播方向质点的振动方向和波的传播方

2、向平行。质点的振动方向和波的传播方向平行。波密波密波疏波疏2 2）. .纵波纵波振动方向振动方向传播方向传播方向（一定运动（一定运动形态形态的传播过程）的传播过程） 波源作简谐振动波源作简谐振动, , 在波传到的区域在波传到的区域, , 媒质中的质元媒质中的质元均作简谐振动。均作简谐振动。以绳上横波为例来看质元的运动情况。以绳上横波为例来看质元的运动情况。21.2 简谐波简谐波0 05 510101515202025250t振动方向振动方向4Tt 2Tt 43Tt 45Tt 波的传播方向波的传播方向Tt 也即媒质质元的振动频率。也即媒质质元的振动频率。单位时间波所传过的距离。单位时间波所传过的

3、距离。1 1）. . 波长波长 两相邻同相点间的距离。两相邻同相点间的距离。即相位差为即相位差为22的质点间的距离。的质点间的距离。描述波的空间周期性描述波的空间周期性2 2）. . 波的周期波的周期 描述波的时间周期性描述波的时间周期性传播一个波长距离所用的时间。传播一个波长距离所用的时间。即质元的振动周期。即质元的振动周期。波的频率波的频率 : :单位时间传过媒质中某点的完整波的个数。单位时间传过媒质中某点的完整波的个数。3 3）. . 波速波速u u 波速波速又称又称相速度相速度( (相位传播速度相位传播速度) )uTTu1、 描述波的特征量描述波的特征量同一频率的波，其波长随介质的不同

4、而不同。同一频率的波，其波长随介质的不同而不同。 Tu由于由于波速的大小取决于介质的性质。波速的大小取决于介质的性质。在波动过程中，在波动过程中，振动相位相同的点振动相位相同的点连成的面。连成的面。2 2）. . 波面（同相面）波面（同相面）任何时刻，波面有无数多个，最前方的波面叫波前。任何时刻，波面有无数多个，最前方的波面叫波前。波前波前: :波面波面与波面垂直与波面垂直、指向波的传播方向的线。指向波的传播方向的线。3 3）. . 波线波线在各向同性介质中传播时，波线和波阵面垂直。在各向同性介质中传播时，波线和波阵面垂直。 在远离波源的球面波波面上的任何一个小部份，都可视在远离波源的球面波波

5、面上的任何一个小部份，都可视为平面波。为平面波。球面波球面波波波线线波波面面平面波平面波波线波线波面波面4. 4. 简谐波的表达式简谐波的表达式( (波函数波函数) )沿沿x x正方向正方向传播的简谐波，波速为传播的简谐波，波速为u u，角频率为，角频率为设媒质无吸收，即质元振幅均为设媒质无吸收，即质元振幅均为A A已知参考点已知参考点O O的振动方程为的振动方程为tAtycos)(0 x xx xo o波速波速y yP P任一点任一点P P的振动方程即为波函数（波动方程）。的振动方程即为波函数（波动方程）。参考点取在原点参考点取在原点 x x2( , )cos()y x tAtx2k令称作波

6、数称作波数)cos(),(kxtAtxy)(cos),(uxtAtxy以上是波函数的四种表达形式以上是波函数的四种表达形式 )(2cos),(xTtAtxyx xo oy y波速波速P Putx 称为波函数称为波函数u5. 5. 波函数的物理意义波函数的物理意义 1 1）. . 当当x x一定时一定时设：设：0()xx常则：则：02cos()yAtx 表示表示x x0 0 处质元在其平衡位置附近以角频率处质元在其平衡位置附近以角频率作简谐运动作简谐运动位移的变化规律。位移的变化规律。)(tyy tyOtx x0 0处的质元在不同时刻的相位差为处的质元在不同时刻的相位差为振动曲线振动曲线02co

7、s()yAtx 表示表示t t0 0时刻波线上各个质元偏离各自平衡位置的位移所时刻波线上各个质元偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线构成的波形曲线( (波形图波形图) )。2 2）. . 当当t t一定时一定时设：设：0()tt常则：则：)(xyy 沿波线方向，同一时刻任意两点沿波线方向，同一时刻任意两点x x1 1、x x2 2的简谐振动相位的简谐振动相位差为：差为：x 2xOyux x3 3x x2 2x x1 1x12122xx 以以x x、y y为坐标轴，将能得到一组曲线。为坐标轴，将能得到一组曲线。3 3）. x. x、t t都变化时都变化时)2cos(),(xtAtxyxOyut

