解析几何知识点总结(高考复习)

1、1. 直线与方程5、两点间距离公式：P1P2= x2 - x12+ y2 - y12()()1、倾斜角与斜率：k = tan =2、直线方程：y2 - y1x2 - x16、点到直线距离公式：Ax0 + By0 + Cd =A2+B2点斜式：斜截式：两点式：截距式：一般式：y - y0 = k(x - x0 )y = kx + by -y1y2-y1x -x1=-x1x2x y+ = 1a bAx + By + C = 07、两平行线间的距离公式：l1： Ax + By + C1 = 0 与 l2 ： Ax + By + C2 = 0平行，C1- C2则 d =A2+B22. 圆与方程1、圆的

2、方程： 标准方程： (x - a)2 + (y - b )2 = r 23、对于直线：l1 : y = k1 x + b1 , l2 : y = k 2 x + b2 有： l1 / l 2k1= k2?；b1 b2 l1 和 l2 相交 ? k1 k2 ；k1= k 2； l1 和 l2 重合 ?= b2b1 l1 l 2 ? k1k 2 = - 1 .4、对于直线：l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0,有：l 2 : A2 x + B2 y + C2 = 0A1 B2= A2B1 l1 / l 2 ?；B1C 2B2C1 l1 和 l2 相交 ? A1B2 A2 B1； l1

3、 和 l2A1 B2= A2B1重合 ?= B2C1；B1C2 l1 l 2 ?A1 A2 + B1 B2 = 0 .其中 圆心为 (a,b) ，半径为 r . 一般方程： x2+ y 2 + Dx + Ey + F = 0 .DE122其中 圆心为 (-, - ) ，半径为 r =D+ E-4F.2222、直线与圆的位置关系直线 Ax + By + C = 0 与圆 ( x - a) 2 + ( y - b)2 = r 2的位置关系有三种:d > r ?相离 ? < 0 ;d = r ?相切 ? = 0 ;d < r ?相交 ? > 0 .弦长公式： l = 2 r

4、2- d 2= 1+ k 2( x1 - x2 ) 2 - 4 x1 x23、两圆位置关系： d = O1 O2外离： d > R + r ；外切： d = R + r ；相交： R - r < d < R + r ；内切： d = R - r ；内含： d < R - r .3、空间中两点间距离公式：P1 P2 = (x2 - x1 )2+ (y2 - y1 )2+ (z2 - z1 )2焦点的位置图形3椭圆焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程第一定义x 2+y2= 1(a > b > 0)a2b2到两定点 F1 、F2 的距离之和等于常数y2x2a2

5、 +b2 = 1(a > b > 0 )2 a ，即 | MF1 | + | MF 2 |= 2a （ 2a >| F1F2 | ）第二定义范围顶点轴长与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数- a x a 且 - b y b1 (- a,0 )、 2 (a,0 )1 (0, - b)、 2 (0,b)长轴的长 = 2aMFe ，即= e (0 < e < 1)- b x b 且 - a y a1 (0, - a ) 、 2 (0,a )1 (- b,0 )、 2 (b,0 )短轴的长 = 2b对称性焦点焦距离心率准线方程关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心

6、对称F1 (- c,0 )、 F2 (c,0 )F1 (0, - c )、 F2 (0, c)F1F2 = 2c(c2 = a2 - b2 )c222b2eca- b1(0e1)= a=a2=a 2=- a2<<x = ±a 2y = ±a2cc焦半径左焦半径：MF1= a + ex0下焦半径： MF1= a + ey0M ( x0, y0 )右焦半径：MF 2= a - ex0上焦半径： MF 2= a - ey0焦点三角形面积SMFF2=b2tan (F1 MF2 )?12= 通径过焦点且 垂直于长轴的弦 叫通径： HH 2b2=a（焦点）弦长公式A( x1

7、, y1 ), B( x2, y2 ) ， AB =1+ k 2 x1 - x2 =1 + k 2( x1 - x2 )2 - 4x1 x24双曲线焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准方程第一定义第二定义范围顶点轴长对称性焦点x 2y2y 2x22 -2 = 1(a > 0, b > 0)2- 2 = 1(a > 0, b > 0)abab到两定点 F1 、F2的距离之 差的绝对值等于常数 2a，即 | MF1 | - | MF2 | = 2a （ 0 < 2a <| F1F2 | ）与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即 MF=

