高中数学 教学教研(名师研讨 教学设计 数学解题 反思 总结) 蜜蜂周报 第18期

1、蜜蜂周报第 18 期 1 / 59蜜 蜂 周 报第 18 期（2020 年 7 月 13 日-7 月 19 日）蜜蜂周报第 18 期 2 / 59关于数学解题学习的 6个关键词l 联系我所解决的每一个问题都将成为一个范例,用来于解决其他问题。笛卡尔l 反思没有任何一道题可以解决得十全十美，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。波利亚l 分类恰当地对题目、对解法进行分类，能让你的解题经验更加有序，更有结构化地在大脑里存储，便于你解题时进行检索，确定解题思路。蜜蜂周报第 18 期 5 / 592020 年第

2、 18 期目录第 1 题 7 月 13 日 2020 高考山东卷若干试题分析.1第 2 题 7 月 14 日 是数列问题也是代数问题.2第 3 题 7 月 14 日 三角形内心向量问题.5第 4 题 7 月 15 日 2020 高考北京卷若干试题分析.6第 5 题 7 月 15 日 2020 高考浙江卷若干试题分析.10第 6 题 7 月 16 日 2020 高考江苏卷若干试题分析.16第 7 题 7 月 16 日 台湾教材对二面角的定义.27第 8 题 7 月 17 日 三角形三线合一问题.30第 9 题 7 月 17 日 更像是初中平面几何的一个最值问题.33第 10 题 7 月 17 日

3、 两道 2020 高考不等式试题.36第 11 题 7 月 17 日 椭圆中的轨迹问题（这不是重点）.42第 12 题 7 月 18 日 这个比较大小问题有点新意.46第 13 题 7 月 18 日 一道中考题 .48第 14 题 7 月 18 日 一道三角函数最值问题.50蜜蜂周报第 1-17 期合订本下载.53附录.53蜜蜂周报第 18 期 1 / 59第 1 题 7 月 13 日 2020 高考山东卷若干试题分析最后我看了一下标题，写的是“若干”，设计上我只收录了一道题，我还没有仔细看过山东卷，目前只看到这个题我比较有兴趣。也可能以后会陆续再续。这个日晷的题，应该是和今年的金字塔、天坛属

4、于一个系列，即“数学文化”的。我对日晷比较感兴趣，就去搜索了一下。原来日晷也是有两种的。我以前在电视上看到过日晷面与地面平行的。蜜蜂周报 第 18 期 1 / 59蜜蜂周报第 18 期 2 / 59从我搜索得到的信息来看，日晷，这个情境，对大多数学生应该不会造成很大的理解困难，即使在数学试题里没遇到过，那在地理学科里也是不陌生的。第 2 题 7 月 14 日 是数列问题也是代数问题一、题目二、解法两位老师给出了下面的解答：蜜蜂周报 第 18 期 2 / 59蜜蜂周报第 18 期 3 / 59很巧妙，但似乎 a2 的出现比较突然。可以看出，引入 a2 和 d 后，条件和目标都用他们俩来表示，而且

5、条件化简后形式比较简单，系数相同，没有交叉项。如果用 a1 和 d，条件化简后，两个变量的系数就不会相同了，而且出现交叉相乘的项。可能柯西会失效。这个题我刚看到的时候，没想到上述方法，我采取了比较笨的转化代数问题的方式，即万能设 k 大法：蜜蜂周报 第 18 期 3 / 59蜜蜂周报第 18 期 4 / 59后来我看到上述柯西不等式的方法后就想，如果一开始设的是 a1 和 d，尽管条件变得稍微复杂了些，但能否用柯西来做呢？试一试才知道！其实也是可以的：后来我接着想，那不用 a1 和 d，用别的项行不行呢，比如再用 a5 和 d 试试：蜜蜂周报 第 18 期 4 / 59蜜蜂周报第 18 期 5

6、 / 59你看，用 a5 和 d 也可以！到这里，我们就可以大胆地说，这个题用任何两组基本量都可以用柯西解决！这是不是有点出人意料。（当然，计算量会有些许差别）就像我在前面几期提到的，数学老师自己在平时解题时应该是有所追求的，追求“更多”（多种解法），追求“更简”（方法的简介）。有时候我们没找到这两个“更”，也许是因为“没找到”，而不是“不存在”。这些都需要我们在得到一个解法后不断地反思才行。简单说不满足得到答案！第 3 题 7 月 14 日 三角形内心向量问题这个题，有的老师说可以用“等差线”来做，我没学过“等差线”这个技术，所以用了下面的方法。这个方法的操作特点是等式两侧同乘一个向量，制造