8、uxt t1 1t t1 1+t+t 波动方程不仅表示波射线上给定点的振动情况，某时刻波形，初波动方程不仅表示波射线上给定点的振动情况，某时刻波形，初位相及比原点落后的相位，位相及比原点落后的相位， 还反映了振动状态的传播，波形的传播，还反映了振动状态的传播，波形的传播，能量的传播。能量的传播。0cos2 ()txyATt 或或 x 每增加每增加 T 或或 ,相位重复出现，反映了时间和空间的周期性。相位重复出现，反映了时间和空间的周期性。0( , )cos ()xy x tAtu02( , )cos()y x tAtx0(x,t)cos2 ()txyAT沿沿x轴正向传播的波函数的多种表达形式：

9、轴正向传播的波函数的多种表达形式：0(x,t)cos2 ()xyAt 0( , )cos()y x tAtkxuT2T2kux 6. 6. 沿沿x 轴负方向传播的平面简谐波的表达式轴负方向传播的平面简谐波的表达式O O点简谐振动方程：点简谐振动方程：tAycos0波函数为波函数为：)(cosuxtAyP P点的振动时间比点的振动时间比O O点处早点处早uxxOyuPP P点的相位比点的相位比O O点超前：点超前：x2)2cos(xtAP沿沿x 轴负方向传播的平面简谐波的表达式：轴负方向传播的平面简谐波的表达式：0( , )cos ()xy x tAtu02( , )cos()y x tAtx0

10、(x,t)cos2 ()txyAT0(x,t)cos2 ()xyAt 0( , )cos()y x tAtkxuT2T2ku例：设某一时刻绳上横波的波形曲线如图所示，波的传播方例：设某一时刻绳上横波的波形曲线如图所示，波的传播方向左。试分别用小箭头表明图中向左。试分别用小箭头表明图中A A、B B、C C、D D、E E、F F、G G、H H、I I各质点的运动方向，并画出经过各质点的运动方向，并画出经过1/41/4周期后的波形曲线。周期后的波形曲线。ABCDEFGHIxy波形图画法波形图画法B B、A A的振动总是落后于的振动总是落后于C C 点，点，D D、E E、F F、G G、H H

11、、I I 的振动总是超前于的振动总是超前于C C 点。点。 t=tt=t1 1时波形图时波形图xy0ACBEDGFIHxyABCDEFGHI经过经过T/4T/4的波形图的波形图u方法一：方法一：用周期、位移和相位的关系用描点法画波形图用周期、位移和相位的关系用描点法画波形图ut=tt=t1 1t=tt=t1 1+T/4+T/4例例1 1：一列平面简谐波以波速：一列平面简谐波以波速u u沿沿x x轴正向传播，波长为轴正向传播，波长为。已知在已知在A A点，点，x x0 0=/4=/4处的质元的振动表达式为处的质元的振动表达式为设在设在x x轴上任一点轴上任一点P P的坐标为的坐标为x x，uxx

12、t0tAyoxcos试写出波函数。并在同一张坐标图中画出试写出波函数。并在同一张坐标图中画出t=Tt=T和和t=5T/4t=5T/4时的波形图。时的波形图。解：解：x x/4/4x xO Oy yuA AP P)4(cosuxtAy波函数波函数：)4(2cosxtAux4 P点的振动要比点的振动要比A点的点的振动晚：振动晚： 任一点任一点P P的振动表达式即波函数为的振动表达式即波函数为)22cos(xtA)4(2cosxtAyx xx xy yP PA A/4/4O Ou从相位上看，从相位上看，P P点比点比A A点落后：点落后：x2tAyoxcos 因此在已知参考点的振动方程写波函数时，即

13、可从时因此在已知参考点的振动方程写波函数时，即可从时间差入手，也可从相位差入手，用相位差写时，由于质元间差入手，也可从相位差入手，用相位差写时，由于质元的距离之差较直观，所以更简单一些。的距离之差较直观，所以更简单一些。12)4(2xxx xt=Tt=T时的波形与时的波形与t=0t=0时的波形完全一样。时的波形完全一样。)22cos(xAyu2232T T4TT 可由可由给出给出t=5T/4t=5T/4时，波形曲线向时，波形曲线向x x轴正向平移了一段距离轴正向平移了一段距离41O Oy y4xA2sintux)45(TTuuT41例例2 2：一条长线用水平力张紧，其上产生一列简谐横波向左：一