8、e ( e > 1)dx - a 或 x a ， y Ry - a 或 y a ， x R1 (- a,0 )、 2 (a,0 )1 (0, - a ) 、 2 (0,a )实轴的长 = 2a虚轴的长 = 2b关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称F1 (- c,0 )、 F2 (c,0 )F1 (0, - c )、 F2 (0, c)焦距离心率准线方程渐近线方程焦半径M ( x0, y0 )焦点三角形面积通径注意F1F2 = 2c(c2 = a2 + b2 )ecc2a2+ b21b2(e1)= a=a2 =a2=+ a2>x = ±a2y = ±a2c

9、cy = ±b xy = ±a xab左焦：MF1= ex0 + a左焦：MF1= ey0 + aM 在右支= ex0 - aM 在上支= ey0 - a右焦：MF 2右焦：MF 2左焦：MF1 = - ex0 - a左焦：MF1 = - ey0 - aM 在左支M 在下支右焦：MF 2= - ex0 + a右焦：MF 2= - ey0 + aSb2cot (F MF)? MF1F2 =2= 12过焦点且 垂直于长轴的弦 叫通径：HH2b2=a2222若双曲 线方程为 x 2 -y2 =1?渐近线方程：x2 -y2= 0 ?y = ±b xababa若渐近 线方程

10、为 y = ±b x ?x ±y = 0?x 2-y 2= 双曲线可设为 22aabab2222若双曲 线与 x2-y 2= 1 有公 共渐近 线， 可设为 x2- y2= abab注意 ? PF1 F2 中结合定义PF1-PF2 =2a与余弦定 理 cos F1PF2 ，将有关线 段PF1 、 PF2、 F1F2和角结合起来。5抛物线图形标准方程定义顶点离心率对称轴范围焦点准线方程焦半径M (x0, y0 )通径焦点弦长公式参数 p 的几何意义关 于 抛物线焦点弦的几个结论y 2 = 2 p xy 2 = - 2 p xx 2 = 2 p yx 2 = - 2 p y(

11、p > 0 )( p > 0 )( p > 0 )( p > 0 )与一定点 F 和一条 定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线 ( 定点 F 不在定直线 l 上)(0,0)e = 1x 轴y 轴x 0x 0y 0y 0Fp , 0F -p , 0F 0 , pF 0,-p2222xpx =ppy =p= -2y = -222MF = x0 + pMF = - x0 + pMF = y0 + pMF = - y0 + p2222过抛物 线的焦点且 垂直于对称轴的弦称为通径：HH = 2 pAB = x1 + x2 + p参数 p 表示 焦点到准线的距离，p 越大

12、，开口越阔设 AB 为过 抛物线 y 2= 2 p x ( p > 0 ) 焦点的弦， A( x1 , y1 ) 、B (x2 , y2 ) ，直线 AB 的倾斜角为 ，则 x1x2 =p22;AB =2 p, y1 y2 = - p2;4sin 以 AB 为直径的圆与准线相切； 焦点 F 对 A 、B 在准线上 射影 的张角为 ；2112+=.|FA|FB |P若干公式1、 两点间距离： 若 A ( x 1 , y 1 ),B ( x 2 , y 2 ) ，则 AB=( x2 - x1 ) 2+ ( y 2 -y1 ) 22、 平行线间距离： 若 l 1 : Ax + By + C1=

13、 0,l 2 :Ax + By + C 2 =0 ，则： d =C1-C2A 2+ B 23、 点到直线的距离：d =Ax o + By o + CA 2+ B 24、 直线与圆 锥曲线相交的弦长公式：y = kx + b则： AB=22F( x, y) = 0(1 + k)( x2 - x1 )5、若A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )， P（ x， y）。 P 在直线 AB 上，且 P 分有向线段 AB 所成 的比为，x1+x2x1+x2x =x =1+ 2x - x1y -y1则，特别地 ： =1时，P 为 AB 中点且y1yy变形后： =x或 =y2y1+2x2-y2-y

14、 =+ y =1 + 26、 若直线 l1 的斜率为 k1，直线 l2 的斜率为 k2 ，则 l1 到 l2 的角为 ,( 0, )适用 范围： k1 ，k 2 都存 在且 k1 k2 1 ，k 2 - k1tan =+ k1 k21若 l1 与 l 2 的夹角为 ，则k1- k2，tan=( 0,1 + k1 k22注意：（ 1） l1到 l 2 的角， 指从 l1 按逆时针 方向旋转 到 l2 所成 的角，范围 ( 0, )l1 到 l 2 的夹角： 指l1、 l 2 相交 所成 的锐角或直角 。（ 2） l1 l2 时，夹角、到角 = 。2（ 3）当 l 1 与 l2 中有一 条不存 在斜率 时，画图， 求到角 或