7、数量积。蜜蜂周报 第 18 期 5 / 59蜜蜂周报第 18 期 6 / 59第 4 题 7 月 15 日 2020 高考北京卷若干试题分析这个题，如果把它当成“套路题”，即一般的 asinx+bcosx 型函数来做，当然可以，甚至过程中还是有一定难度的，因为用到了“辅助角公式的高级应用”。如下：蜜蜂周报 第 18 期 6 / 59蜜蜂周报第 18 期 7 / 59如果注意到了已知条件中的“2”这个数据，应该有足够的敏感，想到正余弦函数的有界性，那样解法就非常简单了。正如单墫老师写的：蜜蜂周报 第 18 期 7 / 59蜜蜂周报第 18 期 8 / 59只看第二问因为第二问是一个纯代数最值问题

8、，所以方法还是比较多的，基本的，高级的都可以上，比如：蜜蜂周报 第 18 期 8 / 59蜜蜂周报第 18 期 9 / 59再比如这个公众号的大招：（当然学生不大可能这么做，这里只是作为方法呈现）蜜蜂周报 第 18 期 9 / 59蜜蜂周报第 18 期 10 / 59第 5 题 7 月 15 日 2020 高考浙江卷若干试题分析来自杨苍洲老师的公众号。蜜蜂周报 第 18 期 10 / 59蜜蜂周报第 18 期 11 / 59蜜蜂周报 第 18 期 11 / 59蜜蜂周报第 18 期 12 / 59蜜蜂周报 第 18 期 12 / 59蜜蜂周报第 18 期 13 / 59蜜蜂周报 第 18 期

9、13 / 59蜜蜂周报第 18 期 14 / 59蜜蜂周报 第 18 期 14 / 59蜜蜂周报第 18 期 15 / 59蜜蜂周报 第 18 期 15 / 59蜜蜂周报第 18 期 16 / 59第 6 题 7 月 16 日 2020 高考江苏卷若干试题分析蜜蜂周报 第 18 期 16 / 59蜜蜂周报第 18 期 17 / 59蜜蜂周报 第 18 期 17 / 59蜜蜂周报第 18 期 18 / 59蜜蜂周报 第 18 期 18 / 59蜜蜂周报第 18 期 19 / 59以下解答来自公众号“高中数学教师 JQ”.蜜蜂周报 第 18 期 19 / 59蜜蜂周报第 18 期 20 / 59蜜

10、蜂周报 第 18 期 20 / 59蜜蜂周报第 18 期 21 / 59蜜蜂周报 第 18 期 21 / 59蜜蜂周报第 18 期 22 / 59蜜蜂周报 第 18 期 22 / 59蜜蜂周报第 18 期 23 / 59蜜蜂周报 第 18 期 23 / 59蜜蜂周报第 18 期 24 / 59蜜蜂周报 第 18 期 24 / 59蜜蜂周报第 18 期 25 / 59蜜蜂周报 第 18 期 25 / 59蜜蜂周报第 18 期 26 / 59蜜蜂周报 第 18 期 26 / 59蜜蜂周报第 18 期 27 / 59第 7 题 7 月 16 日 台湾教材对二面角的定义在“中国数学解题研究会”QQ 群

11、，有一位来自宝岛台湾的洪老师，这几天他给我们提供了今年台湾省（这三个字必须强调哈哈）的高考题；另外，在讨论新教材对二面角问题的描述时，洪老师也把台湾教材截图给我们大陆的老师看了一下：上图是新版人教高中数学教材对二面角的处理。和以前老版教材不同的是，这次新引入了一个概念，“两个平面的夹角”。下面是台湾教材。蜜蜂周报 第 18 期 27 / 59蜜蜂周报第 18 期 28 / 59蜜蜂周报 第 18 期 28 / 59蜜蜂周报第 18 期 29 / 59蜜蜂周报 第 18 期 29 / 59蜜蜂周报第 18 期 30 / 59第 8 题 7 月 17 日 三角形三线合一问题这个题的条件比较特别，我