14、条长线用水平力张紧，其上产生一列简谐横波向左传播，波速为传播，波速为20m/s20m/s，在，在t=0t=0时它的波形曲线如下，时它的波形曲线如下，1 1、求波的振幅、波长和波的周期；、求波的振幅、波长和波的周期；2 2、写出波函数；、写出波函数；3 3、写出质点振动速度表达式。、写出质点振动速度表达式。 t =0 x/mx/m0.70.7y/10y/10-2-2m m4 4O O A=4A=41010-2-2m m解：解：1、=0.4m=0.4m由图可看出由图可看出uTu)(501s)2cos(0tAy波函数为波函数为)25100cos(1042xt3 3

15、、质元振动速度、质元振动速度tyv波向左传播，则原点波向左传播，则原点O O处质元的振动表达式为处质元的振动表达式为2 2、 t =0 x/mx/m0.70.7y/10y/10-2-2m m4 4O O uA)22cos(xtAy)5100cos(6.12xt例例3：如图所示，已知振源：如图所示，已知振源 x=0 的振动曲线，的振动曲线， 沿沿 x 轴的正方轴的正方向传播，向传播，u=4m/s， 。求。求 t=3s 时波形曲线。时波形曲线。解：解：t=0时，时，x=0处的振动状态处的振动状态,经经3s后后传递的位移传递的位移-0.50.512 34t(s)y

16、(cm)0 x(m)y(cm)048120.5-0.5)2cos(5 . 00tyot=0:5 . 0cos5 . 00oy00)2cos(5 . 0tyo波函数：波函数：)4(2cos5 . 0 xtyt=3s:)823cos(5 . 0 xyO点的振动方程：点的振动方程：xut例例4：已知正向波在：已知正向波在t=0时的波形图，波速时的波形图，波速u=1200m/s。求波。求波函数和波长。函数和波长。x(m)y(cm)00.05-0.110Mut=0t+ t解：设波函数为解：设波函数为0( , )cos ()xy x tAtu由图，得：由图，得：A=0.10cm如何确定如何确定 ， 0 ？

17、 初始条件：初始条件：/20.05oyA0ovA/2 0= /3yM点：点：0MMxu 0Mv M=- /2100( , )0.1cos100 ()12003xy x tt224uTum/3o2 21.3 21.3 物体的弹性形变物体的弹性形变杨氏模量：杨氏模量：E E；胡克定律：弹性范围内，应力和线应变成正比胡克定律：弹性范围内，应力和线应变成正比llESF1. 1. 固体的线变固体的线变应力：应力：线应变：线应变：形变物体的弹性势能为：形变物体的弹性势能为：2)(21llEVS SlFFl;l lF/SF/S；2)(21lkWp2)(21llES21()2plEl单位体积的弹性势能为：单位

18、体积的弹性势能为：切变模量：切变模量：G G；弹性范围内，切应力和切应变成正比：弹性范围内，切应力和切应变成正比：GFdGSD 2. 2. 固体的切变固体的切变形变物体的弹性势能为：形变物体的弹性势能为：22211()()221()2pGSWkddDdGVDdddd切应力：切应力：F/SF/S；切应变：切应变： = d/Dd/D；D DS SFF21()2pdGD形变物体单位体积的弹性势能为：形变物体单位体积的弹性势能为：3. 3. 体变体变体积模量：体积模量：K K；体应变：体应变：V/VV/V；V压强的改变量：压强的改变量：PP；VVVKP则：则： 固体既能传播与切变有关的横波，又能传播与

19、线变和体固体既能传播与切变有关的横波，又能传播与线变和体变有关的纵波。变有关的纵波。p pp pp pp p 液体和气体可发生弹性体变但不能发生切变，所以只能液体和气体可发生弹性体变但不能发生切变，所以只能传播纵波而不能传播横波。传播纵波而不能传播横波。11VkKVP 引入压缩系数引入压缩系数k k：21.4 21.4 弹性介质中的波速弹性介质中的波速 (1) 弹性介质中的波是靠介质各质元间弹性力作用而弹性介质中的波是靠介质各质元间弹性力作用而形成的。因此弹性越强大介质，在其中形成的波动传播形成的。因此弹性越强大介质，在其中形成的波动传播速度就会越大；或者说，弹性模量越大的介质中，波动速度就会

20、越大；或者说，弹性模量越大的介质中，波动传播速度就越大。传播速度就越大。 (2) 波速与介质密度有关，密度越大，各质元质量越波速与介质密度有关，密度越大，各质元质量越大，惯性越大，速度越小大，惯性越大，速度越小。2. 2. 波动方程推导波动方程推导以棒中平面简谐纵波为例利用以棒中平面简谐纵波为例利用牛顿定律推导机械波波动方程牛顿定律推导机械波波动方程:yt时刻质元长度的增量时刻质元长度的增量;x:xx和和质元两端面的坐标质元两端面的坐标;:x质元长度质元长度;y:yy和和有波传播时有波传播时t时刻质元两端面离开平衡位置的位移。时刻质元两端面离开平衡位置的位移。:yx质元的质元的线应变线应变;x

21、y0 x令则平衡位置坐标为则平衡位置坐标为x的微小质元在的微小质元在t时刻的时刻的线应变线应变：图图21.10 推导波的速度用图推导波的速度用图xxxx 以以y y表示各处材料对于表示各处材料对于平衡位置的位移平衡位置的位移左端线应变：左端线应变： 右端线应变：右端线应变： xxy)(xxxy)(由胡克定律：由胡克定律：xxySEF)(1xxxySEF)(2)()(12xxxxyxySEFFxxySExxyxSE22)(x2F1F棒的质量为：棒的质量为： ;mS x当当xx很小时，棒的加速度为：很小时，棒的加速度为： 22ty由牛顿第二定律：由牛顿第二定律： 222222tyxStymxxyS

22、E即：即： 2222tyExy棒中纵波的传播速度：棒中纵波的传播速度： Eu棒中纵波波动方程棒中纵波波动方程 1. 1.固体棒中传播纵波时引起线变，而波速等于固体棒中传播纵波时引起线变，而波速等于luEE-E-杨氏模量；杨氏模量； - -质量体密度质量体密度 2. 2.拉紧的绳索或细线中，横波的波速为：拉紧的绳索或细线中，横波的波速为：FtluE-E-绳索或细线中张力；绳索或细线中张力； - -质量线密度质量线密度3. 3. “ 无限大无限大”各项同性均匀固体介质中波速为：各项同性均匀固体介质中波速为：G-G-切变模量切变模量 - -质量体密度质量体密度tuG4.4.液体和气体中传播的纵波波速

23、为：液体和气体中传播的纵波波速为：luKK-K-体积模量体积模量 - -质量体密度质量体密度;luE2.5 2.5 波的能量波的能量 波的强度波的强度)(cos),(uxtAtxy平面简谐波的波函数：平面简谐波的波函数： 机械波的能量等于振动动能加形变势能。机械波的能量等于振动动能加形变势能。该质元的动能为：该质元的动能为： 22)(21)(21vVvmWk1 1 机械波的能量机械波的能量考虑一质元体积考虑一质元体积 V V，长度，长度 x x，其质量为，其质量为 m m = = V V 该质元的振速为：该质元的振速为：)(sinuxtAtyv以棒中简谐纵波为例：以棒中简谐纵波为例： )(si

24、n)(21222uxtAVWk该质元的线应变为：该质元的线应变为：)(sinuxtuAxy)(sinuxtuAxy动能和势能同相地随时间变化，在任意时刻都具有相同的数值。动能和势能同相地随时间变化，在任意时刻都具有相同的数值。)(sin)(21222uxtAVWk质元动能：质元动能：该质元的线应变：该质元的线应变：2)(21xyVEWpVuxtAuE)(sin212222)(sin)(21222uxtAV波动不同于孤立振动系统的重要特点波动不同于孤立振动系统的重要特点! !体积元的总机械能体积元的总机械能 pkWWW)(sin)(222uxtVA2221sin ()2PdEAtkx dV222

25、sin ()PkdEdEdEAtkx dV2221sin ()2kdEAtkx dV波的能量的讨论：波的能量的讨论：1） 任一时刻动能势能都相等。任一时刻动能势能都相等。2） 动能势能同相变化。动能势能同相变化。通过平衡位置时：通过平衡位置时：动能最大：相对形变最大，势能最大。动能最大：相对形变最大，势能最大。到达最大位移处：到达最大位移处：动能为零；相对形变为零，势能为零。动能为零；相对形变为零，势能为零。 xy质元的振动方程形式是简谐振动的形式，但是能量不守恒！质元的振动方程形式是简谐振动的形式，但是能量不守恒！t t固定，该时刻质元的固定，该时刻质元的W Wk k、W Wp p均随均随x

26、 x周期性变化周期性变化tOEtOE与振动情形相与振动情形相比，波动传播比，波动传播能量，振动系能量，振动系统并不传播能统并不传播能量。量。xyO22ut=0t=0时时xyO22ut=T/4t=T/4时时能量值是时间的能量值是时间的周期函数；在波周期函数；在波的传播过程中，的传播过程中，任一质元都在不任一质元都在不断地接受和放出断地接受和放出能量。能量。222sinPkdWdWdWAtkx dV222sindWwAtkxdVTAwdtTw0222112. 能量密度能量密度uSwdtdtuSwP平均能流：平均能流：平均能流密度平均能流密度 （波的强度）：（波的强度）：单位时间内通过垂直于波线单位