12、还没有仔细看，先收录进来。蜜蜂周报 第 18 期 30 / 59蜜蜂周报第 18 期 31 / 59蜜蜂周报 第 18 期 31 / 59蜜蜂周报第 18 期 32 / 59蜜蜂周报 第 18 期 32 / 59蜜蜂周报第 18 期 33 / 59第 9 题 7 月 17 日 更像是初中平面几何的一个最值问题来自王远征老师的公众号。蜜蜂周报 第 18 期 33 / 59蜜蜂周报第 18 期 34 / 59蜜蜂周报 第 18 期 34 / 59蜜蜂周报第 18 期 35 / 59我看这个题应该不是很难，本着对“更多”的追求，就想了一下还有无其他方法，关注到那个垂直，可以联想到圆，所以产生了下面的

13、解法，虽然并不是很快捷，不失为一种方法。用到切割线定理。蜜蜂周报 第 18 期 35 / 59蜜蜂周报第 18 期 36 / 59第一个等式如果不用切割线定理，就用勾股定理也可以， DC2 + OD2 = OC2 。或者，下面这样，cos与相似结合构造方程组；第 10 题 7 月 17 日 两道 2020 高考不等式试题第一题一、下面的解答来自公众号“邹生书数学”蜜蜂周报 第 18 期 36 / 59蜜蜂周报第 18 期 37 / 59蜜蜂周报 第 18 期 37 / 59蜜蜂周报第 18 期 38 / 59蜜蜂周报 第 18 期 38 / 59蜜蜂周报第 18 期 39 / 59二、我的思考

14、本题实际上是所谓“双重最值”，或者叫“嵌套最值”，即求 maxminf(x),g(x) 或minmaxf(x),g(x)，我知道这种问题有一种方法是构造同向不等式，相乘或者相加，例如：蜜蜂周报 第 18 期 39 / 59蜜蜂周报第 18 期 40 / 59那么这个高考题行不行呢？下面是我的尝试过程：蜜蜂周报 第 18 期 40 / 59蜜蜂周报第 18 期 41 / 59第三个尝试成功了。第二题蜜蜂周报 第 18 期 41 / 59蜜蜂周报第 18 期 42 / 59第 11 题 7 月 17 日 椭圆中的轨迹问题（这不是重点）一、题目（目前我对圆锥曲线解答题还没有仔细研究，所以只是在“外围

15、”做一些工作）蜜蜂周报 第 18 期 42 / 59蜜蜂周报第 18 期 43 / 59二、解答蜜蜂周报 第 18 期 43 / 59蜜蜂周报第 18 期 44 / 59蜜蜂周报 第 18 期 44 / 59蜜蜂周报第 18 期 45 / 59以上解答均来自微信群“高中数学解题交流二群”。其实我收录这个题的主要原因，并不是看中这个题有什么特殊之处，而是因为我是在搜索研究另外一个问题时，无意中发现了一个文献和本题有关，实在是有趣！既然多做了一些工作就收录了吧。我的发现其实就是本题在圆中的版本，也是前面解法中有老师提到的“把此问题变换到圆中”。我无意中发现专门有一篇论文专门研究此题，作为附录放在第

16、 18 期后面了。蜜蜂周报 第 18 期 45 / 59蜜蜂周报第 18 期 46 / 59（看截图，我本来是在搜索“双重最值”问题的相关文献时，无意中看到这个题的，它与我要找的东西恰好在同一个页面内。所以我经常说，搜索经常会有意外发现）第 12 题 7 月 18 日 这个比较大小问题有点新意看到一个比较大小的题比较有新意就收录了：蜜蜂周报 第 18 期 46 / 59蜜蜂周报第 18 期 47 / 59看完这个题后，我就又本着“更多”（这次实际上是“多变”）的原则，把它变式了一下，如下：解法是类似的：XY，这个简单；与根号 10 比较的话，仍然是把二者相乘，会产生六项，分组处理，用到均值不等式，相当于放缩了。蜜蜂周报 第 18 期 47 / 59蜜蜂周报第 18 期 48 / 59第 13 题 7 月 18 日 一道中考题一、题目（以后我要多做点初中题目了，毕竟，我的儿子要参加中考哇！）二、解法蜜蜂周报 第 18 期 48 / 59蜜蜂周报第 18 期 49 / 59有个老师一下提供了 4 种解法，图上的数据不是很清楚，但应该可以看出思路。（最后一种就是上面的初中做法）蜜蜂周报 第 18 期 49 / 59蜜蜂周报第 18 期 50 / 59第 14 题 7 月 18 日 一道三角函数最值问题一、题目二、解答二蜜蜂周报 第 18 期 50 / 59蜜