27、单位时间内通过垂直于波线单位面积的平均能量。面积的平均能量。平均能量密度：平均能量密度：单位时间内通过垂直于波线某一面积的平均能量。单位时间内通过垂直于波线某一面积的平均能量。S lu能流：单位时间内通过某一面积的能量。能流：单位时间内通过某一面积的能量。SPIuAuw2221u1S2S波面波面TSITSI2211222211221122A uS TA uS T21AA 波线波线能量守恒研究波强和振幅！能量守恒研究波强和振幅！1S2S1r2r 思想：假设介质不吸收波的能量，由能量守恒入手进行分析。思想：假设介质不吸收波的能量，由能量守恒入手进行分析。设设A A1 1为离波源距离为单位长度处的振

28、幅。为离波源距离为单位长度处的振幅。波线波线波面波面平面波：平面波：TSITSI2211TSAuTSAu22221212212124;Sr22222121rArA)(cos1urtrAy球面波：球面波：2.62.6惠更斯原理惠更斯原理 波的反射、折射、衍射、干涉波的反射、折射、衍射、干涉 波在弹性介质中运动时波在弹性介质中运动时, ,任一点任一点P P的振动的振动, ,将会引起邻将会引起邻近质点的振动。就此特征而言，振动着的近质点的振动。就此特征而言，振动着的 P P 点与波源相点与波源相比，除了在时间上有延迟外，并无其他区别。因此比，除了在时间上有延迟外，并无其他区别。因此，P P可可视为一

29、个新的波源。视为一个新的波源。1. 基本思想基本思想障碍物的小孔成为新的波源障碍物的小孔成为新的波源S S1 1S S1 1用惠更斯原理可确定新的波阵面用惠更斯原理可确定新的波阵面2. 2. 惠更斯原理惠更斯原理 介质中任一波阵面上的各点，都可以看作是发射子波介质中任一波阵面上的各点，都可以看作是发射子波的波源，其后的任一时刻，这些子波的包络面（包迹）就的波源，其后的任一时刻，这些子波的包络面（包迹）就是新的波阵面（波前）。是新的波阵面（波前）。惠更斯惠更斯平面波平面波球面波球面波ututS S1 1S S2 2S S2 2ututu3.3.用惠更斯原理解释波的反射用惠更斯原理解释波的反射E2

30、CE1NNAI2d3dd3LiiiBDiiii 反射定律：反射定律：turtur32tur31AB1B2B3DA321n4. 4. 波的折射波的折射折射定律：折射定律：折射定律的推导：折射定律的推导：ACBCi sinACAD sinn1 1n n2 2i iB Btu 1tu 2C CA Ai i21sinsinuui12nnADBCisinsintutu2121uu2112nnnDE2E15. 5. 波的衍射现象波的衍射现象 波传播过程中遇到障碍物时波传播过程中遇到障碍物时, ,能绕过障碍物的边缘而能绕过障碍物的边缘而继续传播的现象。继续传播的现象。6. 6. 波的干涉波的干涉 波叠加时在

31、空间出现波叠加时在空间出现稳定稳定的振的振动加强和减弱的分布动加强和减弱的分布干涉现象干涉现象相干条件相干条件 振动方向相同振动方向相同 频率相同频率相同 相位相同或相位差恒定相位相同或相位差恒定相干波：相干波：满足相干条件的几列波称为相干波。满足相干条件的几列波称为相干波。相干波源：相干波源：能发出相干波的波源称为相干波源。能发出相干波的波源称为相干波源。声波的叠加声波的叠加引入：引入：一一. . 波的叠加原理：波的叠加原理：在波相遇的空间点，任一时刻质点的位移是各列波单独存在时在波相遇的空间点，任一时刻质点的位移是各列波单独存在时在该点产生的位移的矢量和。在该点产生的位移的矢量和。nyyy

32、21,nyyyy21设设n n列波分别在空间列波分别在空间P P点产生的位移分别为：点产生的位移分别为：则该点的总位移：则该点的总位移： 二二. 波的独立性原理波的独立性原理绳波绳波水波水波光波光波两列波在相遇后，仍然各自保持两列波在相遇后，仍然各自保持自身的波动特性，这就是波传播自身的波动特性，这就是波传播的独立性原理。的独立性原理。细雨绵绵，独立传播！细雨绵绵，独立传播！1.驻波现象：驻波现象：两列振幅相同的相干波在同一条直线上沿两列振幅相同的相干波在同一条直线上沿相反相反方向传播时叠加而形成的一种特殊现象。方向传播时叠加而形成的一种特殊现象。三三. 驻波驻波xyO42430tx4Tt x

33、2Tt x43Tt xTt OACEFGBDH驻驻 波波 的的 形形 成成驻波的振幅驻波的振幅与位置有关与位置有关各质点都在作同各质点都在作同频率的简谐运动频率的简谐运动2. 2. 对驻波的定量描述对驻波的定量描述沿沿x x轴正方向传播的波函数为轴正方向传播的波函数为 沿沿x x轴负方向传播的波函数为轴负方向传播的波函数为 )2cos(1xtAy)2cos(2xtAy合成波：合成波：22cos()cos()yAtxAtx21yyytxAcos2cos2（1 1） 驻波方程驻波方程22 coscosyAxt 驻波方程驻波方程 讨论讨论4）振幅振幅 随随 x 而异，而异， 与时间无关与时间无关.x

34、A2cos21）这一函数不满足这一函数不满足 ，因此，它不表，因此，它不表 示行波，只表示各点都在做简谐运动。示行波，只表示各点都在做简谐运动。(,)( , )y tt xu ty t x 2 2）驻波的波形、能量都不能传播，驻波不是波，是一种特殊驻波的波形、能量都不能传播，驻波不是波，是一种特殊 的振动。的振动。 3）相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节两侧相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节两侧 振动振动 相位相反，在相位相反，在波节波节处产生处产生 的的相位跃变相位跃变 .（与行波不（与行波不 同，无相位的传播）同，无相位的传播）.x2cos2 0,1,2,xkk12 () 0, 1

35、, 2,2xkk10波节、波腹位置波节、波腹位置22 coscosyAxt 驻波方程驻波方程 ,.2, 1,0k2kx 波腹波腹,.2, 1, 0k4)12(kx波节波节相邻波节距离相邻波节距离4)12(41)1(21kkxxkk2相邻波腹距离相邻波腹距离22)1(1kkxxkk2波腹波腹波节波节2/2/结论：结论： 同一段上的各点的振动同相，而相邻两段中的各点同一段上的各点的振动同相，而相邻两段中的各点的振动反向。的振动反向。 驻波实际上是分段振动现象，在驻波中，没有振动驻波实际上是分段振动现象，在驻波中，没有振动状态或相位的传播，也没有能量的传播，所以称为驻状态或相位的传播，也没有能量的传

36、播，所以称为驻波。波。3. 3. 半波损失半波损失对绳上驻波，如反射端固定，反射端只能是波节对绳上驻波，如反射端固定，反射端只能是波节反射端反射端 说明入射波和反射波在固定的反射端刚好反向，入说明入射波和反射波在固定的反射端刚好反向，入射波在反射时有射波在反射时有的相位突变。的相位突变。 因为相距半波长的两点相位差为因为相距半波长的两点相位差为，所以这种，所以这种的相位的相位突变一般形象地称为突变一般形象地称为“半波损失半波损失”x x/2/2A AB B 密度密度 与波速与波速u u的乘积的乘积 u u 较大的介质称为较大的介质称为波密介质波密介质， u u 较较小的介质称为小的介质称为波疏

37、介质波疏介质。x222 当波从波疏介质当波从波疏介质垂直入射垂直入射到波密介质，到波密介质， 被反射被反射到波疏介质时形成到波疏介质时形成波节波节. 入射波与反射波在此处的相入射波与反射波在此处的相位时时位时时相反相反, 即反射波在即反射波在分界处分界处产生产生 的相位的相位跃变跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失半波损失.波密波密介质介质u较大较大波疏介质波疏介质较小较小u 当波从波密介质垂直入射到波疏介质，当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射到波密介质时被反射到波密介质时形成形成波腹波腹. 入射波与反射波在此处的相位时时入射波与反射波在此处的

38、相位时时相同相同，即反射波在，即反射波在分界处分界处不不产生相位产生相位跃变跃变. .波从波疏媒质进入波密媒质；波从波疏媒质进入波密媒质；. .反射波存在半波损失，相位突变反射波存在半波损失，相位突变。4. 4. 弦振动系统的简正模式弦振动系统的简正模式对两端固定的弦线，长度等于半波长的整数倍时才能形成驻波。对两端固定的弦线，长度等于半波长的整数倍时才能形成驻波。 2,1,2nnL 驻波条件驻波条件, 3, 2, 1,2nnLn在长度为在长度为L的绳上能形成驻波的波长是不连续的。的绳上能形成驻波的波长是不连续的。由此由此由由u得得, 3, 2, 1,2nLununn弦振动的本征频率，也叫做系统

39、的固有频率（多个）弦振动的本征频率，也叫做系统的固有频率（多个） 其中最低频率其中最低频率1称为基频，其它较高频率都是基频的整数倍，称为基频，其它较高频率都是基频的整数倍，分别称为二次、三次谐频。分别称为二次、三次谐频。 每一频率对应于一种可能的振动方式，称为弦线振动的每一频率对应于一种可能的振动方式，称为弦线振动的简正模式简正模式。:n1nLu2122nLu23nLu23323两端固定两端固定 当外界驱动源的频率等于某个固有频率时，就会当外界驱动源的频率等于某个固有频率时，就会激起强驻波，这种现象也称为共振。激起强驻波，这种现象也称为共振。 一般情况下，一个驻波系统的振动，是它的各种简一般情

40、况下，一个驻波系统的振动，是它的各种简正模式的叠加。正模式的叠加。振动的简正模式振动的简正模式用电动音叉在绳上产生驻波用电动音叉在绳上产生驻波这一驻波是由音叉在绳中引起的向右传播的波和反射后向左这一驻波是由音叉在绳中引起的向右传播的波和反射后向左传播的波合成的结果。改变拉紧绳子的张力，就能改变波在传播的波合成的结果。改变拉紧绳子的张力，就能改变波在绳上的传播速度。绳上的传播速度。波密波密波疏波疏反射面反射面x xO OuA A43u入射波入射波反射波反射波例例1（2.18) 一平面简谐波沿一平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为轴正方向传播，振幅为A，频率为频率为，传播速度为，传播速度为u，1、

41、t=0时，在原点时，在原点O处的质元由平衡位置向处的质元由平衡位置向x轴正方向运轴正方向运动，试写出此波的波函数；动，试写出此波的波函数；2、若经分界面反射的波的振幅和入射波的振幅相等，试、若经分界面反射的波的振幅和入射波的振幅相等，试写出反射波的波函数，并求在写出反射波的波函数，并求在x轴上因入射波和反射波叠轴上因入射波和反射波叠加而静止的各点的位置。加而静止的各点的位置。解解: :参考点参考点O的振动方程为的振动方程为)2cos(10tAy)2cos(10tAy)22cos(tA入射波的波函数为：入射波的波函数为：)222cos(1xtAy)222cos(xutA以以A点做为反射波的参考点

42、。点做为反射波的参考点。A点的振动方程为点的振动方程为)24322cos(20utAy波密波密波疏波疏反射面反射面O OA A43uu反射波反射波入射波入射波x x)24322cos(20utAy反射波的波函数为：反射波的波函数为：)43(224322cos2xuutAy波密波密波疏波疏反射面反射面O O43uuA Ax xx x考虑到存在半波损失，则考虑到存在半波损失，则)222cos(xutA y1、y2叠加，叠加，A点肯点肯定是波节，另一波节与定是波节，另一波节与A 点相距点相距/2，即在即在4243x处处P POx xu反射端反射端uP Px x例例2：在绳上传播的入射波方程为：在绳上

43、传播的入射波方程为)22cos(1xtAy入射波在入射波在x=0处反射，反射端固定，设反射波不衰减，求处反射，反射端固定，设反射波不衰减，求驻波方程及波节和波腹的位置。驻波方程及波节和波腹的位置。解解: : 先由入射波方程写出先由入射波方程写出O点的振点的振动方程，然后以动方程，然后以O点为参考点点为参考点写出反射波的方程。写出反射波的方程。入射波沿入射波沿x轴负向传播，所以轴负向传播，所以O点的振动方程为点的振动方程为)2cos(10tAy反射波在反射波在O点处有半波损失，点处有半波损失，反射波在反射波在O点的振动方程点的振动方程)2cos(20tAy反射波向右传播，其波动方程为反射波向右传

44、播，其波动方程为)22cos(2xtAy)2cos(20tAy)2cos(tA驻波方程为驻波方程为21yyy)22cos(xtA)22cos(xtAtxAcos)22cos(波腹位置：波腹位置：波节位置：波节位置：1)22cos(x0)22cos(xOx xuuP Px x反射端反射端半波反射半波反射波密波密波疏波疏反射波中的半波损失问题反射波中的半波损失问题21.11 21.11 多普勒效应多普勒效应1.1.机械波的多普勒效应机械波的多普勒效应 当波源当波源S S和接收器和接收器R R 有相对运动时有相对运动时, , 接收器所测得的接收器所测得的频率频率 R R 不等于波源的振动频率不等于波

45、源的振动频率 S S 的现象。的现象。一一. . 多普勒效应多普勒效应参考系参考系: :介质介质波源振动频率波源振动频率 S S： 波源单位时间内的振动次数。波源单位时间内的振动次数。波的频率波的频率 ： 单位时间内通过介质中某点的完整波的个数。单位时间内通过介质中某点的完整波的个数。u接收器的接收频率接收器的接收频率 R R : : 接收器单位时间接收到的完整波数目。接收器单位时间接收到的完整波数目。符号规定符号规定: :假定波源和接收器在同一条直线上运动。假定波源和接收器在同一条直线上运动。SRSVRV波源相对介质的速度，波源相对介质的速度，以趋近于观察者为正以趋近于观察者为正接收器相对介

46、质的速度，接收器相对介质的速度，以趋近于波源为正以趋近于波源为正vs ：vR ：（1 1） 波源和接收器相对介质都静止波源和接收器相对介质都静止0RVS（2 2）波源相对介质静止波源相对介质静止,接收器朝向波源运动接收器朝向波源运动0SVRSR但波源不动，观察者相对介质以速度波源不动，观察者相对介质以速度 朝向波源运动朝向波源运动oRVVSRVRu 单位时间内通过接收器单位时间内通过接收器R的完整波个数等的完整波个数等于分布在于分布在 u+VR 距离内波的个数。距离内波的个数。接收频率接收频率 R R 等于等于RRVuvuVuRSRRuVuvSRuV)1 ( RS/uVuR当接收器朝着波源运动

47、时，当接收器朝着波源运动时，观察者远离波源运动观察者远离波源运动RRu V(1)(2)RSVu RSuVuT接收频率降低了！接收频率降低了！t+t+1 1秒时刻秒时刻的波阵面的波阵面t t时刻的波阵面时刻的波阵面RVu uSR（3 3）接收器相对介质静止）接收器相对介质静止, ,波源朝向接收器运动波源朝向接收器运动RS但sVS R R0uTuTS SsVSssTVABSSVu/u波的频率0:SSV T观察者测得波的波长SSTVu)( SSVuu)( R观察者不动，波源相对介质以速度观察者不动，波源相对介质以速度 朝向接收器运动朝向接收器运动sVt t时刻的波阵面时刻的波阵面u uSVt+t+1

48、 1秒时刻秒时刻的波阵面的波阵面波源远离观察者以速度波源远离观察者以速度 运动运动SVRSSuV TSSSTVuTuSSVuu接收频率降低了！接收频率降低了！.(4).(4)TVSy yy y由于波源的运动：由于波源的运动：SSRRVuVu由于观察者的运动：由于观察者的运动：（4 4） 接收器、波源相对介质相向运动接收器、波源相对介质相向运动 S S R R接收器、波源相对介质彼此离开时：接收器、波源相对介质彼此离开时：SSRVuuuVuuVuRSRRRRSSuVuV2. 2. 电磁波的多普勒效应电磁波的多普勒效应当波源和观测者在同一直线上运动时，得到：当波源和观测者在同一直线上运动时，得到：

49、 11RSV cvvV cV V 波源和接收器之间相对运动的速度波源和接收器之间相对运动的速度波源与观测者相互接近时波源与观测者相互接近时, , V V取正值，取正值，波源与观测者相互远离时波源与观测者相互远离时, , V V取负值，取负值，RSRS 前者接收到的频率比发射频率高，波长变短，称为前者接收到的频率比发射频率高，波长变短，称为紫移紫移； 后者接收到的频率比发射频率低，波长变长，称为后者接收到的频率比发射频率低，波长变长，称为红移红移。二二. . 冲击波冲击波 V VS S u u 时，波源将位于波前的前方时，波源将位于波前的前方, ,前述的计算公式不前述的计算公式不再有意义。再有意

50、义。u ut tS SV VS St t 这时，波源发出的波的各波前的切面形成一个圆锥面这时，波源发出的波的各波前的切面形成一个圆锥面马赫锥马赫锥a aS S超音速飞机在空气中激起圆锥形波叫超音速飞机在空气中激起圆锥形波叫冲击波。冲击波。飞行速度与声速的比值飞行速度与声速的比值V VS S /u /u 称马赫数，可决定称马赫数，可决定a a 角角 船速超过水波的波速时，在船后激起以船为顶端的船速超过水波的波速时，在船后激起以船为顶端的V V形波，形波，称为舷波。称为舷波。第二章第二章 作业作业P43P43： 3 3，5 5，1515，1717，1818例例 1. 若一平面简谐波的波动方程为若一平面简谐波的波动方程为),cos(cxBtAy式中式中 A, B, C 为正值恒量，则为正值恒量，则(A) 波速为波速为 C . (B) 周期为周期为 1/B .(C) 波长为波长为 2/ C . (D) 圆频率为